弯剪型-弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解.pdf_大学文库

D0I:10.13374.issn1001-053x.2011.12.021 第33卷第12期北京科技大学学报 Vol.33 No.12 2011年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2011 弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解郭猛”区牟在根》袁泉” 1)北京交通大学土木建筑工程学院，北京1000442)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:quomeng673@163.com 摘要对中高层弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构体系的水平位移计算方法进行了研究.将弯曲型子结构视为仅发生弯曲变形的悬臂墙，将弯剪型子结构视为同时发生弯曲变形和剪切变形的Timoshenko悬臂墙，在此基础上建立了弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构体系的位移微分方程，结合边界条件，推导了均布荷载等三种荷载下结构的弯曲变形、剪切变形和总水平位移的解析解.探讨了弯剪型一弯曲型双重结构与剪切形一弯曲形双重结构位移计算方法的关系.结果表明，剪切形一弯曲形双重结构可视为弯剪型一弯曲型双重结构在弯剪型子结构抗弯刚度取无穷大时的一种特殊表现形式. 关键词框架结构：剪力墙：位移：微分方程：解析解分类号TU375.4:TU311.1 Analytical solutions of horizontal displacement for the dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures CU0Meng'☒，MU Zai--gen,YUAN Quan” 1)School of Civil Engineering.Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China 2)School of Civil and Environment Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:guomeng673@163.com ABSTRACT A calculation method of horizontal displacement was studied for the dual structure consisting of flexural-shear substruc- tures and flexural substructures.The flexural substructures are regarded as flexural cantilever walls which exhibit a predominantly flex- ural behavior,and the flexural-shear substructures are regarded as Timoshenko cantilever walls which exhibit a mixed flexural/shear be- havior.On the basis of the above assumptions,a differential equation was established for calculating the displacement of the dual struc- ture.With boundary conditions,the analytical solutions of the displacement,including the flexural deformation,the shear deformation and the total horizontal displacement,were derived when the dual structure was subjected to uniform loads.The relation between the dual structure consisting of flexural-shear substructures flexural substructures and that consisting of shear substructures flexural substructures was discussed,and the result shows that the later can be viewed as a special form of the former where the flexural stiffness of the flexural-shear substructures tends to infinity. KEY WORDS structural frames;shear walls;displacement;differential equations;analytical solutions 框架一剪力墙结构属于剪切型一弯曲型双重结剪刚度相对较大的混凝土墙和抗弯刚度相对较大的构，简化计算时通常采用连续化协同工作分析方法，框架而言，具有较高的计算精度，尤其是随着结构总假定剪力墙仅产生弯曲变形或以等效抗弯刚度近似高度的增加，计算误差变得很小.对于钢框架一支撑考虑其剪切变形、框架仅产生剪切变形或以等效抗结构的位移计算《高层民用建筑钢结构技术规剪刚度近似考虑其弯曲变形-习，这种假定对于抗程》回规定将支撑视为弯曲杆件，简化为平面框架一收稿日期：2010-10-11 基金项目：“十一五”国家科技支撑计划资助项目(2006BAJ04A0205):北京交通大学优秀博士生科技创新基金资助项目(141071522)

