概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率 解:设事件A={出现3个正面} 基本事件总数n=2,有利于A的基本事件数n=1,即A为一基本事件, 则P(A 0.125 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率 解:设事件A={能打开门},则A为不能打开门 基本事件总数n=C,有利于A的基本事件数nx=C7 P(A)- C2 7×61×27 0.467 C01×210×915 因此,P(A)=1-P(A)=1-0.467=0.533 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概 率是多少 解:设A={能打开门} 基本事件总数n=P=4×3×2×1=24, 有利于A的基本事件数为nA=2 因此,P(A) =0.0833 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率 解:设A为取到i个次品,=0.,1,23, 基本事件总数n=C100有利于A的基本事件数为n1=C3C97,i=0,2,3
概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8. 掷 3 枚硬币, 求出现 3 个正面的概率. 解: 设事件 A={出现 3 个正面} 基本事件总数 n=2 3 , 有利于 A 的基本事件数 nA=1, 即 A 为一基本事件, 则 0.125 8 1 2 1 ( ) 3 = = = = n n P A A . 9. 10 把钥匙中有 3 把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件 A={能打开门}, 则 A 为不能打开门 基本事件总数 2 n = C10 , 有利于 A 的基本事件数 2 nA = C7 , 0.467 15 7 10 9 1 2 1 2 7 6 ( ) 2 10 2 7 = = = = C C P A 因此, P(A) =1− P(A) =1− 0.467 = 0.533 . 10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概 率是多少? 解: 设 A={能打开门}, 基本事件总数 n = P4 = 4321= 24, 有利于 A 的基本事件数为 nA = 2, 因此, 0.0833 12 1 ( ) = = = n n P A A . 11. 100 个产品中有 3 个次品,任取 5 个, 求其次品数分别为 0,1,2,3 的概率. 解: 设 Ai 为取到 i 个次品, i=0,1,2,3, 基本事件总数 5 n = C100 , 有利于 Ai 的基本事件数为 , 0,1,2,3 5 = 3 97 = − n C C i i i i 则
P42=m==2=m9 95×94×93 24 =0.856 96 33 P(A1) n13×C分 1×2×3×4×53×97×96×95×94 C100100×99×98×97×961×2×3×4 95×94 =0.138 20×33×98 P(A2) CC1×2×3×4×53×97×96×95 100×99×98×97×961×2×3 0.006 5×33×98 P(41)=生 1×2×3×4×5 nC100×99×98×97×961×2 =0.00006 5×33×98 12.N个产品中有M1个次品,从中任取n个(1≤n≤N≤M,求其中有k≤n)个次品的概率 解:设Ak为有k个次品的概率,k=0,1,2,,n 基本事件总数m=CN,有利于事件A的基本事件数m=CCN=N,k=0,2,,n 因此,P(A) mk CN-N, k= 0,1,…,n 13.一个袋内有5个红球3个白球2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率 解:设A为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数n=C10,有利于A的基本事件数为nA=CCC2, 则P(4=nCCo 1×2×3 5×3×2 0.25 10×9×8 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封 信的概率 解:设A为前两个邮筒没有信的事件,B为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数n=4×4=16 有利于A的基本事件数n4=2×2=4 有利于B的基本事件数nn=2×3=6 则P(A) 0.25 164 P(B)=a=63 =0.375 168
0.00006 5 33 98 1 1 2 97 96 100 99 98 97 96 1 2 3 4 5 ( ) 0.006 5 33 98 95 1 2 3 3 97 96 95 100 99 98 97 96 1 2 3 4 5 ( ) 0.138 20 33 98 95 94 1 2 3 4 3 97 96 95 94 100 99 98 97 96 3 1 2 3 4 5 ( ) 0.856 20 49 33 19 47 31 100 99 98 97 96 97 96 95 94 93 ( ) 5 100 2 3 9 7 3 5 100 3 9 7 2 2 3 2 5 100 4 1 9 7 1 5 100 5 0 9 7 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = C C n n P A C C C n n P A C C n n P A C C n n P A 12. N 个产品中有 N1 个次品, 从中任取 n 个(1≤n≤N1≤N), 求其中有 k(k≤n)个次品的概率. 解: 设 Ak为有 k 个次品的概率, k=0,1,2,…,n, 基本事件总数 n m = CN , 有利于事件 Ak的基本事件数 n k N N k mk CN C − = 1 − 1 ,k=0,1,2,…,n, 因此, k n C C C m m P A n N n k N N k k N k ( ) , 0,1, , = = 1 1 = − − 13. 