西安开放大学 1HF0学车N1VE程6TV行F义1中A为 《高等数学基础》 第二讲 极限的概念与计算 主讲：侯新昌教授
第二讲 极限的概念与计算 主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》
极限的概念与计算 函数的极限 1.X→∞（士0∞） 2.X→X0 1 lim-=0 X→0∞X y= 1 lim x-0o xk =0 (k>0)
极限的概念与计算 函数的极限 1. 𝑥 → ∞ (±∞) 2. 𝑥 → 𝑥0 lim 𝑥→∞ 1 𝑥 = 0 lim 𝑥→∞ 1 𝑥 𝑘 = 0 (𝑘 > 0)
极限的概念与计算 函数的极限 1.X→∞（士∞） lim ex=( 0 y=ex X→-00 2.5 3 1 1.5 lim X-→+00 =0
极限的概念与计算 1. 𝑥 → ∞ (±∞) lim 𝑥→−∞ 𝑒 𝑥 = 0 lim 𝑥→+∞ 1 𝑒 𝑥 = 0 函数的极限
极限的概念与计算 函数的极限 2.X→x0(从x左右两侧，但x≠x0) x→2，y=x2的变化趋势. B lim x2 =4 X>2 y=x2
2. 𝑥 → 𝑥0 2 x → 2, y = x 的变化趋势. lim 4 2 2 = → x x （从 x0 左右两侧，但 𝑥 ≠ 𝑥0 ） 函数的极限 极限的概念与计算
极限的概念与计算 函数的极限 2.X→x0(从x左右两侧，但x≠x0) 2.5 x→1，y= x2-1 的变化趋势. x-1 2● y= -1 x2-1 1.5 X-1 lim =2 x→1 x-1 0.5 lim c=c 0.5 -1
极限的概念与计算 2. 𝑥 → 𝑥0 的变化趋势. 1 1 1, 2 − − → = x x x y 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x c c x = →? lim （从𝑥0左右两侧，但𝑥 ≠ 𝑥0） 函数的极限
极限的概念与计算 函数的极限 2.x→x0(从x0左右两侧，但x≠x0) lim 一 不存在 x→0 y=sin( 1 lim sin 不存在 x→0 X
极限的概念与计算 2. 𝑥 → 𝑥0 x x 1 lim →0 不存在. x x 1 lim sin →0 不存在. （从𝑥0左右两侧，但𝑥 ≠ 𝑥0） 函数的极限
极限的概念与计算 左极限和右极限（单侧） 左极限x从xo的左侧趋于x0,记为x→x0,1imf(x). x→X0 右极限x从xo的右侧趋于xo,记为x→x时，limf(x). X→X0 例1设f(x)= x,x0 x>0+ imf(x)不存在 x→0
极限的概念与计算 左极限和右极限（单侧） 𝑥 从 𝑥0 的左侧趋于 𝑥0 ，记为 𝑥 → 𝑥0 − , lim 𝑥→𝑥0 − 左极限 𝑓(𝑥) . 𝑥 从 𝑥0 的右侧趋于 𝑥0 ，记为 𝑥 → 𝑥0 + , lim 𝑥→𝑥0 + 右极限 𝑓(𝑥) . = 1, 0, , 0, ( ) x x x f x 求 lim ( ), lim ( ) 0 0 f x f x x x 例1 设 → − → + lim ( ) lim 0 0 0 = = → − → − f x x x x lim ( ) lim 1 1 0 0 = = → + → + x x 解： f x lim ( ) 0 f x x→ 不存在
极限的概念与计算 左极限和右极限（单侧) 0世四-从 ,求imf(x): x→0 解x=0是函数的分段点，两个单侧极限为 mfo)=im1=0）=1, x→0 y=1-x lim f(x)=lim(x+1)=1, c0+ x-0 y=x 左右极限存在且相等， 0 故limf(x)=1. →0
极限的概念与计算 例2 , lim ( ). 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 f x x x x x f x x→ + − 设 = 求 y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x + 解 x = 0 是函数的分段点,两个单侧极限为 lim ( ) lim (1 ) 0 0 f x x x x = − → − → − = 1, lim ( ) lim ( 1) 2 0 0 = + → + → + f x x x x = 1, 左右极限存在且相等, lim f ( x ) . x = 1 →0 故 左极限和右极限（单侧）
极限的概念与计算 无穷小量 定义1.6在自变量的某个变化过程中，极限为零的量称为无穷小量。 是m→∞时的无穷小.2x+3是x→-三时的无穷小 m 定理1.2无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 lim xsin=0 lim smx=0 sin x x→0 X X 非零的无穷小量的倒数称为无穷大 lim =00 lim -=00 →0X x-→o sinx
极限的概念与计算 无穷小量 定义1.6 在自变量的某个变化过程中，极限为零的量称为无穷小量。 定理1.2 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 0 1 lim sin 0 = → x x x 0 sin lim = → x x x 非零的无穷小量的倒数称为无穷大. = x→ x 1 lim 0 = → x x x sin lim 1 𝑛 是 𝑛 → ∞ 时的无穷小. 2𝑥 + 3 是 𝑥 → − 3 2 时的无穷小
极限的概念与计算 极限的计算 1.极限的四侧运算法测 定理 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lim[f(x)±g(x)]=A±B (2)lim[f(x)·g(x)]=A·B 特别地lim[kf(x)]=kA (3)limf g(x) =(B≠0)
极限的概念与计算 极限的计算 定理 1. 极限的四则运算法则 设 𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥 = 𝐴, 𝑙𝑖𝑚𝑔 𝑥 = 𝐵, 则 1 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = 𝐴 ± 𝐵 2 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝐵 3 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐴 𝐵 , (𝐵 ≠ 0) 特别地 𝑙𝑖𝑚 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘𝐴