第八课 期权定价模型 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 第八课 期权定价模型
期权定价中的难点 债券和股票的估价:贴现现金流 期权的估价 DCF不适用 给定到期日标的资产价格的分布,可以很 容易地计算期权在到期日的收益 难于估计折现率 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 期权定价中的难点 • 债券和股票的估价：贴现现金流 • 期权的估价 - DCF 不适用 - 给定到期日标的资产价格的分布，可以很 容易地计算期权在到期日的收益 - 难于估计折现率
项式期权定价模型 要对期权进行定价,我们需要知道标的资产价格如何 变动 简单但非常有力的一个模型是二项式模型 在每个(很短)的时间间隔期末,股票价格只能 有两个可能的取值 当时间间隔足够短,这是很好的近似 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 二项式期权定价模型 • 要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何 变动 • 简单但非常有力的一个模型是二项式模型 - 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能 有两个可能的取值 - 当时间间隔足够短，这是很好的近似 - 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理 - 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
单期二项式模型 1年 概率 $140 $100 $80 收益率被定义为价格的相对数 期望收益率=1.1 °期望方差=0.09 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 单期二项式模型 • 收益率被定义为价格的相对数 • 期望收益率= 1.1 • 期望方差 = 0.09 $140 $80 $100 今日 1 年 概 率 2 1 2 1
通过复制来给期权定价 为了给衍生证券定价,可以构造一个股票和 无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期 日的收益 这个组合称为合成的衍生证券 要使无套利成立,这个组合的价值必须等于 交易的衍生证券的价格 组合的合成等同于对冲 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 通过复制来给期权定价 • 为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和 无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期 日的收益 • 这个组合称为合成的衍生证券 • 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于 交易的衍生证券的价格 • 组合的合成等同于对冲
无套利原则与 对衍生证券的定价 日 到期日 交易的 衍生证券 收益相同 合成的 衍生证券 交易的衍生证券的价值=合成的衍生证券(组合)的价值 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 无套利原则与 对衍生证券的定价 今日 到期日 交易的 衍生证券 合成的 衍生证券 收益相同 交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值
单期:给欧式看涨期权定价 欧式看涨期权:T=1,S=40,Xx=40,=12,d=0.8 1年 概率 0l=48 D C.=8 $40 Sd=32 0 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 单期：给欧式看涨期权定价 欧式看涨期权： T = 1, S0 = 40, X = 40, u = 1.2, d = 0.8 $40 今日 1 年 概率 8 0 48 = = u c S u 0 32 0 = = d c S d 1- p p
·组合(合成看涨期权)=股票+无风险资产 V=△S+B 组合复制了该期权在到期且的收益 △×48+B0×1.10=8 △×32+Ba×1.10=0 1.10=今天的$1投资在1年后的财富 解方程组得到△=0.5,B0=-14.55 B0的负号意味者借入 ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 • 组合(合成看涨期权) = 股票+ 无风险资产 • 组合复制了该期权在到期日的收益 • 1.10 = 今天的$1投资在1年后的财富 • 解方程组得到 • 的负号意味者借入 V0 = S0 + B0 48+ B0 1.10 = 8 32 + B0 1.10 = 0 = 0.5, B0 = -14.55 B0
0=0.5×40-14.55=545 无套利要求c=V=545 含义: p的值从未使用过≡期望收益率无关紧要! ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 • • 无套利要求 • 含义： p 的值从未使用过 期望收益率无关紧要! V0 = 0.5 40 -14.55 = 5.45 c =V0 = 5.45
单期二项式期权定价的一般化 1年 概率 D 0 sad 1-p ◎北京大学光华管理学院金融系徐信忠2002
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 单期二项式期权定价的一般化 今日 1 年 概率 u c S0 u d c S0 d 1- p p ? 0 c = S