一个袋内有 5 个红球, 3 个白球, 2 个黑球, 计算任取 3 个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设 A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数 3 n = C10 , 有利于 A 的基本事件数为 1 2 1 3 1 nA = C5C C , 则 0.25 4 1 5 3 2 10 9 8 1 2 3 ( ) 3 10 1 2 1 3 1 5 = = = = = C C C C n n P A A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封 信的概率. 解: 设 A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数 n = 44 =16, 有利于 A 的基本事件数 nA = 22 = 4, 有利于 B 的基本事件数 nB = 23 = 6, 则 0.25 4 1 16 4 ( ) = = = = n n P A A 0.375 8 3 16 6 ( ) = = = = n n P B B
15.一批产品中,一,二,三等品率分别为08,0.16.004,若规定一,二等品为合格品,求产 品的合格率 解:设事件A为一等品,A2为二等品,B为合格品,则 P(A1)=0.8,P(2)=0.16, B=A1+A2,且A1与A2互不相容,根据加法法则有 P(B)=P(A1)P(42)0.8+0.16=0.96 16.袋内装有两个5分,三个2分,五个一分的硬币,任意取出5个,求总数超过一角的概率 解:假设B为总数超过一角 A1为5个中有两个5分,A2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A3为5个中有一个5分两个2分两个1分,则 B=A1+A2+A3,而A1,A2A3互不相容, 基本事件总数n=C10 10×9×8×7×6 =3×2×6×7=252 1×2×3×4×5 设有利于A1,A2,A3的基本事件数为m,m2m n,=C2C8 =56 1×2×3 n2=C2C3C5=2×5=10 n3=C2C3C5=2×3 =60 1×2 P(B)=56+10+60126 252 252505 17.求习题11中次品数不超过一个的概率 解:设A为取到i个次品,=0,1,2,3,B为次品数不超过一个 则B=Ao+A1,Ao与A互不相容,则根据1l题的计算结果有 P(B)=P(Ao+P(41)=0.856+0.138=0.994 19.由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15,刮风(用B表 示)的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求P(AB),P(BA),P(4+B 解:根据题意有P(4)=4/15,P(B=7/5,P(AB=1/10,则 P(A|B)=P(AB)1/103 P(B)7/15140.214 P(B|APAB)1103≈0275 P(A)4/158 P(A+B)=P(4)+P(B)-P(AB)=+411448-319=0633 20.为防止意外,在矿内同时设有两种报警系统A与B,每种系统单独使用时,其有效的概 率系统A为0.92,系统B为0.93,在A失灵的条件下,B有效的概率为0.85,求 (1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2)B失灵的条件下,A有效的概率 解:设A为系统A有效,B为系统B有效,则根据题意有 P(4)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85
15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为 0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产 品的合格率. 解: 设事件 A1 为一等品, A2 为二等品, B 为合格品, 则 P(A1)=0.8, P(A2)=0.16, B=A1+A2, 且 A1 与 A2 互不相容, 根据加法法则有 P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.96 16. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设 B 为总数超过一角, A1 为 5 个中有两个 5 分, A2 为 5 个中有一个 5 分三个 2 分一个 1 分, A3 为 5 个中有一个 5 分两个 2 分两个 1 分, 则 B=A1+A2+A3, 而 A1,A2,A3 互不相容, 基本事件总数 3 2 6 7 252 1 2 3 4 5 5 10 9 8 7 6 10 = = n = C = 设有利于 A1,A2,A3 的基本事件数为 n1,n2,n3, 则 0.5 252 126 252 56 10 60 ( ) 60, 1 2 5 4 2 3 2 5 10, 56, 1 2 3 8 7 6 2 5 2 3 1 3 2 1 5 3 3 1 2 2 3 8 2 1 2 = = + + = = = = = = = = = = P B n C C C n C C C n C C 17. 求习题 11 中次品数不超过一个的概率. 解: 设 Ai 为取到 i 个次品, i=0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则 B=A0+A1, A0 与 A1 互不相容, 则根据 11 题的计算结果有 P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.994 19. 由长期统计资料得知, 某一地区在 4 月份下雨(记作事件 A)的概率为 4/15, 刮风(用 B 表 示)的概率为 7/15, 既刮风又下雨的概率为 1/10, 求 P(A|B), P(B|A), P(A+B). 解: 根据题意有 P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 则 0.633 30 19 30 14 8 3 10 1 15 4 15 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.275 8 3 4 /15 1/10 ( ) ) ( | ) 0.214 14 3 7 /15 1/10 ( ) ( ) ( | ) = = + − + = + − = + − = = = = = = = = = P A B P A P B P AB P A PAB P B A P B P AB P A B 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统 A 与 B, 每种系统单独使用时, 其有效的概 率系统 A 为 0.92, 系统 B 为 0.93, 在 A 失灵的条件下, B 有效的概率为 0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率 解: 设 A 为系统 A 有效, B 为系统 B 有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B | A) = 0.85