第 33 卷第 12 期 2011 年 12 月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 33 No． 12 Dec． 2011 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解郭猛1) 牟在根2) 袁泉1) 1) 北京交通大学土木建筑工程学院，北京 100044 2) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: guomeng673@ 163． com 摘要对中高层弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系的水平位移计算方法进行了研究．将弯曲型子结构视为仅发生弯曲变形的悬臂墙，将弯剪型子结构视为同时发生弯曲变形和剪切变形的 Timoshenko 悬臂墙，在此基础上建立了弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系的位移微分方程，结合边界条件，推导了均布荷载等三种荷载下结构的弯曲变形、剪切变形和总水平位移的解析解．探讨了弯剪型--弯曲型双重结构与剪切形--弯曲形双重结构位移计算方法的关系．结果表明，剪切形--弯曲形双重结构可视为弯剪型--弯曲型双重结构在弯剪型子结构抗弯刚度取无穷大时的一种特殊表现形式．关键词框架结构; 剪力墙; 位移; 微分方程; 解析解分类号 TU375. 4; TU311. 1 Analytical solutions of horizontal displacement for the dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures GUO Meng1) ，MU Zai-gen2) ，YUAN Quan1) 1) School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China 2) School of Civil and Environment Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: guomeng673@ 163． com ABSTRACT A calculation method of horizontal displacement was studied for the dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures． The flexural substructures are regarded as flexural cantilever walls which exhibit a predominantly flexural behavior，and the flexural-shear substructures are regarded as Timoshenko cantilever walls which exhibit a mixed flexural /shear behavior． On the basis of the above assumptions，a differential equation was established for calculating the displacement of the dual structure． With boundary conditions，the analytical solutions of the displacement，including the flexural deformation，the shear deformation and the total horizontal displacement，were derived when the dual structure was subjected to uniform loads． The relation between the dual structure consisting of flexural-shear substructures ＆ flexural substructures and that consisting of shear substructures ＆ flexural substructures was discussed，and the result shows