概率论第二章习题参考解答 1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果.写出它的概率函数和分布函数 解:假设5=1对应于"正面朝上",5=0对应于反面朝上.则 P(5=0)=P(=1)=0.5 其分布函数为 F(x)={0.50≤x=1 3.如果§的概率函数为P{5=a}=1,则称§服从退化分布.写出它的分布函数F(x),画出 F(x)的图形 0 x<a 解:F(x) 它的图形为 x≥a F(x) 4.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产 品中随机地抽取一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率函数. 解设§取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级,则根据题意有 P(5=1)=2P(5=2)
概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1 对应于"正面朝上",ξ=0 对应于反面朝上. 则 P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 = 1 1 0.5 0 1 0 0 ( ) x x x F x 2. 如果ξ服从 0-1 分布, 又知ξ取 1 的概率为它取 0 的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布 函数. 解: 根据题意有 P(ξ=1)=2P(ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P(ξ=0)+P(ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P(ξ=0)=1, 即 P(ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P(ξ=1)=2/3 因此分布律由下表所示 ξ 0 1 P 1/3 2/3 而分布函数为 = = 1 1 1/ 3 0 1 0 0 ( ) x x x F x 3. 如果ξ的概率函数为 P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数 F(x), 画出 F(x)的图形. 解: = x a x a F x 1 0 ( ) , 它的图形为 a x 1 0 F(x) 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产 品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值 1,2,3 代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P(ξ=1)=2P(ξ=2) (1)
P(5=3)=P(5=2)2 由概率论性质可知 P(5=1)+P(=2)+P(5=3)=1 (1),(2)代入(3)得 P(5=2)+P(5=2)+P(5=2y2=1 解得P(5=2)=2/7,再代回到(1)和(2)得 P(5=1)=4/7,P(5=3)=1/7 则概率函数为 P(5=1) 或列表如下 171 P 2/7 5.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个中的次品数§的 分布律 解:基本事件总数为n=C2 有利于事件{5=i}(=0,1,2,3,4)的基本事件数为n1=C3C15,则 4·3.2.115.14.13·127.13 P(=0) =0.2817 C201918·1743·2119·17 CIC P(=1) 4·3.2.15·15.14·1315.14·13 0.4696 C20·19·181732.1191817 P(=2)=4 4·3.2·15.4.15·.143.2.15·14 =0.2167 20·19·18·172.1·2·119.18.17 CCl43215.41525 P(=3) 0.031 2420·1918172119·17 4·3.2.1.5 P(=4)= 0.001 C20·19·18·17193·17 2 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.00l 6.一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定 每件产品被取到的机会相同,求抽取次数5的概率函数 解:每次抽到正品的概率相同,均为p=10/13=0.7692,则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308 则§服从相应的几何分布,即有 10(3 P(=)=p=13(13 (i=12,3,…) 上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数 5的分布律 解:这样抽取次数就是有限的,因为总共只有3件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽 时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为1,2,3,4
P(ξ=3)=P(ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1 解得 P(ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P(ξ=1)=4/7, P(ξ=3)=1/7 则概率函数为 2 ( 1,2,3) 7 1 ( ) 3 = = = − P i i i 或列表如下: ξ 1 2 3 P 4/7 2/7 1/7 5. 一批产品 20 个, 其中有 5 个次品, 从这批产品中随意抽取 4 个, 求这 4 个中的次品数ξ的 分布律. 解: 基本事件总数为 4 n = C20 , 有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为 i i ni C C − = 4 5 15 , 则 0.001 19 3 17 1 20 19 18 17 4 3 2 1 5 ( 4) 0.031 19 17 2 5 2 1 5 4 15 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 3) 0.2167 19 18 17 3 2 15 14 2 1 2 1 5 4 15 14 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 2) 0.4696 19 18 17 15 14 13 3 2 1 5 15 14 13 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 1) 0.2817 19 17 7 13 4 3 2 1 15 14 13 12 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 0) 4 2 0 4 5 4 2 0 1 1 5 3 5 4 2 0 2 1 5 2 5 4 2 0 3 1 5 1 5 4 2 0 4 1 5 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξ 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.001 6. 