(1)两个系统至少一个有效的事件为A+B,其对立事件为两个系统都失效 即A+B=AB,而P(B|A)=1-P(B|A)=1-0.85=0.15,则 P(AB)=P(A)P(B|A)=(1-0.92)×0.15=0.08×0.15=0012 P(A+B)=1-P(AB)=1-0.012=0988 (2)B失灵条件下A有效的概率为P(A|B),则 P4B)=1-P(A|B)=1-(AB)=1_0012 =0.829 P(B) 1-0.93 21.10个考签中有4个难签,3人参加抽签考试,不重复地抽取每人一次,甲先,乙次,丙最 后,证明3人抽到难签的概率相等 证:设事件A,B,C表示甲,乙,丙各抽到难签,显然P(A)=4/10, 而由 P(AB)=P(A)P(B A) 312 6424 P(AB)=P(AP(BA) 10990 4624 P(B)=(4P(B\N10990 P(AB)=P(A)P(B|4)=×530 65 10990 由于A与A互不相容且构成完备事件组,因此B=AB+AB可分解为两个互不相容事件 的并,则有 12+24364 P(B)=P(AB)+ P(AB) 又因AB,AB,AB,AB之间两两互不相容且构成完备事件组,因此有 C=ABC+ABC+ABC+ABC分解为四个互不相容的事件的并 且 24 P(ABC)=P(AB)P(CLAB)=-x= 908720 P(ABC)= P(AB)P(CJAB)=X 8720 P(ABC)=P(AB)P(CIAB)24. 372 P(ABC)=P(AB)P(CJA B) 908720
(1) 两个系统至少一个有效的事件为 A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即 A + B = A B , 而 P(B | A) =1− P(B | A) =1− 0.85 = 0.15 , 则 ( ) 1 ( ) 1 0.012 0.988 ( ) ( ) ( | ) (1 0.92) 0.15 0.08 0.15 0.012 + = − = − = = = − = = P A B P A B P A B P A P B A (2) B 失灵条件下 A 有效的概率为 P(A | B) , 则 0.829 1 0.93 0.012 1 ( ) ( ) ( | ) 1 ( | ) 1 = − = − = − = − P B P A B P A B P A B 21. 10 个考签中有4 个难签, 3 人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最 后, 证明 3 人抽到难签的概率相等. 证: 设事件 A,B,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然 P(A)=4/10, 而由 90 30 9 5 10 6 ( ) ( ) ( | ) 90 24 9 6 10 4 ( ) ( ) ( | ) 90 24 9 4 10 6 ( ) ( ) ( | ) 90 12 9 3 10 4 ( ) ( ) ( | ) = = = = = = = = = = = = P A B P A P B A P AB P A P B A P AB P A P B A P AB P A P B A 由于 A 与 A 互不相容,且构成完备事件组, 因此 B = AB + AB 可分解为两个互不相容事件 的并, 则有 10 4 90 36 90 12 24 ( ) ( ) ( ) = = + P B = P AB + P AB = 又因 AB, AB, AB, A B 之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有 C = ABC + ABC + ABC + A BC 分解为四个互不相容的事件的并, 且 720 120 8 4 90 30 ( ) ( ) ( | ) 720 72 8 3 90 24 ( ) ( ) ( | ) 720 72 8 3 90 24 ( ) ( ) ( | ) 720 24 8 2 90 12 ( ) ( ) ( | ) = = = = = = = = = = = = P A BC P A B P C A B P ABC P AB P C AB P ABC P AB P C AB P ABC P AB P C AB
P(C)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC 24+72+72+1202884 720 因此有P(A)=P(B=P(O,证毕 22.用3个机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工 的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95,求全部产品中的合格率 解:设A1,A2,A3零件由第12,3个机床加工,B为产品合格, A1,A2,A3构成完备事件组 则根据题意有 P(41)=0.5,P(A2)=0.3,P(43)=0.2, P(B|41)=0.94,P(B42)0.9,P(B3)=0.9 由全概率公式得全部产品的合格率P(B)为 P(B)=∑P(A)P(B|A1)=0.5×0.94+03×09+0.2×0.95=0.93 23.12个乒乓球中有9个新的3个旧的,第一次比赛取出了3个,用完后放回去,第二次比赛 又取出3个,求第二次取到的3个球中有2个新球的概率 解:设A,1,A2,43为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球,A0A1A243构成完备事件组 设B为第二次取到的3个球中有2个新球则有 1×2×3 P(A4) C1212×11×10220 CC1×2×39×8 P(B 3 C1212×11×101×255 CC21×2×3×9×327 P(A)=23 12×11×10220 4 28 P(BA C1212×11×101×2 P(A)=Cc11×2×3×9×8×327 12×11×10×255 P(BA CC1×2×37×6-21 12×11×101×2 P(A3) C31×2×3×9×8×721 C312×11×10×2×355 P(BIA3)=- C6C61×2×36×5 12×11×101×2 根据全概率公式有
