§3-7.R、L、C串联的交流电路 电流与电压的关系(u-关系) 电阻、电感与电容元件的串联交流电路,各元件 通过同一电流。若设定电流及电压的正方向以后 总电压瞬时值可由克希荷夫定律得到下式: u=UDf+U IC=iR+L+ udt 设电流参考量 dt R R i= sin ot 考虑RLC元件上的电压相位,可叫3L uR与i同相: UR=RIm sin ot=URm sin ot u C
§3-7. R、L、C串联的交流电路 一. 电流与电压的关系(u~i 关系) = + + = + + udt dt C di u uR uL uC iR L 1 设电流参考量 i = Im sin t 考虑 R L C 元件上的电压相位， uR与 i 同相： uR = RIm sin t = URm sin t i u uL L uR uC R C 电阻、电感与电容元件的串联交流电路，各元件 通过同一电流。若设定电流及电压的正方向以后， 总电压瞬时值可由克希荷夫定律得到下式：
电感上的电压u比电流i越前90° uL= OLSen(ot+90°)= ULm sin(ot+90°) 电容上的电压u比电流i滞后90° u Isin(ot-90%)=UCm sin(ot-90 OC 上面各量的最大值及有效值符合欧姆定律, 即:U1 Rm R U =R m U Lm U OL=XL UR U X C I OC C
电感上的电压uL比电流 i 越前90° u = I Lsin(t + 90) = U sin(t + 90) L m Lm 电容上的电压uL比电流 i 滞后90° sin( − 90) = sin( − 90) = t U t C I u Cm m C 上面各量的最大值及有效值符合欧姆定律， 即： R I U I U R m Rm = = C C m Cm X I C U I U = = = 1 L L m Lm L X I U I U = = = . I UC . UR . UL . . U
考虑同一频率的各电压求和仍是一个同频率的 正弦量,所以电路的端电压为 u=UR+UL+uc=Um sin(ot+() 利用相量图来求解幅值Um(或有效值U)及相位差q, 最为方便。根据相量图,可将电阻、电感及电 容的电压分别用想表示,即得到由U、UR和 (UL+Uc)组成的直角三角形 称为电压三角形。由几何关系知UL U=√、UR+(U1-U U IR+( - o R UR 也可写成U UC √R2+(X1-Xc)2=z
考虑同一频率的各电压求和仍是一个同频率的 正弦量，所以电路的端电压为 利用相量图来求解幅值Um(或有效值U)及相位差， 最为方便。根据相量图，可将电阻、电感及电 容的电压分别用想表示，即得到由 、 和 u = u + u + uC = Um sin(t + ) R L . I UC . UR . UL . . U . U UR . ( ) . . UL + UC 组成的直角三角形， 称为电压三角形。由几何关系知 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) L C R L L IR IX IX U U U U = + − = + − 2 2 = I R + (XL − XC ) 也可写成 R X X z I U = + L − C = 2 2 ( )
由上式z=√R2+(x1-Xc)2=U/I |Z|也具有对电流起阻碍作用的性质,其单位 也是欧姆,称之为电路的阻抗。 由于其数值关系,可知Z|、R、(X1XC) 者之间的关系可以用一个直角三角形来| 表示—称为阻抗三角形。 XL-XC 电压三角形与阻抗三角形是相似 R 形,⊥q就是总电压与电流之间 p UL+UC 的相位差。 UR 这样相位差q就可通过两种方法计算: op=arct LUC=arct L- XC U R R
由上式 • | Z | 也具有对电流起阻碍作用的性质，其单位 也是欧姆，称之为电路的阻抗。 z R X XC U I = + L − = 2 2 ( ) 由于其数值关系，可知| Z | 、R、(XL–XC) 三者之间的关系可以用一个直角三角形来 表示——称为阻抗三角形。 | Z | R XL–XC 电压三角形与阻抗三角形是相似 形， / 就是总电压与电流之间 的相位差。 UR . UL UC . . + . U 这样相位差 就可通过两种方法计算： R X X arctg U U U arctg L C R L C − = − =
在频率一定时,相位差φ由电路参数决定 当X1>Xc时,有q>0,u比i越前角,电路呈电感性; 当X1<Xc时,有φ<0,u比i滞后φ角,电路呈电容性; 当X1=XC时,有φ=0,u与i同相,电路呈电阻性。 由电压瞬时值的关系u=uR+u+uC 应有U=UR+UL+Uc=IR+jIXL-jIXc 大小、相位及相量关系 zUmU i,YuYi,U=ZI m
在频率一定时，相位差由电路参数决定 • 当XL>XC时，有 >0，u 比 i 越前角，电路呈电感性； • 当XL<XC时，有 <0，u 比 i 滞后角，电路呈电容性； • 当XL=XC时，有 = 0，u 与 i 同相，电路呈电阻性。 , I U I U Z m m = = 大小、相位及相量关系 , = u −i • • U = ZI 由电压瞬时值的关系 u=uR + uL + uC 应有 R L C L XC U U U U IR jI X jI • • • • • • • = + + = + −
