工程科学学报，第37卷，第5期：655660,2015年5月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.5:655-660,May 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.05.018:http://journals.ustb.edu.cn Watt-I型六杆刚体导引机构的解域综合方法 韩建友区，李人武，杨通，崔光珍 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:jyhan@ustb.cdu.cn 摘要给出了WtH型六杆机构尺寸综合的一种新方法.该方法对于刚体有限分离四位置问题通过建立机构解域，最终 能够得到满足给定设计条件的全部可行解.本文首先给出解曲线公式，并介绍解曲线的映射和构成平面解域的方法.然后给 出该类型机构的回路与分支缺陷判定方法.通过缺陷判定得到无缺陷的机构解可行域，从而使设计者能够得到满足更多设 计要求的更优机构，避免选择机构的盲目性，提高设计效率.最后，通过综合示例说明本文所提出方法的综合过程，证明了方 法的实用性和有效性。 关键词导引机构：刚体：求解方法：缺陷判定：可行域 分类号TH122 Solution-region synthesis approach of a Watt-I six-bar rigid-body guidance mechanism HAN Jian-you,LI Ren-wu,YANG Tong,CUI Guang-zhen School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:jyhan@ustb.edu.cn ABSTRACT A new approach of dimensional synthesis is introduced for Watt-I six-bar rigid-body guidance mechanisms.Through establishing the mechanism solution-region,this approach can get all feasible solutions for the finite separated four-position problem of the rigid-body in the end.This paper firstly gives the solution-curve formula and recommends the methods of solution-curve mapping and forming plane solution-region.After that,a circle and branch defects decision is proposed for this type of mechanism.Through this defect decision,the feasible region of no-defect mechanism solutions is acquired,which makes a designer be able to get much bet- ter mechanisms that meet much more design requirements,avoid the blindness of selecting mechanisms and improve the design effi- ciency.Finally,the synthesis process of the approach presented in this paper is illustrated through a synthesis example,which proves the practicability and effectiveness of this approach. KEY WORDS guidance mechanisms:rigid bodies;solution approach:defect decision;feasible region 刚体导引机构的四位置综合包括有限分离四位置 机构.由此可见，五位置问题的解决具有重要的理论 综合和复合四位置综合两类问题.本文就前者在 意义，而四位置问题的解决更具应用价值.对于四位 Wat-H型六杆机构中的应用进行了研究. 置综合问题，难点在于采用何种理论与方法以最终得 文献0-3]介绍了平面六杆和八杆机构的有限 到给定条件的最优机构. 分离五位置综合问题，其所获得机构的数目通常是有 在机构的综合过程中，对得到的机构进行缺陷判 限的几个确定解，而四位置问题可以获得无穷多机构 定是必不可少的.机构的缺陷包括回路缺陷、分支缺 解，大大增加了设计者的机构选择空间，再通过全解域 陷、运动顺序缺陷等.在机构的精确点位置综合中，如 遍历计算优选，最终可获得满足多种性能要求的最优 果其设计位置位于不同的回路，则说明机构存在回路 收稿日期：201402-16 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275034)
工程科学学报，第 37 卷，第 5 期: 655--660，2015 年 5 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 5: 655--660，May 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 05． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn Watt--I 型六杆刚体导引机构的解域综合方法 韩建友，李人武，杨 通，崔光珍 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: jyhan@ ustb． edu． cn 摘 要 给出了 Watt--I 型六杆机构尺寸综合的一种新方法． 该方法对于刚体有限分离四位置问题通过建立机构解域，最终 能够得到满足给定设计条件的全部可行解． 本文首先给出解曲线公式，并介绍解曲线的映射和构成平面解域的方法． 然后给 出该类型机构的回路与分支缺陷判定方法． 