一批产品包括 10 件正品, 3 件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定 每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为 p=10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率 q=1-p=0.2308 则ξ服从相应的几何分布, 即有 ( 1,2,3, ) 13 3 13 10 ( ) 1 = = = = − P i pq i i i 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数 ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有 3 件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽 时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为 1,2,3,4
不难算出 10 P(=1)==0.7692 P(=2)=3 l313=0.1953 32 P(=3)= 0.0328 P(5=4) 0.0027 131313 5的分布律如下表所示 P 0.7692 0.1953 0.0328 0.0027 8.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行 调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数 解:事件§可i说明生产了i次正品后第计1次出现废品,这是计+1个独立事件的交(1次发生i 次不发生,因此有 P(÷=1)=p(1-p),(i=0,1,2,) 9.已知随机变量只能取1012四个值,相应概率依次为357定常数c并 2c4c8c16 计算P{<110} 解:根据概率函数的性质有 P{=-}+P{5=0}+P{=1}+P{=2}=1 13 c=1+3+5+7=8+12+10+7=37=2.3125 24816 设事件A为<1,B为≠0,(注:如果熟练也可以不这样设)则 P{<11≠0)=(4)=P15105≠0 P(B) P{5≠0) P P1=-1+P=1+P=2=157=25=03 2816 10.写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数 解:第4题:
不难算出, 0.0027 13 1 13 2 13 3 ( 4) 0.0328 13 12 13 2 13 3 ( 3) 0.1953 13 11 13 3 ( 2) 0.7692 13 10 ( 1) = = = = = = = = = = = = P P P P ξ的分布律如下表所示: ξ 1 2 3 4 P 0.7692 0.1953 0.0328 0.0027 8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行 调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数. 解: 事件ξ=i 说明生产了 i 次正品后第 i+1 次出现废品, 这是 i+1 个独立事件的交(1 次发生 i 次不发生, 因此有 P(ξ=i)=p(1-p) i , (i=0,1,2,…) 9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2 四个值, 相应概率依次为 c c c 16c 7 , 8 5 , 4 3 , 2 1 , 确定常数 c 并 计算 P{ξ<1|ξ≠0}. 解: 根据概率函数的性质有 P{ = −1}+ P{ = 0}+ P{ = 1}+ P{ = 2} = 1 即 1 16 7 8 5 4 3 2 1 + + + = c c c c 得 2.3125 16 37 16 8 12 10 7 16 7 8 5 4 3 2 1 = = + + + c = + + + = 设事件 A 为 ξ<1, B 为 ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则 0.32 25 8 16 7 8 5 2 1 2 1 { 1} { 1} { 2} { 1} { 0) { 1 0} ( ) ( ) { 1| 0} = = + + = = − + = + = = − = = = P P P P P P P B P AB P 10. 写出第 4 题及第 9 题中各随机变量的分布函数. 解: 第 4 题:
x<1 4/71≤x<2 F(x) 6/72≤x<3 第9题 当x<-1时:F(x)=P(5≤x)=0 当-1≤x<0时:F(x)=P(5sx)=P(=-1 c2×2.31502162 当0≤x<1时:F(x)=P(5sx)=P(÷=1)P(0)=+=+ 3125=0.5405 当1≤x<2时:F(x)=P(5sx)=P÷=1)+P(=0)+P(=1)= 35(135 2c48(248//23125=0108 当x2时:F(x)=P(§≤x)=1 综上所述,最后得 0.2162-1≤x<0 F(x)={0.54050≤x<1 0.81081<x<2 n已知4-0(=23k0x1,求4的分布函数F(1画出的图形 0其它 解:当x<0时:F(x)=0 当0≤x<1时: F(x)=q()d=|0d+ dt=-t 2dt 2√t 21 当x1时:F( 综上所述,最后得 F(x)=√x0≤x<1图形为
