§3.2非线性单计量经济学模型 20世纪70年代至80年代初,关于非线性模型理 论与方法的研究成为一个热点。非线性模型理论与 方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系,包 括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大似然 原理出发的一整套方法,也包括随机误差项违背基 本假设的非线性问题的估计方法
§3.2 非线性单计量经济学模型 20世纪70年代至80年代初，关于非线性模型理 论与方法的研究成为一个热点。非线性模型理论与 方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包 括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大似然 原理出发的一整套方法，也包括随机误差项违背基 本假设的非线性问题的估计方法
非线性单方程计量经济学模型概述 解释变量非线性问题 可化为线性的包含参数非线性的问题 不可化为线性的包含参数非线性的问题
一、非线性单方程计量经济学模型概述 ◼ 解释变量非线性问题 ◼ 可化为线性的包含参数非线性的问题 ◼ 不可化为线性的包含参数非线性的问题
解释变量非线性问题 现实经济现象中,变量之间往往呈现非线性关系, 但在许多情况下,又可通过简单的变换,使之成为线性。 解释变量非线性问题就属于这种情况。例如需求函数模 型中需求量与价格之间的关系为:=a+B-+1 通过变量置换就可以化为线性模型
解释变量非线性问题 现实经济现象中，变量之间往往呈现非线性关系， 但在许多情况下，又可通过简单的变换，使之成为线性。 解释变量非线性问题就属于这种情况。例如需求函数模 型中需求量与价格之间的关系为： 1 1 Q p = + + 通过变量置换就可以化为线性模型
可化为线性的包含参数非线性的问题 ■计量经济学模型,一旦包含参数非线性,一般 情况下通过简单的变换难以化为线性问题。但 非线性模型的参数估计远比线性复杂,所以还 应该尽可能地将它们化为线性问题
可化为线性的包含参数非线性的问题 ◼ 计量经济学模型，一旦包含参数非线性，一般 情况下通过简单的变换难以化为线性问题。但 非线性模型的参数估计远比线性复杂，所以还 应该尽可能地将它们化为线性问题
如CD生产函数模型: Q=AK L' CES生产函数模型: Q=4(O1K°+O2L”) 在假设随机误差项的对数形式服从正态分布的情况 下,即引入随机误差项后可以写成: Q=AK“1 Q=A(aK°+62L)
如 CD 生产函数模型： Q AK L = CES 生产函数模型： 1 1 2 Q A K L ( ) − − − = + 在假设随机误差项的对数形式服从正态分布的情况 下，即引入随机误差项后可以写成： Q AK L = 1 1 2 Q A K L ( ) − − − = +
尽管包含参数非线性,仍然可以首先化为线性问题。 In Q In a+aInk+bin L+In u Ing=In A--In8,K p+52L)+In u 将式中n(K+O2L)在p=0处展开台劳级数,取关 于P的线性项,即可得: lnQ≈lnA+61nK+62lnL 3Asδ2(n()2+1np
尽管包含参数非线性，仍然可以首先化为线性问题。 ln ln ln ln ln Q A K L = + + + 1 2 1 ln ln ln( ) ln Q A K L − − = − + + 将式中 1 2 ln( ) K L − − + 在 = 0 处展开台劳级数，取关 于 的线性项，即可得： 2 1 2 1 2 1 ln ln ln ln (ln( )) ln 2 K Q A K L L + + − +
例1:下表给出了某种家用电器1984-1991年的需求量(Y,万台) 的统计资料。 年份 需求量 1984 19851 1986 1987 35820 1988 23456 1989 2 1990 2.2 1991 2.1 考虑半对数模型Y=a+ax1lnt,用OLS法估计该模型,并预测 1992年市场对该产品的需求量
例 1：下表给出了某种家用电器 1984-1991 年的需求量（Y, 万台） 的统计资料。 年份 需求量 t 1984 1.3 1 1985 1.5 2 1986 1.8 3 1987 2 4 1988 1.9 5 1989 2 6 1990 2.2 7 1991 2.1 8 考虑半对数模型 1 Y t = + ln ，用 OLS 法估计该模型，并预测 1992 年市场对该产品的需求量
不可化为线性的包含参数非线性的问题 不可以化为线性的包含参数非线性的问题是下面讨论的真 正非线性模型。它的一般表达式为 y1=f(X1,B)+p1i=1,2,…,n 其中∫是非线性函数。如上述生产函数模型,如果随机误差 项直接服从正态分布,在引入随机误差项后模型写成 Q=AK L+u Q=A8K P+O2LpP+u 就是典型的非线性模型
不可以化为线性的包含参数非线性的问题是下面讨论的真 正非线性模型。它的一般表达式为 ( , ) i i yi = + f X B i n =1, 2,..., 其中 f 是非线性函数。如上述生产函数模型，如果随机误差 项直接服从正态分布，在引入随机误差项后模型写成： Q AK L = + 1 1 2 Q A K L ( ) − − − = + + 就是典型的非线性模型。 不可化为线性的包含参数非线性的问题
非线性普通最小二乘法 1OLS原理 对于只有一个参数的非线性模型,可以写成: y1=f(x12B)+11t=1,2,…,n 如果参数估计值已经得到,则应使得残差平方和最小。即: S(B)=∑[y-f(x,B)达最小 I=
二、非线性普通最小二乘法 1.OLS 原理 对于只有一个参数的非线性模型， 可以写成： ( , ) i i yi = + f x i n =1, 2,..., 如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和最小。即： 2 1 ( ) [ ( , )] n i i i S y f x = = − 达最小
取极小值的一阶条件为: ∧ △=-2-(x,O)(xB=0 d B d B 日∏ ∑D-f(x,B) df(i,B) ]=0 ∧ d B 现在的问题是在于如何求解上述非线性方程
取极小值的一阶条件为： 1 ( , ) 2 [ ( , )][ ] 0 n i i i i dS df x y f x d d = − = − − = 即 1 ( , ) [ ( , )][ ] 0 n i i i i df x y f x d = − = 现在的问题是在于如何求解上述非线性方程