第二章随机变量及其分布 随机变量的概念
2 第二章 随机变量及其分布 随机变量的概念
再谈试验及样本空间 次随机试验的所有可能的试验结果ω所构 成的集合被称作样本空间2,而每一个可能的 试验结果Q构成样本点.样本点的集合A称作 事件,只包含一个样本点的集合{}被称作基 本事件 请注意,这里的试验结果实际上是一次试验的 全过程的记录,因此和我们原来的印象中的试 验结果并非一样,并非试验结束时候的那个结 果
3 再谈试验及样本空间 一次随机试验的所有可能的试验结果所构 成的集合被称作样本空间, 而每一个可能的 试验结果构成样本点. 样本点的集合A称作 事件, 只包含一个样本点的集合{}被称作基 本事件. 请注意, 这里的试验结果实际上是一次试验的 全过程的记录, 因此和我们原来的印象中的试 验结果并非一样, 并非试验结束时候的那个结 果
例如,假设一场足球赛是一个试验 那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记 录,可以认为记录着整场球赛的录象带是一个 试验结果,而非比赛结束时候的比分是试验结 果. 因此,象{比赛的头五分钟有球队进球},{上半 场甲队领先},{第三十分钟到三十四分钟期间 有一次角球},{前十五分钟有人被罚下场}都 是事件,它们都是由一系列可能的试验结果构 成
4 例如, 假设一场足球赛是一个试验 那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记 录, 可以认为记录着整场球赛的录象带是一个 试验结果, 而非比赛结束时候的比分是试验结 果. 因此, 象{比赛的头五分钟有球队进球}, {上半 场甲队领先}, {第三十分钟到三十四分钟期间 有一次角球}, {前十五分钟有人被罚下场}都 是事件, 它们都是由一系列可能的试验结果构 成
因此,样本空间是一个非常抽象的集合 从理论上讲它可以是任何集合.但这对于研究 带来了许多不方便 而数学上则更喜欢研究实数集合. 方面,样本空间本身也可能就是实数集合或 者其子集 另一方面,可以建立一个从样本空间到实数集 合的一个映射,即每给定一个实验结果或者 样本点a存在着唯一的一个实数(ω)与之 对应.这样就建立了一个自变量为o而函数 值则为实数的一个特殊的"函数"我们称之 为随机变量
5 因此, 样本空间是一个非常抽象的集合 从理论上讲它可以是任何集合. 但这对于研究 带来了许多不方便. 而数学上则更喜欢研究实数集合. 一方面, 样本空间本身也可能就是实数集合或 者其子集. 另一方面, 可以建立一个从样本空间到实数集 合的一个映射, 即每给定一个实验结果或者 样本点, 存在着唯一的一个实数()与之 对应. 这样就建立了一个自变量为而函数 值则为实数的一个特殊的"函数". 我们称之 为随机变量
这可以用下图来示意 b Q1 此图显示了只有四个样本点的一个样本空间 映射到实数a,b,c的一种映射.注意a1和a映射 到同一个实数b,这是一种常见的情况
6 3 4 2 1 这可以用下图来示意 此图显示了只有四个样本点的一个样本空间 映射到实数a,b,c的一种映射. 注意1和2映射 到同一个实数b, 这是一种常见的情况. x a b c
从样本空间到实数的映射方法有许多种 每一种映射方法,被称为一个随机变量.一般用希腊 字母ξ,1,或大写拉丁字母XY,Z等表示 通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射 到实数集合.而也有一些试验的结果干脆就是数 字,即样本空间本来就是实数 当我们看到一个随机变量,可以想到一种在实数 轴上进行的随机试验,每次试验的结果的样本空 间就是实数集合,每一次试验都将产生一个具体 的实数,但具体产生哪个实数不可预知
7 从样本空间到实数的映射方法有许多种, 每一种映射方法, 被称为一个随机变量. 一般用希腊 字母,h, z或大写拉丁字母X,Y,Z等表示. 通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射 到实数集合. 而也有一些试验的结果干脆就是数 字, 即样本空间本来就是实数. 当我们看到一个随机变量时, 可以想到一种在实数 轴上进行的随机试验, 每次试验的结果的样本空 间就是实数集合, 每一次试验都将产生一个具体 的实数, 但具体产生哪个实数不可预知
些随机变量的例 )一个射手对目标进行射击,击中目标记为1 分,未中目标记为0分.如果用与表示射手在 次射击中的得分,则它是一个随机变量,可以 取0和1两个可能的值 (2)某段时间内候车室的旅客数目记为,它是 个随机变量,可以取0及一切不大于M的自 然数,M为候车室的最大容量 (3)单位面积上某农作物的产量ξ是一个随机 变量,它可以取一个区间内的一切实数值,即 ∈[0,],T是一个常数
8 一些随机变量的例 (1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1 分, 未中目标记为0分. 如果用表示射手在一 次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以 取0和1两个可能的值. (2) 某段时间内候车室的旅客数目记为, 它是 一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自 然数, M为候车室的最大容量. (3) 单位面积上某农作物的产量是一个随机 变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即 [0,T], T是一个常数
给定一随机变量ξ它有可能取某些值,而没有 可能取另一些值.因此可按取值情况将随机变 量分为两类 (1)离散型随机变量只可能取有限个或无限可 列个值 (2)韭离散型随机变量可能取仼何实数 而非离散型随机变量中最常用的为连续型随 机变量
9 给定一随机变量, 它有可能取某些值, 而没有 可能取另一些值. 因此可按取值情况将随机变 量分为两类: (1) 离散型随机变量只可能取有限个或无限可 列个值. (2) 非离散型随机变量可能取任何实数. 而非离散型随机变量中最常用的为连续型随 机变量
随机变量的分布 离散型随机变量的分布
10 随机变量的分布 离散型随机变量的分布
定义2.1如果随机变量2只取有限个或可列 个可能值,而且以确定的概率取这些不同的 值,则称ξ为离散性随机变量 为直观起见,将坷可能取的值及相应概率 列成概率分布表如下 x k P pk 此外,的概率分布情况也可以用一系列等式 表示:P(2=x)=Pk(k=1,2,) 这被称作随机变量的概率函数(或概率分布)
11 定义 2.1 如果随机变量只取有限个或可列 个可能值, 而且以确定的概率取这些不同的 值, 则称为离散性随机变量. 为直观起见, 将可能取的值及相应概率 列成概率分布表如下 x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk … 此外, 的概率分布情况也可以用一系列等式 表示: P(=xk )=pk (k=1,2,…) 这被称作随机变量的概率函数(或概率分布)