通过缺陷判定得到无缺陷的机构解可行域，从而使设计者能够得到满足更多设 计要求的更优机构，避免选择机构的盲目性，提高设计效率． 最后，通过综合示例说明本文所提出方法的综合过程，证明了方 法的实用性和有效性． 关键词 导引机构; 刚体; 求解方法; 缺陷判定; 可行域 分类号 TH122 Solution-region synthesis approach of a Watt--I six-bar rigid-body guidance mechanism HAN Jian-you ，LI Ｒen-wu，YANG Tong，CUI Guang-zhen School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: jyhan@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A new approach of dimensional synthesis is introduced for Watt--I six-bar rigid-body guidance mechanisms． Through establishing the mechanism solution-region，this approach can get all feasible solutions for the finite separated four-position problem of the rigid-body in the end． This paper firstly gives the solution-curve formula and recommends the methods of solution-curve mapping and forming plane solution-region． After that，a circle and branch defects decision is proposed for this type of mechanism． Through this defect decision，the feasible region of no-defect mechanism solutions is acquired，which makes a designer be able to get much better mechanisms that meet much more design requirements，avoid the blindness of selecting mechanisms and improve the design efficiency． Finally，the synthesis process of the approach presented in this paper is illustrated through a synthesis example，which proves the practicability and effectiveness of this approach． KEY WOＲDS guidance mechanisms; rigid bodies; solution approach; defect decision; feasible region 收稿日期: 2014--02--16 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51275034) 刚体导引机构的四位置综合包括有限分离四位置 综合和 复 合 四 位 置 综 合 两 类 问 题． 本 文 就 前 者 在 Watt--I 型六杆机构中的应用进行了研究． 文献［1 － 3］介绍了平面六杆和八杆机构的有限 分离五位置综合问题，其所获得机构的数目通常是有 限的几个确定解，而四位置问题可以获得无穷多机构 解，大大增加了设计者的机构选择空间，再通过全解域 遍历计算优选，最终可获得满足多种性能要求的最优 机构． 由此可见，五位置问题的解决具有重要的理论 意义，而四位置问题的解决更具应用价值． 对于四位 置综合问题，难点在于采用何种理论与方法以最终得 到给定条件的最优机构． 在机构的综合过程中，对得到的机构进行缺陷判 定是必不可少的． 机构的缺陷包括回路缺陷、分支缺 陷、运动顺序缺陷等． 在机构的精确点位置综合中，如 果其设计位置位于不同的回路，则说明机构存在回路
·656· 工程科学学报，第37卷，第5期 缺陷：如果其设计位置位于同一回路的不同分支，由于 机构处在静止位形时，其运动存在不确定性，则说明机 构存在分支缺陷.在单自由度连杆机构中，回路 问题与主动杆的选取无关，而分支问题则相反 文献5]介绍了Wa型六杆机构的回路问题，其 0 数目取决于机构中两四杆机构的回路特性及两者公共 (b) 铰链的运动范围，而对分支问题未进行研究，且文中局 限于公共铰链为主动铰链的机构：对于给定各杆长尺 寸及初始位形的Wat型六杆机构，文献[6]给出了其 主动杆运动范围的确定方法，这一范围可用于分支缺 a 陷判定，而不能用于回路缺陷判定；文献]通过建立 0 函数判别式求解出六杆机构奇异位置所对应的输入角 和机构主动杆的运动范围：文献8]利用RS方法判 图13R开链及两种Wat-I型六杆机构.(a)3R开链：(b) 断六杆机构和齿轮五杆机构是否存在曲柄：文献9] Watt-la;(c)Watt-Ib 采用结式消元的方法来判断Stephenson型六杆机构的 Fig.I 3R open chain and two kinds of Watt-I six-bar mechanisms. 死点位置：文献0]通过先建立输入一输出的一元六 (a)3R open chain:(b)Watt-la:(c)Watt-Ib 次方程，然后利用Surm定理判断机构的死点位置的 的杆长不变条件得其分布曲线方程 构型特点的方法，得到Stephenson-Ⅲ型六杆机构的死 点位置存在的充要条件：文献1]介绍了一种Ste- H(x+xy2)+(y+xy)++ phenson-Ⅱ型六杆机构的函数生成综合方法：文献 H4y2+Hxey。+H6x。+Hy。+Hs=0（1) 其中，曲线方程的具体推导过程和系数H(i=1,2,…, 2]借助软件系统对球面Wat-I型六杆机构的五位 8)的含义请参考文献3-15]，本文限于篇幅不再赘 置运动综合进行了研究：文献ǖ3-14]介绍了四杆机 构的解域综合方法；文献5]给出了基于四杆机构的 述。在此，铰链点C。