= 1 3 6 / 7 2 3 4 / 7 1 2 0 1 ( ) x x x x F x 第 9 题: 当 x<-1 时: F(x)=P(ξ≤x)=0 当-1≤x<0 时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)= 0.2162 2 2.3125 1 2 1 = = c 当 0≤x<1 时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)= 2.3125 0.5405 4 3 2 1 4 3 2 1 = + = + c c 当 1≤x<2 时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)= 2.3125 0.8108 8 5 4 3 2 1 8 5 4 3 2 1 = + + = + + c c c 当 x≥2 时: F(x)=P(ξ≤x)=1 综上所述, 最后得: − − = 1 2 0.8108 1 2 0.5405 0 1 0.2162 1 0 0 1 ( ) x x x x x F x 11. 已知ξ~ = 0 其它 0 1 2 1 ( ) x x x , 求ξ的分布函数 F(x), 画出 F(x)的图形. 解: 当 x<0 时: F(x)=0; 当 0≤x<1 时: x x x t x dt t dt t t F x t dt dt x x x = = − = − + = = + = = − − + − − 0 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 1 2 1 0 2 1 0 0 当 x≥1 时: F(x)=1 综上所述, 最后得 = 1 1 0 1 0 0 ( ) x x x x F x 图形为 1 0 x F(x) 1
12.已知p(x)= 「2x0<x<1 0其它,求P(2051P(0.5)F(x) 解P{505=Jx)=j+j2xd=x2=052-0=025 因§为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以P{5=0.5}=0 求F(x).当x<0时,F(x)=0 当05x<1时,F(x)=「o()dt=[od+[2ut=t2=x2 当x1时,F(x)=1 综上所述,最后得 0x<0 F(x)={x20≤x<1 x≥ 13某型号电子管,其寿命(以小时计)为-随机变量,概率密度(x)={x x≥100 某 0其它 个电子设备内配有3个这样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率 解:先求一个电子管使用150小时以上的概率P(≥150)为 1002 P≥150)=|(x)d= 1503 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为 P3(3) =02963 14.设连续型随机变量的分布函数为 F(x)={Ax20≤x<1 x≥1 求系数AP(0.3<5<0.7),概率密度p( 解:因ξ是连续型随机变量,因此F(x)也必是连续曲线,则其在第二段(O,1区间的曲线必能 和第三段(1,+∞)的曲线接上,则必有 A×12=1,即A=1.则分布函数为 0x<0 F(x)={x20≤x<1 x≥1 P(0.3<5<0.7)=F(0.7)F(03)=0.72-032=0.49-0.09=04
12. 已知 ξ~ = 0 其它 2 0 1 ( ) x x x , 求 P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x). 解: { 0.5} ( ) 0 2 0.5 0 0.25 2 2 0.5 0 2 0.5 0 0,5 0 = = + = | = − = − − P x dx dx xdx x , 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以 P{ξ=0.5}=0, 求 F(x): 当 x<0 时, F(x)=0 当 0≤x<1 时, 2 0 2 0 0 0 2 | F(x) (t)dt dt tdt t x x x x = = + = = − − 当 x≥1 时, F(x)=1 综上所述, 最后得: = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x x x x F x 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度 = 0 其它 100 100 ( ) 2 x x x , 某 一个电子设备内配有 3 个这样的电子管, 求电子管使用 150 小时都不需要更换的概率. 解: 先求一个电子管使用 150 小时以上的概率 P(ξ≥150)为: 3 2 150 100 2 1 100 100 ( 150) ( ) | 150 2 1 150 2 150 = = − + = = = + − + + + dx x x P x dx 则 3 个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为 0.2963 27 8 3 2 (3) 3 3 = = p = 14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为: = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x Ax x x F x 求系数 A; P(0.3<ξ<0.7); 概率密度 φ(x). 解: 因ξ是连续型随机变量, 因此 F(x)也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能 和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A×1 2=1, 即 A=1. 则分布函数为 = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x x x x F x P(0.3<ξ<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72 -0.32=0.49-0.09=0.4
概率密度o(x)为 2x0≤x< p(x)=F(x)= 其它 5.服从柯西分布的随机变量5的分布函数是F(x)=4+ B arctex,求常数AB,P{k-l}以及概 率密度p(x) 解:由F(-∞)=0 得A+Ba8(-∞)=A-B=0 再由F( 得A+ B arte(+∞)=A+B==1 综和(1)、(2)两式解得A=,B 丌 即F(x)==+- arct x P(5k1)=f(-1<5<1)=F(1)-(-sl arctgl--arctg 0.5 42 P(x)=F(x) 丌1+x 16.服从拉普拉斯分布的随机变量的概率密度(x)=Ae,求系数A及分布函数F(x) 解:这实际上是一个分段函数,(x)可重新写为 ≥0 根据性质「q(x)dx=1,又因(x)为偶函数,因此有 ∫(x)x=2「Aek=24[=2=1,则有A12 x≥0 因此(x)=c+=2 x<0 求分布函数F(x) F(x)=o(ndt=l-e'dt=