that the later can be viewed as a special form of the former where the flexural stiffness of the flexural-shear substructures tends to infinity． KEY WORDS structural frames; shear walls; displacement; differential equations; analytical solutions 收稿日期: 2010--10--11 基金项目: “十一五”国家科技支撑计划资助项目( 2006BAJ04A02--05) ; 北京交通大学优秀博士生科技创新基金资助项目( 141071522) 框架--剪力墙结构属于剪切型--弯曲型双重结构，简化计算时通常采用连续化协同工作分析方法，假定剪力墙仅产生弯曲变形或以等效抗弯刚度近似考虑其剪切变形、框架仅产生剪切变形或以等效抗剪刚度近似考虑其弯曲变形［1--2］，这种假定对于抗剪刚度相对较大的混凝土墙和抗弯刚度相对较大的框架而言，具有较高的计算精度，尤其是随着结构总高度的增加，计算误差变得很小．对于钢框架--支撑结构的位移计算，《高层民用建筑钢结构技术规程》［3］规定将支撑视为弯曲杆件，简化为平面框架-- DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2011.12.021

·1566 北京科技大学学报第33卷支撑模型，何若全等面采用连续化法对框架一支撑剪型子结构剪切变形的影响，直接采用剪切型一弯结构的水平位移进行了分析：Sieczkowski提出了曲型双重结构如框架一剪力墙结构的位移计算公式一种用于（钢）框架一剪力墙结构水平位移的离散化计算其水平位移将带来较大误差，必须考虑该结构计算方法，其计算思路是将结构等效为两个子结构体系的实际变形特征.本文依据Timoshenko剪切梁之后，利用楼层位置的位移协调条件建立两个子结理论，引入弯剪型子结构的剪切变形，建立弯剪型一构之间的位移关系，实质是连续化法的离散化表达弯曲型双重抗侧力结构的位移微分方程，推导均布形式荷载、倒三角形荷载和项部集中荷载作用下结构水随着密肋复合墙6、保温砌模网格墙回等各平位移的解析解，并与剪切型一弯曲型双重结构的种组合式抗震墙以及大开口剪力墙、异形框架@等位移解进行对比分析在实际工程中的广泛应用，中高层抗震墙不应再简单视为仅发生弯曲变形的弯曲型悬臂构件，而必须 1弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构水平位移考虑抗震墙的剪切变形，由此提出了弯剪型一弯曲计算型双重抗侧力结构体系概念，如图1所示.弯剪型一 1.1计算模型弯曲型双重抗侧力结构是指由水平荷载下呈弯剪型弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构中，首先将所变形特征的子结构与呈弯曲型变形特征的子结构组有弯剪型抗震墙合并成总弯剪型子结构，将所有弯成的抗震结构体系，二者由连梁和楼板在楼层位置曲型抗震墙合并成总弯曲型子结构，两个子结构在连接，变形协调，共同工作，具有双重延性的受力特楼层位置由刚性连梁连接：考虑弯剪型子结构的弯点，密肋复合墙一剪力墙混合结构四即是一种典型曲变形和剪切变形，不考虑弯曲型子结构的剪切变的弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构形，计算模型如图2所示.当两个子结构变形机制不同时，选定不同的子结构为分析对象，得出的位移微分方程在表达形式上有所不同，计算的繁简程度弯剪型弯曲型子结构亦有所区别，应以方便计算为原则选择合适的分析子结构对象.本文选择弯剪型子结构作为子结构1（图2 (a),以其为隔离体建立位移微分方程及进行水平位移公式的推导连梁 (楼板) 1.2基本微分方程如图2(a)所示，子结构1的变形由弯曲变形 ya和剪切变形yat两部分组成，根据Timoshenko剪图1弯剪型-弯曲型双重结构 Fig.1 Dual structure consisting of flexural-shear substructures and 切梁的弯曲变形、剪切变形与外荷载的基本关系☒ flexural substructures 列出方程为 G:A:dx d'yu 对于弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构，由于弯 (1) y=hty y=M y=Ya+y n(c) 弯剪型弯剪型子结构1 子结构1 弯用型雪剪型 x 子钻构2 构2 (a) ) 图2 弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构计算模型.()弯剪型子结构为子结构1：(b)弯曲型子结构为子结构1 Fig.2 Calculating model of the dual structure:(a)the flexural-shear substructure is regarded as Substructure 1:(b)the flexural substructure is re- garded as Substructure I