的分布曲线表示为解曲线02-2， 前两个数字表示构件0和构件2，后一个数字表示该 六杆机构解域综合方法，即首先得到四杆机构，在此基 础上得到构成六杆机构的三次曲线，然后在曲线上选 点是在构件2上.在确定C。点位置时，与构件2上该 点对应的在构件0上有一对应点也同时确定.因此， 择合适的点，最终得到六杆机构. 本文在文献03-15]的基础上，将解域方法推广 铰链点A,的分布曲线，即解曲线02-0可以被求得和 应用于Wat-I型六杆机构，直接构成六杆机构的 绘制.考虑到两解曲线上点的一一对应关系，故只需 解域. 给出一条.从解曲线02-2和020上选取一组点，即 添加完RR杆A,Ca· 1有限分离四位置综合 第二步，添加RR杆B。B,在第一步中，已获得铰 在WatH型六杆机构的有限分离四位置综合中， 链点A。、C。的第一位置坐标，由三铰链杆ACB2的位 参考文献4-5]，给定3R开链（如图1(a)所示）的四 移矩阵可得铰链点C。的其余三位置坐标，即可确定铰 个位置，再向其上添加两RR杆来获得所需机构，且两 链点C。的四个位置坐标及杆件A,C。的四个角位置， RR杆的添加存在先后顺序.根据主动杆的选择情况， 又已知铰链点B,的四个位置坐标以及杆件B2P,的四 可将Wal-型六杆机构分为Wa-Ha和Wat-b型两 个角位置，设铰链点B,的第一位置坐标为(x。,y),由 类，分别如图1(b)和(c)所示.以下就这两种Wat型 RR杆B,B,的杆长不变条件得其分布曲线方程 六杆机构的有限分离四位置综合进行介绍 H(x3+x2)+H(y3+x2y）+Hx2+ 1.1 Watt-la型六杆机构的四位置综合 Hiye+Hixcye+Hoxc+Hiy+Hs=0. (2) 在图1(b)中，3R开链的四个位置的给定方法为： 在此，铰链点B,的分布曲线表示为解曲线35-3， 铰链点B2的四个位置坐标，杆件AB2和B,Py的四个 同样可以确定铰链点B。的分布曲线，表示为解曲线 角位置，以及杆件A,A2、A2B2和B,P,的长度，则其四位 35-5,且两解曲线上的点是一一对应的，两者的具体 置综合需分两步来完成 推导过程和H:(i=1,2,…,8)的含义请参考文献 第一步，添加RR杆A,C。在图1(b)中，已知铰链 13-15].从解曲线35-3和35-5上选取一组点，即 点B,的四个位置坐标及杆件A,B,的四个角位置，设 添加完RR杆BB.至此，综合得到满足上述四位置 铰链点C。的第一位置坐标为(x,y),由RR杆A,Co 要求的Watt-Ia型六杆机构
工程科学学报，第 37 卷，第 5 期 缺陷; 如果其设计位置位于同一回路的不同分支，由于 机构处在静止位形时，其运动存在不确定性，则说明机 构存在分支缺陷［4 － 5］． 在单自由度连杆机构中，回路 问题与主动杆的选取无关，而分支问题则相反． 文献［5］介绍了 Watt 型六杆机构的回路问题，其 数目取决于机构中两四杆机构的回路特性及两者公共 铰链的运动范围，而对分支问题未进行研究，且文中局 限于公共铰链为主动铰链的机构; 对于给定各杆长尺 寸及初始位形的 Watt 型六杆机构，文献［6］给出了其 主动杆运动范围的确定方法，这一范围可用于分支缺 陷判定，而不能用于回路缺陷判定; 文献［7］通过建立 函数判别式求解出六杆机构奇异位置所对应的输入角 和机构主动杆的运动范围; 文献［8］利用 JＲS 方法判 断六杆机构和齿轮五杆机构是否存在曲柄; 文献［9］ 采用结式消元的方法来判断 Stephenson 型六杆机构的 死点位置; 文献［10］通过先建立输入--输出的一元六 次方程，然后利用 Sturm 定理判断机构的死点位置的 构型特点的方法，得到 Stephenson--III 型六杆机构的死 点位置存在 的 充 要 条 件; 文 献［11］介 绍 了 一 种 Stephenson--II 型六杆机构的函数生成综合方法; 文 献 ［12］借助软件系统对球面 Watt--I 型六杆机构的五位 置运动综合进行了研究; 文献［13 － 14］介绍了四杆机 构的解域综合方法; 文献［15］给出了基于四杆机构的 六杆机构解域综合方法，即首先得到四杆机构，在此基 础上得到构成六杆机构的三次曲线，然后在曲线上选 择合适的点，最终得到六杆机构． 本文在文献［13 － 15］的基础上，将解域方法推广 应用于 Watt--I 型 六 杆 机 构，直 接 构 成 六 杆 机 构 的 解域． 1 有限分离四位置综合 在 Watt--I 型六杆机构的有限分离四位置综合中， 参考文献［4 － 5］，给定 3Ｒ 开链( 如图 1( a) 所示) 的四 个位置，再向其上添加两 ＲＲ 杆来获得所需机构，且两 ＲＲ 杆的添加存在先后顺序． 根据主动杆的选择情况， 可将 Watt--I 型六杆机构分为 Watt--Ia 和 Watt--Ib 型两 类，分别如图 1( b) 和( c) 所示． 以下就这两种 Watt 型 六杆机构的有限分离四位置综合进行介绍． 1. 1 Watt--Ia 型六杆机构的四位置综合 在图 1( b) 中，3Ｒ 开链的四个位置的给定方法为: 铰链点 B2 的四个位置坐标，杆件 A2 B2和 B2 PM的四个 角位置，以及杆件 A1A2、A2B2和 B2PM的长度，则其四位 置综合需分两步来完成． 第一步，添加 ＲＲ 杆 A0C0 ． 在图1( b) 中，已知铰链 点 B2 的四个位置坐标及杆件 A2B2 的四个角位置，设 铰链点 C0 的第一位置坐标为( xc，yc ) ，由 ＲＲ 杆 A0C0 图 1 3Ｒ 开链及两种 Watt--I 型 六 杆 机 构． ( a) 3Ｒ 开 链; ( b) Watt--Ia; ( c) Watt--Ib Fig． 1 3Ｒ open chain and two kinds of Watt--I six-bar mechanisms． ( a) 3Ｒ open chain; ( b) Watt--Ia; ( c) Watt--Ib 的杆长不变条件得其分布曲线方程 H1 ( x 3 c + xc y 2 c ) + H2 ( y 3 c + x 2 c yc ) + H3 x 2 c + H4 y 2 c + H5 xc yc + H6 xc + H7 yc + H8 = 0 ( 1) 其中，曲线方程的具体推导过程和系数 Hi ( i = 1，2，…， 8) 的含义请参考文献［13 － 15］，本文限于篇幅不再赘 述． 在此，铰链点 C0 的分布曲线表示为解曲线 02--2， 前两个数字表示构件 0 和构件 2，后一个数字表示该 点是在构件 2 上． 