则 10 4 720 288 720 24 72 72 120 ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = + + + = P C = P ABC + P ABC + P ABC + P A BC 因此有 P(A)=P(B)=P(C), 证毕. 22. 用 3 个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为 0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工 的零件为合格品的概率分别等于 0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设 A1,A2,A3 零件由第 1,2,3 个机床加工, B 为产品合格, A1,A2,A3 构成完备事件组. 则根据题意有 P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2, P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率 P(B)为 ( ) ( ) ( | ) 0.5 0.94 0.3 0.9 0.2 0.95 0.93 3 1 = = + + = i= P B P Ai P B Ai 23. 12 个乒乓球中有 9 个新的3 个旧的, 第一次比赛取出了 3 个, 用完后放回去, 第二次比赛 又取出 3 个, 求第二次取到的 3 个球中有 2 个新球的概率. 解: 设 A0,A1,A2,A3 为第一次比赛取到了 0,1,2,3 个新球, A0,A1,A2,A3 构成完备事件组. 设 B 为第二次取到的 3 个球中有 2 个新球. 则有 22 9 6 1 2 6 5 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 55 21 12 11 10 2 3 1 2 3 9 8 7 ( ) , 44 21 5 1 2 7 6 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 55 27 12 11 10 2 1 2 3 9 8 3 ( ) , 55 28 4 1 2 8 7 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 220 27 12 11 10 1 2 3 9 3 ( ) , 55 27 3 1 2 9 8 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 220 1 12 11 10 1 2 3 ( ) 3 12 1 6 2 6 3 3 12 3 9 3 3 12 1 5 2 7 2 3 12 1 3 2 9 2 3 12 1 4 2 8 1 3 12 2 3 1 9 1 3 12 1 3 2 9 0 3 12 3 3 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = C C C P B A C C P A C C C P B A C C C P A C C C P B A C C C P A C C C P B A C C P A 根据全概率公式有
P(B)=∑P(4)P(B|4) 12727282721219 20552205555 =0.0022+0.0625+0.2341+0.1562 =0455 24.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱100个,废品率 为0.06,乙厂每箱装120个,废品率是0.05,求 (1)任取一箱,从中任取一个为废品的概率 (2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率 解:(1)设B为任取一箱,从中任取一个为废品的事件 设A为取到甲厂的箱,则A与A构成完备事件组 P(4)=30=06P()=20=04 P(B|4)=0.06,P(B|A)=0.05 P(B)=P(A)P(B A)+ P(A)P(B A) 0.6×0.06+04×0.05=0.056 (2)设B为开箱混放后任取一个为废品的事件 则甲厂产品的总数为30×100=300个,其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个,其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此 180+120 PCB =0.055555555 3000+24005400 25.一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A时,停机的概率是 0.3,加工零件B时,停机的概率是0.4,求这个机床停机的概率 解:设C为加工零件A的事件,则C为加工零件B的事件,C与C构成完备事件组 设D为停机事件,则根据题意有 P(C)=1/3,P(C)=2/3, P(D|O=0.3,P(DC)=0.4 根据全概率公司有 P(D)=P(C)P(DIC)+ P(C)P(DIC) ×0.3+-×04=0.367 26.甲,乙两部机器制造大量的同一种机器零件,根据长期资料总结,甲机器制造出的零件 废品率为1%,乙机器制造出的废品率为2%,现有同一机器制造的一批零件,估计这一批零 件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍,今从该批零件中任意取出 件,经检查恰好是废品,试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率