北京科技大学学报第 33 卷支撑模型，何若全等［4］采用连续化法对框架--支撑结构的水平位移进行了分析; Sieczkowski ［5］提出了一种用于( 钢) 框架--剪力墙结构水平位移的离散化计算方法，其计算思路是将结构等效为两个子结构之后，利用楼层位置的位移协调条件建立两个子结构之间的位移关系，实质是连续化法的离散化表达形式．随着密肋复合墙［6--8］、保温砌模网格墙［9］等各种组合式抗震墙以及大开口剪力墙、异形框架［10］等在实际工程中的广泛应用，中高层抗震墙不应再简单视为仅发生弯曲变形的弯曲型悬臂构件，而必须考虑抗震墙的剪切变形，由此提出了弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系概念，如图 1 所示．弯剪型-- 弯曲型双重抗侧力结构是指由水平荷载下呈弯剪型变形特征的子结构与呈弯曲型变形特征的子结构组成的抗震结构体系，二者由连梁和楼板在楼层位置连接，变形协调，共同工作，具有双重延性的受力特点，密肋复合墙--剪力墙混合结构［11］即是一种典型的弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构．图 2 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构计算模型 . ( a) 弯剪型子结构为子结构 1; ( b) 弯曲型子结构为子结构 1 Fig． 2 Calculating model of the dual structure: ( a) the flexural-shear substructure is regarded as Substructure 1; ( b) the flexural substructure is regarded as Substructure 1 图 1 弯剪型--弯曲型双重结构 Fig． 1 Dual structure consisting of flexural-shear substructures and flexural substructures 对于弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构，由于弯剪型子结构剪切变形的影响，直接采用剪切型--弯曲型双重结构如框架--剪力墙结构的位移计算公式计算其水平位移将带来较大误差，必须考虑该结构体系的实际变形特征．本文依据 Timoshenko 剪切梁理论，引入弯剪型子结构的剪切变形，建立弯剪型-- 弯曲型双重抗侧力结构的位移微分方程，推导均布荷载、倒三角形荷载和顶部集中荷载作用下结构水平位移的解析解，并与剪切型--弯曲型双重结构的位移解进行对比分析． 1 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构水平位移计算 1. 1 计算模型弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构中，首先将所有弯剪型抗震墙合并成总弯剪型子结构，将所有弯曲型抗震墙合并成总弯曲型子结构，两个子结构在楼层位置由刚性连梁连接; 考虑弯剪型子结构的弯曲变形和剪切变形，不考虑弯曲型子结构的剪切变形，计算模型如图 2 所示．当两个子结构变形机制不同时，选定不同的子结构为分析对象，得出的位移微分方程在表达形式上有所不同，计算的繁简程度亦有所区别，应以方便计算为原则选择合适的分析对象．本文选择弯剪型子结构作为子结构 1 ( 图 2 ( a) ) ，以其为隔离体建立位移微分方程及进行水平位移公式的推导． 1. 2 基本微分方程如图 2( a) 所示，子结构 1 的变形由弯曲变形 yb1和剪切变形 yq1 两部分组成，根据 Timoshenko 剪切梁的弯曲变形、剪切变形与外荷载的基本关系［12］列出方程为 G1A1 dyq1 dx = － E1 I1 d3 yb1 dx 3 ( 1) ·1566·

第12期郭猛等：弯剪型-弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解 ·1567· d'yu p()-q()=E, (2) EI 式中：7=E22 p'(x)广义外荷载项，p'(x)= 对于子结构2，仅发生弯曲变形，其荷载与变形的关系为 -GAp(x)dxdx+p(x)-G.A:(Ax+B). E21 d"yie 1.3水平位移的解析解 q(x)=E/:w (3) 对于四阶常系数线性微分方程式(8)，其解的式中，E,I1、G,A为子结构1的抗弯刚度、抗剪刚度，般形式为 E22为子结构2的抗弯刚度，p(x)为结构所受水平 Y=C +C2+C3shag+Cachag +Yo- 外荷载，9(x)为两个子结构之间的相互作用. 式中：C1、C2、C,和C4为待定常数：Y。为微分方程的将式(3)代入式(2)得特解，与外荷载的具体形式有关. yu +El dax 根据图2(a)确定边界条件： E dx d心y=p( (4) (1)当x=0(传=0)时，两个子结构底部弯曲变两个子结构在任意位置的总水平位移相等，即y~= 形、剪切变形及转角均为零； y+y,代入上式消去y得 (2)当x=H(=1)时，结构顶部总剪力为零，医A+装=p国两个子结构顶部弯矩为零： (5) (3)两个子结构在任意位置的弯曲变形和剪切将式(1)两边对x微分三次，代入式(5)消去y 变形之和相等 E山dy=p(x)(6) 1.3.1均布荷载作用 (E弘+E,)-E山G4 设均布荷载为p(x)=q,则式(7)的特解为Y。