在确定 C0 点位置时，与构件 2 上该 点对应的在构件 0 上有一对应点也同时确定． 因此， 铰链点 A0的分布曲线，即解曲线 02--0 可以被求得和 绘制． 考虑到两解曲线上点的一一对应关系，故只需 给出一条． 从解曲线 02--2 和 02--0 上选取一组点，即 添加完 ＲＲ 杆 A0C0 ． 第二步，添加 ＲＲ 杆 B0B1 ． 在第一步中，已获得铰 链点 A0、C0 的第一位置坐标，由三铰链杆 A2C0B2 的位 移矩阵可得铰链点 C0 的其余三位置坐标，即可确定铰 链点 C0 的四个位置坐标及杆件 A0C0 的四个角位置， 又已知铰链点 B2 的四个位置坐标以及杆件 B2PM的四 个角位置，设铰链点 B1 的第一位置坐标为( x'c，y'c ) ，由 ＲＲ 杆 B0B1 的杆长不变条件得其分布曲线方程 H'1 ( x'c 3 + x'c y'c 2 ) + H'2 ( y'c 3 + x'c 2 y'c ) + H'3 x'c 2 + H'4 y'c 2 + H'5 x'c y'c + H'6 x'c + H'7 y'c + H'8 = 0． ( 2) 在此，铰链点 B1 的分布曲线表示为解曲线 35--3， 同样可以确定铰链点 B0 的分布曲线，表示为解曲线 35--5，且两解曲线上的点是一一对应的，两者的具体 推导过程和 H'i ( i = 1，2，…，8) 的含义请参考文献 ［13 － 15］． 从解曲线 35--3 和 35--5 上选取一组点，即 添加完 ＲＲ 杆 B0B1 ． 至此，综合得到满足上述四位置 要求的 Watt--Ia 型六杆机构． · 656 ·
韩建友等：WatH型六杆刚体导引机构的解域综合方法 ·657 1.2 Watt-Ib型六杆机构的四位置综合 的选择空间 在图1(c)中，3R开链的四个位置的给定方法为： 铰链点B。,B,的四个位置坐标，杆件AB和B,Pu的四 2机构解解域的构成及机构解可行域的确定 个角位置及其长度，则其四位置综合亦需分两步完成 2.1机构解解域的构成 第一步，添加RR杆CB2:第二步，添加RR杆AA2 Wat-Ha型六杆刚体导引机构的有限分离四位置 在两步骤中，运用的条件也是杆长(RR杆CB2、 综合可以获得无穷多解，可通过解域图来表示满足给 A,A2)不变条件，同样得到两组解曲线，在此，铰链点 定条件的全部机构解.下面给出解域的构成方法 C。和B2的分布曲线分别表示为解曲线13-一和13-3， 为了得到预期的铰链点C。的位置，给出由点 铰链点A,和A,的分布曲线分别表示为解曲线040 P。和P,所确定的解曲线02-2的限定选取框1，如 和044，且两组解曲线上的点分别一一对应.需要注 图2(a)所示（为了节省篇幅，不失一般性，我们用 意的是，在第二步中，事先得从解曲线13-」和13-3选 下面综合示例中的解曲线图进行说明)：为了得到 取一组点. 预期的铰链点B,的位置，给出由点P。和P:所确 在Wt-I型六杆机构的四位置综合中，解曲线 定的解曲线35-3的限定选取框2，如图2(b)和 02-2和020（对Wat-Ha)或13-1和13-3（对Watt- (c)所示.将选取框1和2内的解曲线都向水平直 山)取决于给定的初始条件，是唯一确定的一组解曲 线映射，然后分别作为横轴和纵轴.注意，图2(a) 线，其上的每一组点都对应着一组解曲线35一3和 中解曲线02-2上每一点都对应一条解曲线35-3， 35-5或040和04-4.以下为书写和叙述方便，对两 则选取框1内解曲线02-2对应一族解曲线35-3 支具有一一对应点关系的解曲线只讨论一支.又由于 (图2中只给出两条).因此，通过上述映射，对横 两种Wt-I型六杆机构解域的建立方法基本相同，则 轴的每一点都对应纵轴的一条直线，最后由这一系 下文关于解域的建立过程只针对Wata型六杆机构 列的直线形成一平面解域（如图3所示，坐标轴数 叙述讨论.因此，对解曲线02-2上的不同点能得到 值构成见图4)，其上每个坐标点都对应着一个 35-3的曲线族，可获得无穷多机构，大大提高了机构 Wat-H型六杆机构. 1950r 横轴区段 1800 一非横轴区段 1650 a a段-200-167 非纵轴区段 b段59-200 2050- 2050- 非纵轴区段 1500 无运动缺路区段 无运动缺路区段 选取框1 有运动缺路区段 1950- 1950 有运动缺陷区段 1350 (b) 解曲线35-3)， (c) '段：-169-23 1200 解曲线02-2 1800 Pa段：-211-121 1800 Pb'段：-191-25 c B b段：-239--233 1050 P(-200.1200) 1650 选取 c段：-239--141 1650 <解曲线65-3 900 P200.1600) 框2 P-345.1500 P-345.1500 C(131,1540.52) 1500 P'100.1800, 1500 P'100.1800) 750 C145,1315.20) B,(-195.1730.74) 。选取框2 B,(-55.00.1570.09 6 135 135 450 150 150 450750 450 -150 150 450 450 -150 L50 450 图2解曲线及选取框1和2.(a)解曲线02-2及选取框1：(b)解曲线(35-3)1及选取框2：(c)解曲线(35-3)2及选取框2 Fig.2 Solution-curve and Marquee 1 and 2:(a)solution-curve 02-2 and Marquee 1:(b)solution-curve (35-3)and Marquee 2:(c)solution- curve (35-3)2 and Marquee 2 由于解曲线均为三次曲线，因此当限定铰链点横 的解曲线355处在选取框2内的区段存在差异，因此 坐标在一定范围内连续取值时，解关于其纵坐标的一 上述所得无穷多直线的长度是不同的，即解域纵轴坐 元三次方程可能存在一解或三解（无重根或一个重 标是随着解域横轴坐标变化而变化的 根).现对解曲线映射到水平方向后各区段的划分及 2.2机构解可行域的确定 相加作如下规定：(1)存在一解时将铰链点归为区段 对于已知各杆尺寸及初始位形的Wtt型六杆机 1:存在三解且无重根时，按纵坐标从小到大，将铰链点 构，主动杆的运动范围是唯一的，主动杆在此范围内运 依次归为区段1、2和3（存在一重根时，只需区段1和 动，能保证机构在其同一回路的同一分支上运行，从而 2).(2)将选取框1内各区段映射相加作为横轴，将选 可避免分支缺陷的产生，故该范围可用于分支缺陷的 取框2内各区段映射相加得到对应横轴不同点的无穷 判定.对于WtH型六杆机构的回路和分支缺陷的判 多竖直直线（纵轴），由于对应解曲线02一2上不同点 定，其基本步骤如下：