概率密度 φ(x)为 = = 0 其它 2 0 1 ( ) ( ) x x x F x 15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是 F(x)=A+B arctgx, 求常数 A,B;P{|ξ|<1}以及概 率密度 φ(x). 解: 由 F(-∞)=0, 得 A+Barctg(-∞)= 0 2 − = A B (1) 再由 F(+∞)=1, 得 1 2 + arctg(+) = + = A B A B (2) 综和(1),(2)两式解得 1 , 2 1 A = B = 即 F x arctg x 1 2 1 ( ) = + 0.5 2 1 4 4 1 1 1 1 1 (| | 1) ( 1 1) (1) ( 1) = = = − − = − = − − = − − = P P F F arctg arctg 2 1 1 1 ( ) ( ) x x F x + = = 16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度 | | ( ) x x Ae− = , 求系数 A 及分布函数 F(x). 解: 这实际上是一个分段函数, φ(x)可重新写为 = − 0 0 ( ) Ae x Ae x x x x 根据性质 ( ) = 1 + − x dx , 又因 φ(x)为偶函数, 因此有 ( ) 2 2 | 2 1 0 0 = = − = = + − + − + − x dx Ae dx Ae A x x , 则有 A=1/2 因此 = = − − 0 2 1 0 2 1 2 1 ( ) | | e x e x x e x x x . 求分布函数 F(x). 当 x<0 时, 有 x x t x t x F x t dt e dt e e 2 1 2 1 2 1 ( ) = ( ) = = = − − −
当x0时,有 F(x d u e-dt 综上所述,最后得 F(x) x≥0 17.已知5~x)=J12x2-12x+30<x<l 其它,计算P{s0201<05 解:设事件A={5≤0.2},B={0.1<≤0.5},则要计算的是条件概率P(A|B,而 P(AIB)=P(AB) 而事件AB={50.2}0{0.1<05}={0.1<02} P(B) P(AB)=P01<502}=ox)dk=∫(2x2-12x+3)dx 因此有 =(4x3-6x2+3x =(4×0.008-6×004+3×0.2)-(4×0.001-6×0.01+3×0.1) =0.032-0.24+06-0.004+0.06-0.3=0.148 P(B)=P{0.1<5≤0.5} =(4x3-6x2+3x)= (4×0.125-6×0.25+3×0.5)-(4×0.001-6×0.01+3×0.1) 0.5-1.5+1.5-0.004+0.06-0.3=0.256 最后得 P{5≤0.210.1<5≤0.5}=P(A|B)= P(AB)0.148 =0.5781 P(B)0.256 18.已知5~0(x)=ce-x*x,确定常数 解首先证明普阿松广义积分edx=√z,因为函数e并不存在原函数因此需要 技巧.令Ⅰ dx,则I2 时了 作极坐标代换,令x=rC0,y=rsnb,则积分区间为全平面,即θ从0积到2xr从0积
当 x≥0 时, 有 x x x t x t t x F x t dt e dt e dt e e e − − − − − − = = + = − = − + = − 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 0 0 综上所述, 最后得 − = − 0 2 1 1 0 2 1 ( ) e x e x F x x x 17. 已知 − + = 0 其它 12 12 3 0 1 ~ ( ) 2 x x x x , 计算 P{ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5} 解: 设事件 A={ξ≤0.2}, B={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率 P(A|B), 而 ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = , 而事件 AB={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有 0.032 0.24 0.6 0.004 0.06 0.3 0.148 (4 0.008 6 0.04 3 0.2) (4 0.001 6 0.01 3 0.1) (4 6 3 ) ( ) {0.1 0.2} ( ) (12 12 3)d 0.2 0.1 3 2 0.2 0.1 2 0.2 0.1 = − + − + − = = − + − − + = − + = = = = − + x x x P AB P x dx x x x 0.5 1.5 1.5 0.004 0.06 0.3 0.256 (4 0.125 6 0.25 3 0.5) (4 0.001 6 0.01 3 0.1) (4 6 3 ) ( ) {0.1 0.5} ( ) (12 12 3)d 0.5 0.1 3 2 0.5 0.1 2 0.5 0.1 = − + − + − = = − + − − + = − + = = == = − + x x x P B P x dx x x x 最后得 0.5781 0.256 0.148 ( ) ( ) { 0.2 | 0.1 0.5} = ( | ) = = = P B P AB P P A B 18. 已知 x x x ce − + = 2 ~ ( ) , 确定常数 c. 解: 首先证明普阿松广义积分 = + − − e x x d 2 , 因为函数 2 x e − 并不存在原函数, 因此需要 一技巧. 令 + − − I = e x x d 2 , 则 + − + − − + + − − = I = e x e x y x x y d d d ( ) 2 2 2 2 2 作极坐标代换, 令 x = r cos , y = rsin , 则积分区间为全平面, 即 θ 从 0 积到 2π, r 从 0 积
到+,且dxdy=rdrd0,因此有 F2-j0cmb=2x2d0)=m=不,所以 现确定常数c由性质「o(x)dx=1, x+i dx=ce 44 dx=ce4 e 得 19.已知5~q(x)= ∫ce-hx>a(>0) 其它 求常数c及P{a-1a(>0) P(x) 其它 P(a-l<5sa+1)=o(x)dx=odx+ e r-a)dx= he du 20.二元离散型随机变量(5,n)有如下表所示的联合概率分布 3 5 00.2020.1740.1130.06200490.0230.004 00.099006400400.031|00200006 000031|002500180.0130.008 00001000210.0040011 求边缘概率分布,5与n是否独立?
到+∞, 且 d x d y = r d r d , 因此有 = = = = + − + − + − 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 d( ) 2 1 2 r r r I d e rdr e r e , 所以 I=π. 现确定常数 c, 由性质 ( ) = 1 + − x dx , d d 1 4 1 ) 2 1 ( 4 1 4 1 4 1 2 1 2 2 2 2 = = = = + − − − + − − + − + + − − + ce x ce x ce e dx ce x x x x x 得 4 2 1 e c = 19. 已知 = − 0 其它 ( 0) ~ ( ) c e x a x x , 求常数 c 及 P{a-1<ξ≤a+1}. 解: 由性质 ( ) = 1 + − x dx 得 ( ) = 0d + d = − | = =1 − + − + − − + − a a x a x a x dx x c e x ce ce 解得 a c e = , 因此有 = − − 0 其它 ( 0) ( ) ( ) e x a x x a 则 − − − + − − − + − = − = − − + = = + = e e P a a x x x e x e du u u a a x a a a a a 1 ( 1 1) ( )d 0d d | 1 0 1 0 1 ( ) 1 1 1 20. 二元离散型随机变量(ξ,η)有如下表所示的联合概率分布: η ξ 0 1 2 3 4 5 6 0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 3 0 0 0 0.001 0.002 0.004 0.011 求边缘概率分布, ξ与η是否独立?
解:按下表计算§与n的边缘分布 5 002020.1740.1140620049|00230004|0627 00.0990.0640.0400.0310.02000060.260 00.0310.0250.0180.0130.0080.095 000010.0020.00400110018 0202|0.2730.2080.281010000600.029 得5的边缘分布如下表所示 P 0.627 0.260 0.095 0.018 以及n的边缘分布如下表所示 0.2020.2730.2080.128 0.060.029 当1及产=0时 因P10=P{5=1,n=0}=0≠P{p82)=P{=1P{=0}=026×0202 因此ξ与n相互间不独立 21.假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排,5个灯泡在第二排.令5,n分别表示在某一规 定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数.若ξ与n的联合分布如下表所示 2 4 0.010010.030.050.070.09 0.010.020.04 123 0.010.030.05 0.010.010.04006 0.05 试计算在规定时间内下列事件的概率 (1)第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2)第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, (3)第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数 解:假设事件A为第一排烧坏的灯泡数不超过一个,B为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等 C为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数 则事件A发生的概率为上表中头两排概率之和 P(A)=∑∑Pn=001+0.01+003+0.05+0.07+0.09+ +0.01+0.02+0.04+0.05+0.06+0.08=0.52 事件B发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和 P(B)=∑P1=001+002+005+006=0.14
解: 按下表计算ξ与η的边缘分布: η ξ 0 1 2 3 4 5 6 pi (1) 0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 0.627 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 0.260 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 0.095 3 0 0 0 0.001 0.002 0.004 0.011 0.018 pj (2) 0.202 0.273 0.208 0.128 0.100 0.060 0.029 得ξ的边缘分布如下表所示: ξ 0 1 2 3 P 0.627 0.260 0.095 0.018 以及η的边缘分布如下表所示: η 0 1 2 3 4 5 6 P 0.202 0.273 0.208 0.128 0.1 0.06 0.029 当 i=1 及 j=0 时, 因 { 1, 0} 0 { 1} { 0} 0.26 0.202 (2) 0 (1) p1 0 = P = = = p1 p = P = P = = 因此ξ与η相互间不独立. 21. 