上一次作业的问题 主要是许多人仍然没有按照标准格式解题 问题是没有假设事件或者假设事件的概率, 正式解题的时候必须先作假设,即按下面两种 格式之 假设事件A为.,或者写成假设概率P(A)为 的概率 有的自己发明符号,如P(1)=.等,甚至还有 P=.这样的写法
2 上一次作业的问题 主要是许多人仍然没有按照标准格式解题. 问题是没有假设事件或者假设事件的概率, 正式解题的时候必须先作假设, 即按下面两种 格式之一: 假设事件A为…, 或者写成假设概率P(A)为… 的概率. 有的自己发明符号, 如P(1)=…等, 甚至还有 P=…这样的写法
条件概率与乘法法则
3 条件概率与乘法法则
先看1.3中的例1 100个产品中有60个一等品,30个二等品,10个 废品.规定一,等品都是合格品 试验:从100个产品中任抽一个 假设:A,B为抽到的为一,等品,C为抽到的是 合格品,则C=A+B 则一等品率为P(4)=60/100,二等品率为 P(B)=30/100.合格率为PC)90/100 如果改变试验为:从合格品中任抽一件,则合 格品中的一等品率为P(4O)=60/90
4 先看1.3中的例1 100个产品中有60个一等品, 30个二等品, 10个 废品. 规定一,二等品都是合格品. 试验: 从100个产品中任抽一个 假设: A,B为抽到的为一,二等品, C为抽到的是 合格品, 则C=A+B 则一等品率为P(A)=60/100, 二等品率为 P(B)=30/100. 合格率为P(C)=90/100 如果改变试验为: 从合格品中任抽一件, 则合 格品中的一等品率为P(A|C)=60/90
定义1.3 在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概 率,称为事件A在给定B下的条件概率,简称为 A对B的条件概率,记作P(4B).相应地,把PA) 称为无条件概率.这里,只研究作为条件的事 件B具有正概率即PB)>0的情况
5 定义1.3 在事件B已经发生的条件下, 事件A发生的概 率, 称为事件A在给定B下的条件概率, 简称为 A对B的条件概率, 记作P(A|B). 相应地, 把P(A) 称为无条件概率. 这里, 只研究作为条件的事 件B具有正概率即P(B)>0的情况
对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点 控制论的观点又分两种,一种是通过控制来改变试 验条件,从而改变某事件的概率 例如上例中将试验改变为从合格品中任抽一件,则 等品率发生的概率即发生改变 另一种是在试验结果中将某事件C发生的结果保留, 将其它的试验结果剔除然后再统计某事件A发生 的概率P(C) 例如,将上面的试验重复1000次,如果合格品事件出 现了900次,其中在这900次中一等品出现了600次 则这时的一等品率为P4C)=6009002/3
6 对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点 控制论的观点又分两种, 一种是通过控制来改变试 验条件, 从而改变某事件的概率. 例如上例中将试验改变为从合格品中任抽一件, 则 一等品率发生的概率即发生改变. 另一种是在试验结果中将某事件C发生的结果保留, 将其它的试验结果剔除, 然后再统计某事件A发生 的概率P(A|C) 例如, 将上面的试验重复1000次, 如果合格品事件出 现了900次, 其中在这900次中一等品出现了600次, 则这时的一等品率为P(A|C)=600/900=2/3
而信息论的观点涉及到信息传递 这时候可以设置试验场地和信息中心两个地 方,在试验场地的试验员将试验的部分或者全 部结果向信息中心的信息员报告 试验场所 信息中心
7 而信息论的观点涉及到信息传递 这时候可以设置试验场地和信息中心两个地 方, 在试验场地的试验员将试验的部分或者全 部结果向信息中心的信息员报告. 试验场所 信息中心
拿上一个例来讲 在试验开始前试验员和信息员都知道整个试 验的设计情况,因此知道合格品率为 P(C)=90/100,一等品率为P(4)=60 现在试验员做了一次试验,但是并没有将全部 试验结果报告给信息员,只是告诉他"抽到的 是合格品" 则从信息员的角度讲,他暂时还不知道此产品 是一等品还是二等品,这个时候他从已经获得 的信息的条件下的一等品率就已经是 P(4|C=60/90
8 拿上一个例来讲 在试验开始前试验员和信息员都知道整个试 验的设计情况, 因此知道合格品率为 P(C)=90/100, 一等品率为P(A)=60. 现在试验员做了一次试验, 但是并没有将全部 试验结果报告给信息员, 只是告诉他"抽到的 是合格品". 则从信息员的角度讲, 他暂时还不知道此产品 是一等品还是二等品, 这个时候他从已经获得 的信息的条件下的一等品率就已经是 P(A|C)=60/90
条件概率意味着样本空间的压缩 或者可以认为是基本事件的减少而导致的试 验.以事件B为条件的条件概率,意味着在试 验中将B提升为必然事件
9 条件概率意味着样本空间的压缩 或者可以认为是基本事件的减少而导致的试 验. 以事件B为条件的条件概率, 意味着在试 验中将B提升为必然事件. B B
例1市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占70 乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂 的合格率是80%,若用事件A,4分别表示甲乙 两厂的产品,B表示产品为合格品,试写出有 关事件的概率和条件概率 解依题意 P(A)=70%P(A)=30% P(B|A)=95% P(B|A)=80‰ P(BA)=5%P(B|A)=20% 注:在解题过程中常见的错误是将条件概 率写成无条件概率!
10 例1 市场上供应的灯泡中, 甲厂的产品占70%, 乙厂占30%, 甲厂产品的合格率是95%, 乙厂 的合格率是80%, 若用事件A,A分别表示甲乙 两厂的产品, B表示产品为合格品, 试写出有 关事件的概率和条件概率 解 依题意 ( | ) 5% ( | ) 20% ( | ) 95% ( | ) 80% ( ) 70% ( ) 30% = = = = = = P B A P B A P B A P B A P A P A 注: 在解题过程中常见的错误是将条件概 率写成无条件概率!
例2全年级100名学生中,有男生(以事件A表 示)80人,女生20人,来自北京的(以事件B表 示)有20人,其中男生12人,女生8人,免修英语 的(用事件C表示40人中有32名男生,8名女生, 则有P()=80100=0.8P(B)=20/100=0.2 P(BA)=1280=0.15P(AB)=12/20=0.6 P(AB)=12/100=0.12(C)=40/100=0.4 P(C|A)=32/80(A|B)=12/80=0.15 P(AC)=32/100=0.32 可以看出P(B|A P(AB) P(AB) P(A) P(AJB) P(B)
11 例2 全年级100名学生中, 有男生(以事件A表 示)80人, 女生20人, 来自北京的(以事件B表 示)有20人, 其中男生12人,女生8人,免修英语 的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生, 则有P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2 P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6 P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4 ( ) ( ) , ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) 32 /100 0.32 ( | ) 32 / 80 ( | ) 12 /80 0.15 P B P AB P A B P A P AB P B A P AC P C A P A B = = = = = = = 可以看出