0.455 0.0022 0.0625 0.2341 0.1562 22 9 55 21 44 21 55 27 55 28 220 27 55 27 220 1 ( ) ( ) ( | ) 3 0 = = + + + = + + + = i= P B P Ai P B Ai 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率 为 0.06, 乙厂每箱装 120 个, 废品率是 0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率; (2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设 B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设 A 为取到甲厂的箱, 则 A 与 A 构成完备事件组 0.6 0.06 0.4 0.05 0.056 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 0.06, ( | ) 0.05 0.4 50 20 0.6, ( ) 50 30 ( ) = + = = + = = = = = = P B P A P B A P A P B A P B A P B A P A P A (2) 设 B 为开箱混放后任取一个为废品的事件. 则甲厂产品的总数为 30×100=3000 个, 其中废品总数为 3000×0.06=180 个, 乙厂产品的总数为 20×120=2400 个, 其中废品总数为 2400×0.05=120 个, 因此 0.055555555... 5400 300 3000 2400 180 120 ( ) = = + + P B = 25. 一个机床有 1/3 的时间加工零件 A, 其余时间加工零件 B, 加工零件 A 时, 停机的概率是 0.3, 加工零件 B 时, 停机的概率是 0.4, 求这个机床停机的概率. 解: 设 C 为加工零件 A 的事件, 则 C 为加工零件 B 的事件, C 与 C 构成完备事件组. 设 D 为停机事件, 则根据题意有 P(C)=1/3, P( C )=2/3, P(D|C)=0.3, P(D| C )=0.4, 根据全概率公司有 0.4 0.367 3 2 0.3 3 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + = P D = P C P D C + P C P D C 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件 废品率为 1%, 乙机器制造出的废品率为 2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零 件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出 一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率
解:设A为零件由甲机器制造,则A为零件由乙机器制造,A与A构成完备事件组 由P(4+A)=P(A)+P(A)=1并由题意知P(A)=2P(D 得P(A)=1/3,P(A)=2B. 设B为零件为废品,则由题意知 P(B4)=0.01,P(BA)=0.02, 则根据贝叶斯公式,任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为 P(AB P(A)P(BIA) P(A)P(B A)+P(A)P(B A) 0.01 0.2 2×001+×002005 27.有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球两个黑球.由甲袋 中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率 解:设事件A为从甲袋中取出的是白球,则A为从甲袋中取出的是黑球,A与A构成完备事 件组.设事件B为从乙袋中取到的是白球 则P(A)=2/3,P(A)=1/, P(B)=2/4=12,P(BA)=1A4, 则根据全概率公式有 P(B)=P(A)P(B|4)+P(A)P(B|A)=2x1+11 0.417 28.上题中若发现从乙袋中取出的是白球,问从甲袋中取出放入乙袋的球,黑白哪种颜色可 能性大? 解:事件假设如上题,而现在要求的是在事件B已经发生条件下,事件A和A发生的条件概 率P(4B)和P(A|B)哪个大,可以套用贝叶斯公式进行计算,而计算时分母为P(B)已上题算 出为0.417,因此 P(A|B)=P(A)P(B|A32=08 P(B) P(|B)=P(AP(B|4)3202 P(B)
解: 设 A 为零件由甲机器制造, 则 A 为零件由乙机器制造, A 与 A 构成完备事件组. 由 P(A+ A )=P(A)+P( A )=1 并由题意知 P( A )=2P(A), 得 P(A)=1/3, P( A )=2/3. 设 B 为零件为废品, 则由题意知 P(B|A)=0.01, P(B| A )=0.02, 则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为 0.2 0.05 0.01 0.02 3 2 0.01 3 1 0.01 3 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) = = + = = + = P A P B A P A P B A P A P B A P A B 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋 中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率. 解: 设事件 A 为从甲袋中取出的是白球, 则 A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与 A 构成完备事 件组. 设事件 B 为从乙袋中取到的是白球. 