韩建友等: Watt--I 型六杆刚体导引机构的解域综合方法 1. 2 Watt--Ib 型六杆机构的四位置综合 在图 1( c) 中，3Ｒ 开链的四个位置的给定方法为: 铰链点 B0，B1 的四个位置坐标，杆件 A0B0和 B1PM的四 个角位置及其长度，则其四位置综合亦需分两步完成． 第一步，添加 ＲＲ 杆 C0B2 ; 第二步，添加 ＲＲ 杆 A1A2 ． 在两步骤中，运用的条件也是杆长( ＲＲ 杆 C0B2、 A1A2 ) 不变条件，同样得到两组解曲线，在此，铰链点 C0 和 B2 的分布曲线分别表示为解曲线 13--1 和 13--3， 铰链点 A1 和 A2 的分布曲线分别表示为解曲线 04--0 和 04--4，且两组解曲线上的点分别一一对应． 需要注 意的是，在第二步中，事先得从解曲线 13--1 和 13--3 选 取一组点． 在 Watt--I 型六杆机构的四位置综合中，解曲线 02--2 和 02--0 ( 对 Watt--Ia) 或 13--1 和 13--3 ( 对 Watt-- Ib) 取决于给定的初始条件，是唯一确定的一组解曲 线，其 上 的 每 一 组 点 都 对 应 着 一 组 解 曲 线 35--3 和 35--5 或 04--0 和 04--4． 以下为书写和叙述方便，对两 支具有一一对应点关系的解曲线只讨论一支． 又由于 两种 Watt--I 型六杆机构解域的建立方法基本相同，则 下文关于解域的建立过程只针对 Watt--Ia 型六杆机构 叙述讨论． 因此，对解曲线 02--2 上的不同点能得到 35--3 的曲线族，可获得无穷多机构，大大提高了机构 的选择空间． 2 机构解解域的构成及机构解可行域的确定 2. 1 机构解解域的构成 Watt--Ia 型六杆刚体导引机构的有限分离四位置 综合可以获得无穷多解，可通过解域图来表示满足给 定条件的全部机构解． 下面给出解域的构成方法． 为了得到 预 期 的 铰 链 点 C0 的位 置，给 出 由 点 P0 和 P1 所确定的解曲线 02--2 的限定选取框 1，如 图 2( a) 所 示( 为 了 节 省 篇 幅，不 失 一 般 性，我 们 用 下面综合示例 中 的 解 曲 线 图 进 行 说 明) ; 为了 得 到 预期的铰链 点 B1 的位 置，给 出 由 点 P'0 和 P'1 所确 定的 解 曲 线 35--3 的 限 定 选 取 框 2，如 图 2 ( b) 和 ( c) 所示． 将选取框 1 和 2 内的解曲线都向水平直 线映射，然后分别作为横轴和纵轴． 注 意，图 2 ( a) 中解曲线 02--2 上每一点都对应一条解曲线 35--3， 则选取框 1 内 解 曲 线 02--2 对 应 一 族 解 曲 线 35--3 ( 图 2 中只给 出 两 条) ． 因 此，通 过 上 述 映 射，对 横 轴的每一点都对应纵轴的一条直线，最后由这一系 列的直线形成 一 平 面 解 域( 如 图 3 所 示，坐 标 轴 数 值构 成 见 图 4 ) ，其 上 每 个 坐 标 点 都 对 应 着 一 个 Watt--I 型六杆机构． 图 2 解曲线及选取框 1 和 2． ( a) 解曲线 02--2 及选取框 1; ( b) 解曲线( 35--3) 1及选取框 2; ( c) 解曲线( 35--3) 2及选取框 2 Fig． 2 Solution-curve and Marquee 1 and 2: ( a) solution-curve 02--2 and Marquee 1; ( b) solution-curve ( 35--3) 1 and Marquee 2; ( c) solutioncurve ( 35--3) 2 and Marquee 2 由于解曲线均为三次曲线，因此当限定铰链点横 坐标在一定范围内连续取值时，解关于其纵坐标的一 元三次方程可能存在一解或三解( 无重根或一个重 根) ． 现对解曲线映射到水平方向后各区段的划分及 相加作如下规定: ( 1) 存在一解时将铰链点归为区段 1; 存在三解且无重根时，按纵坐标从小到大，将铰链点 依次归为区段 1、2 和 3( 存在一重根时，只需区段 1 和 2) ． ( 2) 将选取框 1 内各区段映射相加作为横轴，将选 取框 2 内各区段映射相加得到对应横轴不同点的无穷 多竖直直线( 纵轴) ，由于对应解曲线 02--2 上不同点 的解曲线 35--5 处在选取框 2 内的区段存在差异，因此 上述所得无穷多直线的长度是不同的，即解域纵轴坐 标是随着解域横轴坐标变化而变化的． 2. 2 机构解可行域的确定 对于已知各杆尺寸及初始位形的 Watt 型六杆机 构，主动杆的运动范围是唯一的，主动杆在此范围内运 动，能保证机构在其同一回路的同一分支上运行，从而 可避免分支缺陷的产生，故该范围可用于分支缺陷的 判定． 对于 Watt--I 型六杆机构的回路和分支缺陷的判 定，其基本步骤如下: · 756 ·
·658 工程科学学报，第37卷，第5期 (1)确定给定各杆尺寸及初始位形的Wat-I型 六杆机构主动杆的运动范围四： (2)比较主动杆的运动范围与给定的主动杆的四 个角位置的关系，如果主动杆的运动范围不包括其四 个角位置，则这一机构存在分支缺陷，反之，不存在分 支缺陷，需进行第(3)步的判定： (3)判定机构在四个位置的位形是否发生变化. 本文通过计算两向量的叉积来判断机构位形，如在图 1(b)中，需计算A,C。×AC。和B2B,×BB,在四个位置 的值（在图1(c)中，需计算CoA,×A42和BB,× 解曲线02-2的横坐标x B,B),若两者都不发生符号变化，则这一机构不存在 图3平面解域 回路缺陷，反之，存在回路缺陷 Fig.3 Plane solution-region 除满足运动要求以外，设计者还可根据实际需要， (a) (b) K(145 55) -121 -121. -121 -121 Dk,131.-195 (-239 100 -239) 0 (191 13 13 (-239. -239) -345 -345 -345 -345 -200 131167145,* -200 131167,145 (59)200 (59.) 