假设电子显示牌上有 3 个灯泡在第一排, 5 个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规 定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示: η ξ 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.01 0.04 0.06 0.06 0.05 试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等; (3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数. 解: 假设事件 A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件 A 发生的概率为上表中头两排概率之和 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.52 ( ) 0.01 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0 4 0 + + + + + + = = = + + + + + + i= j= P A pi j 事件 B 发生的概率为上表中从 0 行 0 列开始的斜对角线之和 ( ) 0.01 0.02 0.05 0.06 0.14 3 0 = = + + + = i= P B pi i
事件C发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数),但为减少运 算量,也可以考虑其逆事件C的概率,然后用1减去它.而C的概率为上表中斜对角线的左 下角的所有概率之和(不包括斜对角线) P(C)=1-P(C)=1-(001+0.01+0.01+0.03+0.01+004)=1-0.11=0.89 2.袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球 以§,n分别记为第一,二次取到球上的号码数,求(5,n)的分布律(袋中各球被取机会相 解:因为有两个2一个1,因此第一次取到2号的概率为P(5=2)=2/3,第一次取到1号的概 率为P(5=1)=1/3.第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号,则在此条件下第二次取到1 号的概率P(7=115=2)=P(n=25=2=1/2.而第一次取到1号后还剩下两个2号,因此这时 P(n=1l5=1)=0,P(7=25=1)=1 综上所述并用乘法法则可得 P1=P(5=1,n=1)=P(5=1)P(n=1|=1)= 0=0 P12=P(2=1,7=2)=P(=1)P(=2|5=1)=×1= P1=h=2,=1)=P(=2)P(=115=2)211 P2=P(=27=2)=P(5=2P(=25=2)=2x11 (ξ:n)的分布律如下表所示 0 1/3 1/3 23.(2,n)只取下列数组中的值: (00)(-1,1)(-1,=) 且相应的概率依次为1/6,13,12,5/12.列出(§,m)的概率分布表,写出关于n的边缘分布 解:从上面数组可知§只取-102这三个值,而n只取0,1这三个值,因此总共可构成九个 3 数对,其中只有四个数对的概率不为零概率分布表及n的边缘分布计算如下 l/121/3 0 5/120 2)|m/21/121/3
事件 C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运 算量, 也可以考虑其逆事件 C 的概率, 然后用1减去它. 而 C 的概率为上表中斜对角线的左 下角的所有概率之和(不包括斜对角线): P(C) =1− P(C) =1− (0.01+ 0.01+ 0.01+ 0.03+ 0.01+ 0.04) =1− 0.11 = 0.89 22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相 同). 解: 因为有两个 2 一个 1, 因此第一次取到 2 号的概率为 P(ξ=2)=2/3, 第一次取到 1 号的概 率为 P(ξ=1)=1/3. 第一次取到 2 号后还剩下一个 2 号一个 1 号, 则在此条件下第二次取到 1 号的概率 P(η=1|ξ=2)=P(η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到 1 号后还剩下两个 2 号, 因此这时 P(η=1|ξ=1)=0, P(η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得 3 1 2 1 3 2 ( 2, 2) ( 2) ( 2 | 2) 3 1 2 1 3 2 ( 2, 1) ( 2) ( 1| 2) 3 1 1 3 1 ( 1, 2) ( 1) ( 2 | 1) 0 0 3 1 ( 1, 1) ( 1) ( 1| 1) 2 2 2 1 1 2 1 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = p P P P p P P P p P P P p P P P (ξ,η)的分布律如下表所示: η ξ 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 23. (ξ , η)只取下列数组中的值： ) (2,0) 3 1 (0,0) (−1,1) (−1, 且相应的概率依次为 1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0, 3 1 ,1这三个值, 因此总共可构成九个 数对, 其中只有四个数对的概率不为零. 概率分布表及η的边缘分布计算如下 η ξ 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0 pj (2) 7/12 1/12 1/3