由此定义Z为复阻抗 Z=R+j(XL-Xc)=Z e lop 其中 Z=VR+(XL-Xc (=arct AL-Xc R 与以前定义一致。实部为电阻,虚部称为电抗。 复数阻抗的大小反映了电路的电压与电流的大小关 系;它的辐角q反映了电路的电压与电流的相位关系。 用相量表示正弦量为复数,但并不是说正弦量是复 数。而复数阻抗是一种复数计算量,不是相量
由此定义Z为复阻抗 其中 = + − = j L C Z R j(X X ) Z e 2 2 ( ) Z = R + XL − XC R X X arctg L − C = 与以前定义一致。实部为电阻，虚部称为电抗。 复数阻抗的大小反映了电路的电压与电流的大小关 系；它的辐角反映了电路的电压与电流的相位关系。 用相量表示正弦量为复数，但并不是说正弦量是复 数。而复数阻抗是一种复数计算量，不是相量
二.RLC串联电路的功率 瞬时功率 p=ui=v2U sin( ot+y)v2Isin( ot+y. UI cos(yu -vi)-UI cos(2ot +yu=Y,) UI cos (p-UI cos(2ot +op) 平均功率(有功功率) P=pt=J[UI cos (-UI cos(2ot+o)]dt TO TO UI COSO=UD=I'R=OR R
二. RLC串联电路的功率 瞬时功率 UI cos UI cos(2 t ) UI cos( ) UI cos(2 t ) p ui 2Usin( t ) 2Isin( t ) u i u i u i = − + = − − + − = = + + 平均功率（有功功率） UI UI t dt T pdt T P T t [ cos cos(2 )] 1 1 0 0 = = − + R U UI IU I R R R 2 2 = cos = = =
无功功率 电路与电源之间进行能量交换的规模用 无功功率Q表示。 Q=U1I-Ul= USino单位:z(ar) 视在功率 电路端电压有效值与其所通过电流有效 值的乘积称为视在功率,用S表示 S=UI=12单位:伏安(VA) 由于平均功率P、无功功率Q及视在功率S三者 所代表的意义不同,它们的单位也有区别
无功功率 电路与电源之间进行能量交换的规模用 无功功率Q表示。 Q=UL I－UCI=UIsin 单位：乏(Var) 视在功率 S=UI=I2 |Z| 单位：伏安（VA） 电路端电压有效值与其所通过电流有效 值的乘积称为视在功率，用S表示。 由于平均功率P、无功功率Q及视在功率S三者 所代表的意义不同，它们的单位也有区别
功率三角形 平均功率P、无功功率Q及视在功率S三者之间的 数值关系为 S 2 P+Q 显然,P、Q、S可以构成一个直角三角形 功率三角形。 个三角形都是相似形,它们具有一个相同/q。 功率P、Q、S和阻抗|Z|、R、X都不是正弦量, 所对应的三角形不能用相量表示。 Q 电压U、UR、UL-Uc是正弦量, 所以电压三角形的三边是相量
P Q S UL–U U C UR 功率三角形 • 平均功率P、无功功率Q及视在功率S三者之间的 数值关系为 2 2 S = P +Q 显然，P、Q、S可以构成一个直角三角形—— 功率三角形。 三个三角形都是相似形，它们具有一个相同/ 。 功率P、Q、S和阻抗 | Z |、R、X都不是正弦量， 所对应的三角形不能用相量表示。 电压 、 、 是正弦量， 所以电压三角形的三边是相量。 UR • • U UL UC • • − | Z | X L–X C R
例RC串联电路,已知R=302L=127mH2 C=40uF,电源电压u=222sin314t+20°V 求:(1)电路的感抗、容抗和阻抗; (2)电流有效值及瞬时值的表达式 3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式 (4)作相量图; (5)电路的功率P和Q。 解X1)感抗X1=0L=314×127×1032=402 容抗XC=1/0C=(314×40×106)=8092 阻抗z=R2+(x1-xc)2=502 (2)电流有效值I=U/=220/50=44A 相位差角q=arct-R C=-53电容性)
例 RLC串联电路，已知R=30, L=127mH, C=40F,电源电压u=220 2(sin314t+20º)V 求: (1)电路的感抗、容抗和阻抗； (2)电流有效值及瞬时值的表达式； (3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式； (4)作相量图； (5)电路的功率P和Q。 解 (1) 感抗 = = = − 314 127 10 40 3 XL L 容抗 = = = − − 1/ (314 40 10 ) 80 6 1 XC C = + ( − ) = 50 2 2 阻抗 Z R XL XC (2) 电流有效值 I = U/ Z = 220/ 50 = 4.4A = −53(电容性) − = R X X arctg L C 相位差角