200, 0一无机构：1一回路缺陷： 0一不满足设计要求：1一满足设计要求 2一分支缺路：3一无运动缺陷 图4解域分布图.()机构解解域：(b)机构解可行域 Fig.4 Distribution of solution-region:(a)solution-region of mechanism solutions:(b)feasible solution-region of mechanism solutions 给予这些机构其他一些附加性能要求，比如杆长比 此机构结合使用便可实现车辆的转向.给定3R链A, (L几)，从机构解解域中剔除不满足要求的机构， AB,PPP,(P为车轮的几何中心)的四位置参数见 最终得到机构解可行域. 表1~表3. 3综合示例 表1较链点B,的四个位置坐标 Table 1 Four position-coordinates of hinge point B2 为某类型赛车车辆设计一Wat-la型六杆转向机 位置i x/mm y/mm 构四，其工作示意图如图5所示，PP,为车轮部分，两 -229.20 1603.20 9P8 -307.04 1607.45 3 -561.11 1505.46 -634.77 1408.24 表2杆件A2B2及B2PM的四个角位置 Table 2 Four angular-positions of link AB2 and B2PM 位置i杆件A,品，的角位置a,/(o杆件B,PM的角位置/() 6 1 149.40 223.90 2 156.30 200.00 图5Wat-Ia型六杆转向机构的工作示意图 3 174.50 164.10 4 182.32 150.92 Fig.5 Schematie diagram of the Watt-la six-bar steering mechanism
工程科学学报，第 37 卷，第 5 期 图 3 平面解域 Fig． 3 Plane solution-region ( 1) 确定给定各杆尺寸及初始位形的 Watt--I 型 六杆机构主动杆的运动范围［6］; ( 2) 比较主动杆的运动范围与给定的主动杆的四 个角位置的关系，如果主动杆的运动范围不包括其四 个角位置，则这一机构存在分支缺陷，反之，不存在分 支缺陷，需进行第( 3) 步的判定; ( 3) 判定机构在四个位置的位形是否发生变化． 本文通过计算两向量的叉积来判断机构位形，如在图 1( b) 中，需计算A2C →0 × A0C →0和B2B →1 × B0B →1在四个位置 的值( 在 图 1 ( c ) 中，需 计 算 C0A →2 × A1A →2 和 B0B →1 × B2B →1 ) ，若两者都不发生符号变化，则这一机构不存在 回路缺陷，反之，存在回路缺陷． 除满足运动要求以外，设计者还可根据实际需要， 图 4 解域分布图． ( a) 机构解解域; ( b) 机构解可行域 Fig． 4 Distribution of solution-region: ( a) solution-region of mechanism solutions; ( b) feasible solution-region of mechanism solutions 给予这些机构其他一些附加性能要求，比如杆长比 ( lmax /lmin ) ，从机构解解域中剔除不满足要求的机构， 最终得到机构解可行域． 图 5 Watt--Ia 型六杆转向机构的工作示意图 Fig． 5 Schematic diagram of the Watt--Ia six-bar steering mechanism 3 综合示例 为某类型赛车车辆设计一 Watt--Ia 型六杆转向机 构［2］，其工作示意图如图 5 所示，P2P3 为车轮部分，两 此机构结合使用便可实现车辆的转向． 给定 3Ｒ 链 A1 A2B2PM P2P3 ( PM为车轮的几何中心) 的四位置参数见 表 1 ～ 表 3． 表 1 铰链点 B2 的四个位置坐标 Table 1 Four position-coordinates of hinge point B2 位置 i xi /mm yi /mm 1 － 229. 20 1603. 20 2 － 307. 04 1607. 45 3 － 561. 11 1505. 46 4 － 634. 77 1408. 24 表 2 杆件 A2B2 及 B2PM 的四个角位置 Table 2 Four angular-positions of link A2B2 and B2PM 位置 i 杆件 A2B2 的角位置 θi /( °) 杆件 B2PM的角位置 θ' i /( °) 1 149. 40 223. 90 2 156. 30 200. 00 3 174. 50 164. 10 4 182. 32 150. 92 · 856 ·
韩建友等：Wt-型六杆刚体导引机构的解域综合方法 ·659* 表3杆件AA2,A2B2,B2PM及P2P的长度 至此，用于机构综合的解域图建立完毕.下面给 Table 3 Lengths of link AA2,A2B2,B2 Py and P2P 出两个综合示例.从可行域中选取一点K,(131, 杆件 长度/mm -195),则综合得到图6(a)所示的Wat-Ia型六杆转 AA2 273.98 向机构，图中给出了机构的首末位置位形及点P的运 A2B2 273.97 动轨迹 B2Py 132.96 为了便于理解，简要说明如下：根据前文可知，K, P2P: 531.84 点的横坐标对应图2(a)中曲线上一点的横坐标，在此 由解曲线方程(1)和(2)可以得到铰链点C。和B, 为铰链点C(131.00,1540.52).K,点所在的竖直线 的分布曲线，即解曲线02-2（如图2(a)所示）和一簇 为铰链点C:所对应的解曲线35-3（如图2(b)所示， 解曲线35-3（如图2(b)和(c)所示，图中只给出了 表示为(35-3)，)通过映射而得到，则图2(b)中曲线 两条). 上一点的横坐标对应着K,点的纵坐标，在此为铰链点 通过遍历计算解曲线02-2上处在选取框1内的 B,（-195,1730.74).图2(b)与图4(a)中的a、b和c 所有点，且根据机构解解域的构成方法及对解域中每 分别对应 个位置点所对应的机构进行回路和分支缺陷判定，最 从可行域中另选一点K2(145,-55),则综合得到 终可得图4(a)所示的机构解解域.从解域图4(a)中 6(b)所示的转向机构.