独立试验概型
2 独立试验概型
事件的独立性 定义1.4如果事件A发生的可 能性不受事件B发生与否的影 响,即P(AB)=P(A,则称事件A 对于事件B独立
3 事件的独立性 定义1.4 如果事件A发生的可 能性不受事件B发生与否的影 响, 即P(A|B)=P(A), 则称事件A 对于事件B独立
由此定义及条件概率PB)的定义有 P(4/B)sP(B)=P(4 P(B) 因此必有P(AB)=P(A)P(B) 反过来,如有P(AB)=P(A)P(B) 则必有P(A|B) P(AB) P(A) P(B) 因此P(AB)=P(AP(B)是A对于B独立的充分 必要条件,而且可以看出如果A对于B独立则B 对于A也独立,因此称事件A与B相互独立
4 由此定义及条件概率P(A|B)的定义有 对于 也独立 因此称事件 与 相互独立 必要条件 而且可以看出如果 对于 独立则 因此 是 对于 独立的充分 则必有 反过来 如有 因此必有 A A B A B B P A B P A P B A B P A P B P A B P A B P A B P A P B P A B P A P B P A P B P A B P A B , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) = = = = = = =
如A与B独立,则 A与B也独立,这是因为 P(AB)=P(A-AB) P(A)-P(AB) P(A)-P(A)P(B) =P(A)1-P(B) P(AP(B) 同理可知A与B,A与B也相互独立
5 如A与B独立, 则 , . ( ) ( ) ( )[1 ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 同理可知 与 与 也相互独立 与 也独立 这是因为 A B A B P A P B P A P B P A P A P B P A P AB P AB P A AB A B = = − = − = − = −
在实用中 两个事件独立经常是由于两个试验独立,且总 的试验由两个试验拼成.这两个试验相互之间 没有任何影响. 在解题过程中,通常题目中已经告诉你哪些事 件独立或者说相互无关 在科学实验中,两个事件是否独立是需要经过 理论和实验的反复验证的比如一种治疗方法 或者一种药是否和另一种病的好转或者恶化 有关系,或者完全没有关系(独立)
6 在实用中 两个事件独立经常是由于两个试验独立, 且总 的试验由两个试验拼成. 这两个试验相互之间 没有任何影响. 在解题过程中,通常题目中已经告诉你哪些事 件独立或者说相互无关. 在科学实验中, 两个事件是否独立是需要经过 理论和实验的反复验证的.比如一种治疗方法 或者一种药是否和另一种病的好转或者恶化 有关系, 或者完全没有关系(独立)
定义1.5 如果n(n>2)个事件A1A2,…,4n中任何 个事件发生的可能性都不受其它 个或几个事件发生与否的影响,则称 A1,42,,n相互独立 若 ,A,相互独立,则有 P(A1A2…An)=P(1)P(2).…,P(An)
7 定义1.5 如果n(n>2)个事件A1 ,A2 ,…,An中任何 一个事件发生的可能性都不受其它一 个或几个事件发生与否的影响, 则称 A1 ,A2 ,…,An相互独立. 若A1 ,A2 ,…,An相互独立, 则有 P(A1A2…An )= P(A1 )P(A2 )…P(An )
除非两个事件之一的概率为0, 否则两个相互独立的事件A与B通常是相容的, 这是因为P(AB)=P(A(B)不为零 计算相互独立事件的交的概率通常是好算的 只须将它们各自的概率相乘即可.但经常也要 计算到相互独立事件的并的概率,这时候或者 可以用广义加法法则,即 P(A+B)=P(A+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(AP(B)
8 除非两个事件之一的概率为0, 否则两个相互独立的事件A与B通常是相容的, 这是因为P(AB)=P(A)P(B)不为零. 计算相互独立事件的交的概率通常是好算的, 只须将它们各自的概率相乘即可. 但经常也要 计算到相互独立事件的并的概率, 这时候或者 可以用广义加法法则, 即 P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB) =P(A)+P(B)−P(A)P(B)
如果是要求多个相互独立的事件的并的概率, 应当利用狄摩根定理将事件的并转换为事 件的交,也就是考虑事件的逆的概率 P(A+B)=1-P(AB)=1-P(A)P(B) P(A1+A2+…+An)=1-P(A1A2…An) 1-P(A1)P(A2)…P(An)
9 如果是要求多个相互独立的事件的并的概率, 则应当利用狄.摩根定理将事件的并转换为事 件的交, 也就是考虑事件的逆的概率. 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 n n n P A P A P A P A A A P A A A P A B P A B P A P B = − + + + = − + = − = −
但是,经常有的难题喜欢求某些独立事件的 交了再并的概率,这时候不得不套用广义加 法法则,尤其常用的是三个事件的并的加法 法则 P(A+B+C=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) P(BC)+P(ABC) 例如,常见的求AB+CD+EF的概率,则 P(AB+CD+EF=P(AB)+P(CD)+P(EF) P(ABCD)P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF) 如果A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各 个交事件的概率再变成各概率之积
10 但是, 经常有的难题喜欢求某些独立事件的 交了再并的概率, 这时候不得不套用广义加 法法则, 尤其常用的是三个事件的并的加法 法则, P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)− P(BC)+P(ABC) 例如, 常见的求AB+CD+EF的概率, 则 P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)− P(ABCD)−P(ABEF)−P(CDEF)+P(ABCDEF) 如果A,B,C,D,E,F相互之间独立, 则上式中的各 个交事件的概率再变成各概率之积
而一种非常常见的题型,就是假设 事件A,B,C相互独立,但是问其中至少两件发 生的概率,或者至少两件不发生的概率而 A,B,C至少两件发生的事件为 AB+AC+BC,因此 P(AB+AC+BC=P(AB)+P(AC)+P(BC) P(ABC)-P(ABC)-P(ABC)+P(ABC P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C 2P(A)P(B)P(C)
11 而一种非常常见的题型, 就是假设 事件A,B,C相互独立, 但是问其中至少两件发 生的概率, 或者至少两件不发生的概率.而 A,B,C至少两件发生的事件为 AB+AC+BC, 因此 P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)− P(ABC)−P(ABC)−P(ABC)+P(ABC) =P(AB)+P(AC)+P(BC)−2P(ABC) = P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C) −2P(A)P(B)P(C)