则 P(A)=2/3, P( A )=1/3, P(B|A)=2/4=1/2, P(B| A )=1/4, 则根据全概率公式有 0.417 12 5 4 1 3 1 2 1 3 2 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = = P B = P A P B A + P A P B A = + 28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可 能性大? 解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件 B 已经发生条件下, 事件 A 和 A 发生的条件概 率 P(A|B)和 P( A |B)哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为 P(B)已上题算 出为 0.417, 因此 0.2 0.417 4 1 3 1 ( ) ( ) ( | ) ( | ) 0.8 0.417 2 1 3 2 ( ) ( ) ( | ) ( | ) = = = = = = P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B
P(AB)>P(A|B),因此在乙袋取出的是白球的情况下,甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大 29.假设有3箱同种型号的零件,里面分别装有50件,30件和40件,而一等品分别有20件, 12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回)试 求先取出的零件是一等品的概率;并计算两次都取出一等品的概率 解:称这三箱分别为甲,乙,丙箱,假设A1A2,A3分别为取到甲,乙丙箱的事件,则A1,A2A3构成 完备事件组 易知P(A1)=P(42)=P(43)=1/3 设B为先取出的是一等品的事件 则P(B|A)==04,P(B|A2)==0.4P(B|A3)==06 根据全概率公式有 P(B)=∑PA)P(B|A) 0.4+04+0.6 =0467 设C为两次都取到一等品的事件,则 C2020×19 P(ClA)=c2-50×49 0.1551 P(C|,) 1212×11 =0.1517 30×29 P(C|A3)= 24×23=038 C240×39 根据全概率公式有 2P4C4)=0131738 30.发报台分别以概率06和04发出信号“·和“一”。由于通信系统受到干扰,当发出 信号““”时,收报台分别以概率0.8及02收到信息“·及“一”;又当发出信号“一”时, 收报台分别以概率09及0.1收到信号“一”及“”。求当收报台收到“·时,发报台确系 发出信号“·的概率,以及收到“一”时,确系发出“一”的概率。 解:设A为发出信号““,则A为发出信号“一”,则A与A构成完备事件组,且有 P(A)=0.6,P(A)=04 设B为收到信号“,则B为收到信号“一”,根据题意有 P(B4)=0.8,P(B|A)0.1 P(B|)=0.2,P(B|A)0.9 因此,根据贝叶斯公式,当收到“条件下发报台发出“的概率为 P(AP(B A 0.6×0.8 P(4B)=P(A)P(B|4)+P(A)P(B|A)06×0.8+04X01-0923
P(A|B)>P( A |B), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大. 29. 假设有 3 箱同种型号的零件, 里面分别装有 50 件, 30 件和 40 件, 而一等品分别有 20 件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试 求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率. 解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A1,A2,A3 分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A1,A2,A3 构成 完备事件组. 易知 P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3. 设 B 为先取出的是一等品的事件. 则 0.6 40 24 0.4, ( | ) 30 12 0.4, ( | ) 50 20 ( | ) P B A1 = = P B A2 = = P B A3 = = 根据全概率公式有 0.467 3 0.4 0.4 0.6 ( ) ( ) ( | ) 3 1 = + + = = i= P B P Ai P B Ai 设 C 为两次都取到一等品的事件, 则 0.38 40 39 24 23 ( | ) 0.1517 30 29 12 11 ( | ) 0.1551 50 49 20 19 ( | ) 2 4 0 2 2 4 3 2 3 0 2 1 2 2 2 5 0 2 2 0 1 = = = = = = = = = C C P C A C C P C A C C P C A 根据全概率公式有 0.22 3 0.1551 0.1517 0.3538 ( ) ( ) ( | ) 3 1 = + + = = i= P C P Ai P C Ai 30. 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“·”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出 信号“·”时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收到信息“·”及“—”；又当发出信号“—”时， 收报台分别以概率 0.9 及 0.1 收到信号“—”及“·”。求当收报台收到“·”时，发报台确系 发出信号“·”的概率，以及收到“—”时，确系发出“—”的概率。 解：设 A 为发出信号“·”，则 A 为发出信号“—”，则 A 与 A 构成完备事件组，且有 P(A)=0.6, P( A )=0.4。 设 B 为收到信号“·”，则 B 为收到信号“—”，根据题意有 P(B|A)=0.8, P(B| A )=0.1 P( B |A)=0.2, P( B | A )=0.9 因此，根据贝叶斯公式，当收到“·”条件下发报台发出“·”的概率为 0.923 0.6 0.8 0.4 0.1 0.6 0.8 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) = + = + = P A P B A P A P B A P A P B A P A B