同理可知，K2点的横、纵坐标 标示为3的区域中任选一点都能得到满足给定条件的 可参考K点来理解，分别对应图2(a)中铰链点C 无运动缺陷的机构.如果再附加杆长比l几m≤5并 （145.00,1315.20)的横坐标和图2(c)中解曲线 剔除不满足要求的机构就能得到图4(b)所示的机构 (35-3)2上铰链点B,（-55.00,1570.09)的横坐标. 解可行域.图4中的横轴区段1和2（横轴数值的下 图2(c)与图4(a)中的a和b分别对应.因此，从机构 标)分别对应图2(a)中的a和b段.若对机构提出其 解可行域中任选一点都能得到满足运动要求和杆长比 他性能要求，则可行域的区域将发生相应的改变 l几na≤5的Wat-la型六杆转向机构. (aK点对应的机构 b),点对应的机构 图6综合所得机构.()K点对应的机构：(b)K2点对应的机构 Fig.6 Synthesized mechanisms:(a)K mechanism:(b)K2 mechanism 运用基于MFC的VC++6.0及OpenGL编程，可 附加性能的不同及选取范围的变化，将得到不同的机 实现上述全过程的计算机自动实现及其可视化，从而 构解可行域.所研发程序可以直接根据给定条件生成 大大提高了设计人员的设计效率 可行域，而不需要绘制解曲线.综合示例表明了本文 所提出的方法及所开发的综合程序的实用性和有 4结论 效性. 本文实现了Wt一I型六杆刚体导引机构的有限 参考文献 分离四位置综合，并获得无穷多种Wal一I型六杆机 [Soh CS,McCarthy J M.The synthesis of six-bar linkages as con- 构，为设计者提供了机构的选择空间：建立了显示回路 strained planar 3R chains.Mech Mach Theory,2008,43(2): 缺陷、分支缺陷及无运动缺陷分布的机构解解域，从而 160 避免了设计者选择机构的盲目性；根据实际工程需要， MeCarthy J M,Soh G S.Geometric Design of Linkages.2nd Ed New York:Springer-Verlag,2010 设计者可给予机构其他附加性能，并剔除不满足要求 B3]Soh G S,Ying FT,MeCarthy J M.Dimensional synthesis of pla- 的机构，这将获得满足实际要求的机构解可行域，根据 nar six-bar linkages by mechanically constrain a PRR serial
韩建友等: Watt--I 型六杆刚体导引机构的解域综合方法 表 3 杆件 A1 A2，A2B2，B2PM及 P2P3的长度 Table 3 Lengths of link A1 A2，A2B2，B2PM and P2P3 杆件 长度/mm A1 A2 273. 98 A2B2 273. 97 B2PM 132. 96 P2P3 531. 84 由解曲线方程( 1) 和( 2) 可以得到铰链点 C0 和 B1 的分布曲线，即解曲线 02--2( 如图 2( a) 所示) 和一簇 解曲线 35--3 ( 如图 2 ( b) 和( c) 所示，图中只给出了 两条) ． 通过遍历计算解曲线 02--2 上处在选取框 1 内的 所有点，且根据机构解解域的构成方法及对解域中每 个位置点所对应的机构进行回路和分支缺陷判定，最 终可得图 4( a) 所示的机构解解域． 从解域图 4( a) 中 标示为 3 的区域中任选一点都能得到满足给定条件的 无运动缺陷的机构． 如果再附加杆长比 lmax /lmin≤5 并 剔除不满足要求的机构就能得到图 4( b) 所示的机构 解可行域． 图 4 中的横轴区段 1 和 2( 横轴数值的下 标) 分别对应图 2( a) 中的 a 和 b 段． 若对机构提出其 他性能要求，则可行域的区域将发生相应的改变． 至此，用于机构综合的解域图建立完毕． 下面给 出两个 综 合 示 例． 从 可 行 域 中 选 取 一 点 K1 ( 131， － 195) ，则综合得到图 6( a) 所示的 Watt--Ia 型六杆转 向机构，图中给出了机构的首末位置位形及点 PM的运 动轨迹． 为了便于理解，简要说明如下: 根据前文可知，K1 点的横坐标对应图 2( a) 中曲线上一点的横坐标，在此 为铰链点 C01 ( 131. 00，1540. 52) ． K1 点所在的竖直线 为铰链点 C01所对应的解曲线 35--3( 如图 2( b) 所示， 表示为( 35--3) 1 ) 通过映射而得到，则图 2( b) 中曲线 上一点的横坐标对应着 K1 点的纵坐标，在此为铰链点 B1 ( － 195，1730. 74) ． 图 2( b) 与图 4( a) 中的 a、b 和 c 分别对应． 从可行域中另选一点 K2 ( 145，－ 55) ，则综合得到 6( b) 所示的转向机构． 同理可知，K2 点的横、纵坐标 可参考 K1 点来理解，分别对应图 2 ( a) 中铰链点 C02 ( 145. 00，1315. 20 ) 的 横 坐 标 和 图 2 ( c ) 中 解 曲 线 ( 35--3) 2上铰链 点 B1 ( － 55. 00，1570. 09) 的横 坐 标． 图 2( c) 与图 4( a) 中的 a'和 b'分别对应． 因此，从机构 解可行域中任选一点都能得到满足运动要求和杆长比 lmax /lmin≤5 的 Watt--Ia 型六杆转向机构． 图 6 综合所得机构． ( a) K1点对应的机构; ( b) K2点对应的机构 Fig． 6 Synthesized mechanisms: ( a) K1 mechanism; ( b) K2 mechanism 运用基于 MFC 的 VC + + 6. 0 及 OpenGL 编程，可 实现上述全过程的计算机自动实现及其可视化，从而 大大提高了设计人员的设计效率． 4 结论 本文实现了 Watt--I 型六杆刚体导引机构的有限 分离四位置综合，并获得无穷多种 Watt--I 型六杆机 构，为设计者提供了机构的选择空间; 建立了显示回路 缺陷、分支缺陷及无运动缺陷分布的机构解解域，从而 避免了设计者选择机构的盲目性; 根据实际工程需要， 设计者可给予机构其他附加性能，并剔除不满足要求 的机构，这将获得满足实际要求的机构解可行域，根据 附加性能的不同及选取范围的变化，将得到不同的机 构解可行域． 