而当收到“一”条件下发报台发出“一”的概率为 P(A)P(BA) 0.4×0.9 P(1bP(4P(B14)+P()PB|A)06×02+04×090x5 31.甲,乙两人射击,甲击中的概率为06,乙击中的概率为0.7,两人同时射击,并假定中靶 与否是独立的求(1)两人都中靶的概率;(2)甲中乙不中的概率;(3)甲不中乙中的概率 解:设事件A为甲,事件B为乙击中,则A与B相互独立 P(A)=0.6,P(B)=0.7 (1)两人都中靶的概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42 (2)甲中乙不中的概率 P(AB)=P(A[-P(B)=0.6×03=0.18 (3)甲不中乙中的概率 P(AB)=[-P(A)P(B)=0.4×0.7=0.28 32.从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进,若总机打通的概率为0.6,车 间分机占线的概率为03,假定二者是独立的,求从厂外向该车间打电话能打通的概率 解:设事件A为总机打通,B为车间分机占线,则A与B相互独立 P(A)=0.6,P(B)=0.3 则厂外向该车间打电话能打通的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=P(A-P(B)=0.6×0.7=0.42 33.加工一个产品要经过三道工序,第一,二,三道工序不出废品的概率分别为09,095,08, 若假定各工序是否出废品为独立的,求经过三道工序而不出废品的概率 解:设事件A,B,C为经过第一,二,三道工序不出废品,则A,B,C相互独立,且有 P(A)=0.9,P(B)=0.95,P(C=0.8 经过三道工序而不出废品的概率为 P(ABO=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.95×0.8=0.684 34.一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成,两部分有任何一个失灵,这个报警器失灵 若使用100小时后,雷达部分失灵的概率为0.1,计算机失灵的概率为03,若两部分失灵与 否为独立的,求这个报警器使用100小时而不失灵的概率 解:设A为雷达失灵,B为计算机失灵,则A与B相互独立,且有 P(A)=0.1,P(B=0.3 因此,这个报警器使用100小时不失灵的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=[-P()1-P(B=(1-0.1)1-0.3)=0.9×07=063 35.制造一种零件可采用两种工艺,第一种工艺有三道工序,每道工序的废品率分别为0.1, 0.2,03;第二种工艺有两道工序,每道工序的废品率都是03;如果使用第一种工艺,在合格 零件中,一级品率为09,而用第二种工艺合格品中的一级品率只有0.8,试问哪一种工艺 能保证得到一级品的概率较大? 解:(1)计算第一种工艺的一级品率 设A1,A2,A为经过第一,二,三道工序时出废品,B为产品合格,C为产品为一级品 则A1,A2,A3相互独立,B=A1A2A43,并有
而当收到“—”条件下发报台发出“—”的概率为 0.75 0.6 0.2 0.4 0.9 0.4 0.9 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) = + = + = P A P B A P A P B A P A P B A P A B 31. 甲,乙两人射击, 甲击中的概率为 0.6, 乙击中的概率为 0.7, 两人同时射击, 并假定中靶 与否是独立的. 求(1)两人都中靶的概率; (2) 甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率. 解: 设事件 A 为甲, 事件 B 为乙击中, 则 A 与 B 相互独立, P(A)=0.6, P(B)=0.7 (1) 两人都中靶的概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42 (2) 甲中乙不中的概率 P(AB) = P(A)[1− P(B)] = 0.60.3 = 0.18 (3) 甲不中乙中的概率 P(AB) = [1− P(A)]P(B) = 0.40.7 = 0.28 32. 从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进, 若总机打通的概率为 0.6, 车 间分机占线的概率为 0.3, 假定二者是独立的, 求从厂外向该车间打电话能打通的概率. 解: 设事件 A 为总机打通, B 为车间分机占线, 则 A 与 B 相互独立, P(A)=0.6, P(B)=0.3 则厂外向该车间打电话能打通的概率为 P(AB) = P(A)P(B) = P(A)[1− P(B)] = 0.60.7 = 0.42 33. 加工一个产品要经过三道工序, 第一,二,三道工序不出废品的概率分别为 0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品为独立的, 求经过三道工序而不出废品的概率. 解: 设事件 A,B,C 为经过第一,二,三道工序不出废品, 则 A,B,C 相互独立, 且有 P(A)=0.9, P(B)=0.95, P(C)=0.8 经过三道工序而不出废品的概率为 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.95×0.8=0.684 34. 一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成, 两部分有任何一个失灵, 这个报警器失灵, 若使用 100 小时后, 雷达部分失灵的概率为 0.1, 计算机失灵的概率为 0.3, 若两部分失灵与 否为独立的, 求这个报警器使用 100 小时而不失灵的概率. 解: 设 A 为雷达失灵, B 为计算机失灵, 则 A 与 B 相互独立, 且有 P(A)=0.1, P(B)=0.3 因此, 这个报警器使用 100 小时不失灵的概率为 P(A B) = P(A)P(B) = [1− P(A)][1− P(B)] = (1− 0.1)(1− 0.3) = 0.90.7 = 0.63 35. 制造一种零件可采用两种工艺, 第一种工艺有三道工序, 每道工序的废品率分别为 0.1, 0.2, 0.3; 第二种工艺有两道工序, 每道工序的废品率都是 0.3; 如果使用第一种工艺, 在合格 零件中, 一级品率为 0.9, 而用第二种工艺, 合格品中的一级品率只有 0.8, 试问哪一种工艺 能保证得到一级品的概率较大? 解: (1) 计算第一种工艺的一级品率 设 A1,A2,A3 为经过第一,二,三道工序时出废品, B 为产品合格, C 为产品为一级品 则 A1,A2,A3 相互独立, B = A1A2 A3 , 并有