所研发程序可以直接根据给定条件生成 可行域，而不需要绘制解曲线． 综合示例表明了本文 所提出的方法及所开发的综合程序的实用性和有 效性． 参 考 文 献 ［1］ Soh G S，McCarthy J M． The synthesis of six-bar linkages as constrained planar 3Ｒ chains． Mech Mach Theory，2008，43 ( 2 ) : 160 ［2］ McCarthy J M，Soh G S． Geometric Design of Linkages． 2nd Ed． New York: Springer-Verlag，2010 ［3］ Soh G S，Ying F T，McCarthy J M． Dimensional synthesis of planar six-bar linkages by mechanically constrain a PＲＲ serial · 956 ·
·660 工程科学学报，第37卷，第5期 chain /ASME 2012 International Design Engineering Technical (邹炎火，郭晓宁.基于Sturm定理的Stephenson-Ⅲ六杆机 Conferences and Computers and Information in Engineering Confer- 构曲柄存在的判断.福州大学学报：自然科学版，2010,38 ence.Chicago,2012:551 (1):69) 4]Chase T R,Mirth JA.Circuits and branches of single-degree-of- [11]Plecnik MM,MeCarthy J M.Synthesis of a Stephenson-lI func- freedom planar linkages.J Mech Des,1993,115(2):223 tion generator for eight precision positions /Proceedings of the 5]Mirth J A,Chase T R.Circuit analysis of Watt chain sixar ASME 2013 International Design Engineering Technical Confer- mechanisms.J Mech Des,1993,115(2):214 ences and Computers and Information in Engineering Conference. [6]Chang C F.Motion ranges of Watt type six-bar linkages./Chin Portland,2013:DETC2013-12763 Soc Mech Eng,2001,22(2):105 [12]Sonawale K H,Arredondo A,MeCarthy J M.Computer aided 7]Wang J,Ting K L,Xue C Y.Discriminant method for the mobili- design of useful spherical Watt-I six-bar linkage Proceedings ty identification of single degree-of-freedom double-oop linkages. of the ASME 2013 International Design Engineering Technical Mech Mach Theory,2010,45(5):740 Conferences and Computers and Information in Engineering Con- 8]Ting K L,Wang J,Xue C Y.Full rotatability and singularity of ference.Portland,2013:DET2013-13454 six-bar and geared five-bar linkages.J Mech Rob,2010,2(1): [13]Han J Y,Qian W X.On the solution of region-based planar four- 011011 bar motion generation.Mech Mach Theory,2009,44(2):457 9]Zou Y H,Guo X N.Identification the dead-center positions of [14]Yang T,Han J Y,Yin L R.A unified synthesis method based Stephenson-lI six-bar linkages by Sylvester resultant.Mach Des on solution regions for four finitely separated and mixed "point- Res,2010,26(2):32 order"positions.Mech Mach Theory,2011,46(11):1719 (邹炎火，郭晓宁.Stephenson-Ⅲ六杆机构死点位置的结式 05] Han J Y,Yang T.On the solution of region-based planar six-bar 消元法识别.机械设计与研究，2010.26(2)：32) motion generation for four finitely separated position//ASME [10]Zou Y H,Guo X N.Identification of a crank in Stephenson-II 2012 International Design Engineering Technical Conferences and six-bar linkage based on Sturm theorem.J Fuzhou Univ Nat Sci Computers and Information in Engineering Conference.Chicago, Ed,2010,38(1):69 2012:441
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