P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3 P(CB)=0.9 P(B)=P(41)P(A2)P(A3)=[-P(A1-P(A2)1-P(43) (1-0.1)(1-0.2(1-0.3)=0.9×0.8×0.7=0.504 因B2C,因此BC=C, 则P(C|B)=P(BC)P(C P(B) P(B) 则第一种工艺的一级品率为P(C)=P(B)P(C|B)=0.504×0.9=0.4536 (2)计算第二种工艺的一级品率 设设A1,A2为经过第一,二道工序时出废品,B为产品合格,C为产品为一级品 则A1A2相互独立,B=A1A2,并有 P(A1)=P(A2)=0.3 P(B)=P(A1)P(A2)=[l-P(A1川1-P(A2) (1-0.3)(1-0.3)=0.7×0.7=0.49 因B=C,因此BC=C, 则PC|B)=P(BCP(C P(B) P(B 因此第二种工艺的一级品率为P(C)=P(B)P(C|B)=0.49×08=0.392 因此,第一种工艺的一级品率04536要大于第二种工艺的一级品率0392 36.3人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,问能将此密码译出 的概率是多少? 解:设A,B,C为各个人译出密码,则A,B,C相互独立,且有 P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C=14, 因此,将密码译出的概率为 P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-[-P(A)[1-P(B-P(C 1-(1-1/5(1-1/3)(1-1/4) 4 2 1-二=0.6 534 37.电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为02,求3个灯泡在使用1000小时后,最多只 有一个坏了的概率 解:在此贝努里试验概型中,设事件A为灯泡损坏,则事件A发生的概率p=1-0.2=0.8,试验 次数m=3,设事件B为最多只有一个坏,因此 P(B)=P3(0)+p2(1)=0.23+3×0.22×0.8=0008+0096=0.104 38.某机构有一个9人组成的顾问小组,若每个顾问贡献正确意见的百分比是07,现在该机
P(A1)=0.1, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(C|B)=0.9 (1 0.1)(1 0.2)(1 0.3) 0.9 0.8 0.7 0.504 ( ) ( ) ( ) ( ) [1 ( )][1 ( )][1 ( )] 1 2 3 1 2 3 = − − − = = P B = P A P A P A = − P A − P A − P A 因 B C, 因此 BC=C, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P B P C P B P BC P C B = = , 则第一种工艺的一级品率为 P(C) = P(B)P(C | B) = 0.504 0.9 = 0.4536 (2) 计算第二种工艺的一级品率 设设 A1,A2 为经过第一,二道工序时出废品, B 为产品合格, C 为产品为一级品 则 A1,A2 相互独立, B = A1A2 , 并有 P(A1)=P(A2)=0.3 P(C|B)=0.8 (1 0.3)(1 0.3) 0.7 0.7 0.49 ( ) ( ) ( ) [1 ( )][1 ( )] 1 2 1 2 = − − = = P B = P A P A = − P A − P A 因 B C, 因此 BC=C, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P B P C P B P BC P C B = = , 因此第二种工艺的一级品率为 P(C) = P(B)P(C | B) = 0.49 0.8 = 0.392 因此, 第一种工艺的一级品率 0.4536 要大于第二种工艺的一级品率 0.392. 36. 3 人独立地去破译一个密码, 他们能译出的概率分别为 1/5, 1/3, 1/4, 问能将此密码译出 的概率是多少? 解: 设 A,B,C 为各个人译出密码, 则 A,B,C 相互独立, 且有 P(A)=1/5, P(B)=1/3, P(C)=1/4, 因此, 将密码译出的概率为 0.6 5 2 1 4 3 3 2 5 4 1 1 (1 1/ 5)(1 1/ 3)((1 1/ 4) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 [1 ( )][1 ( )][1 ( )] = − = − = = − − − − P A + B + C = − P A P B P C = − − P A − P B − P C 37. 电灯泡使用寿命在 1000 小时以上的概率为 0.2, 求 3 个灯泡在使用 1000 小时后, 最多只 有一个坏了的概率. 解: 在此贝努里试验概型中, 设事件 A 为灯泡损坏, 则事件 A 发生的概率 p=1-0.2=0.8, 试验 次数 n=3, 设事件 B 为最多只有一个坏, 因此 ( ) (0) (1) 0.2 3 0.2 0.8 0.008 0.096 0.104 3 2 P B = p3 + p3 = + = + = 38. 某机构有一个 9 人组成的顾问小组, 若每个顾问贡献正确意见的百分比是 0.7, 现在该机