= 式(6)中，利用变量换元法对方程进行简化，作 2(E,+E,,将%代入y得到弯曲变形方程的 qH 代换Y=是，同时令刀=兰为两个子会一般解协同工作后对子结构1抗剪刚度的修正系数，代入 Y=C,+C2E+C3sh入E+Cachλξ+ 式(5)并整理得 ghr (10) d'y GA (1+n)d2y GA 2(E1,+E,)5 dx EihEp ( (7) 由Y对专二次积分得到子结构1弯曲变形y的表达式令A=H GA1(1+7) Eh ,定义为弯剪型一弯曲 u-m[++c 入2 型双重抗侧力结构体系的刚度特征值，并设专-云 .袋+agE万+cf+G]a 式(7)可写成通过子结构1弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪 Y-λ2dy=-HGA, EE (H) (8) 切变形y,由式(1)、式(11)得此式即为弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构弯曲变形 ya=-7 C:6+CshAg+C.chA6+ 的基本位移微分方程，理论上适用于弯剪型子结构的抗弯刚度、抗剪刚度任意变化时其弯曲变形的 2eD]+c (12) 求解子结构1的弯曲变形与剪切变形之和即为子结构2 如图2(b)所示，当选择弯曲型子结构为子结构的变形，同时也为密肋弯剪墙一弯曲墙结构的总水 1,弯剪型子结构为子结构2时，得到以弯曲型子结平位移，将yu和y代入ya=y1+y整理得构为隔离体的弯曲变形微分方程见式(9).比较式 (7)与式(9)可知，后者不需要对位移方程使用变量 rc+(信rg-)+ 换元法进行中间变量代换，但外荷载项中含有积分常数，需要结合边界条件求得，求解过程相对复杂. d'yu GA.(1+n)d'yup'(x) dx (9) E dx2 El 其-E)hAC,+C,+PC。+FG,+

第 12 期郭猛等: 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解 p( x) － q( x) = E1 I1 d4 yb1 dx 4 ( 2) 对于子结构 2，仅发生弯曲变形，其荷载与变形的关系为 q( x) = E2 I2 d4 yb2 dx 4 ( 3) 式中，E1 I1、G1A1为子结构 1 的抗弯刚度、抗剪刚度， E2 I2为子结构 2 的抗弯刚度，p( x) 为结构所受水平外荷载，q( x) 为两个子结构之间的相互作用．将式( 3) 代入式( 2) 得 E1 I1 d4 yb1 dx 4 + E2 I2 d4 yb2 dx 4 = p( x) ( 4) 两个子结构在任意位置的总水平位移相等，即 yb2 = yb1 + yq1，代入上式消去 yb2得 ( E1 I1 + E2 I2 ) d4 yb1 dx 4 + E2 I2 d4 yq1 dx 4 = p( x) ( 5) 将式( 1) 两边对 x 微分三次，代入式( 5) 消去 yq1 ( E1 I1 + E2 I2 ) d4 yb1 dx 4 － E2 I2 E1 I1 G1A1 d6 yb1 dx 6 = p( x) ( 6) 式( 6) 中，利用变量换元法对方程进行简化，作变量代换 Y = d2 yb1 dx 2 ，同时令 η = E1 I1 E2 I2 ，为两个子结构协同工作后对子结构 1 抗剪刚度的修正系数，代入式( 5) 并整理得 d4 Y dx 4 － G1A1 ( 1 + η) E1 I1 d2 Y dx 2 = － G1A1 E1 I1 ·E2 I2 p( x) ( 7) 令 λ = H G1A1 ( 1 + η) E1 槡 I1 ，定义为弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系的刚度特征值，并设 ξ = x H ，式( 7) 可写成 d4 Y dξ 4 － λ2 d2 Y dξ 2 = － H4 G1A1 E1 I1 ·E2 I2 p( ξH) ( 8) 此式即为弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构弯曲变形的基本位移微分方程，理论上适用于弯剪型子结构的抗弯刚度、抗剪刚度任意变化时其弯曲变形的求解．如图 2( b) 所示，当选择弯曲型子结构为子结构 1，弯剪型子结构为子结构 2 时，得到以弯曲型子结构为隔离体的弯曲变形微分方程见式( 9) ．比较式 ( 7) 与式( 9) 可知，后者不需要对位移方程使用变量换元法进行中间变量代换，但外荷载项中含有积分常数，需要结合边界条件求得，求解过程相对复杂． d4 yb1 dx 4 － G2A2 ( 1 + η) E1 I1 d2 yb1 dx 2 = p'( x) E1 I1 ( 9) 式中: η = E1 I1 E2 I2 ; p' ( x ) 广义外荷载项，p' ( x ) = － G2A2 E2 I2  p( x) dxdx + p( x) － G2A2 ( Ax + B) ． 1. 3 水平位移的解析解对于四阶常系数线性微分方程式( 8) ，其解的一般形式为 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + Y0 ．式中: C1、C2、C3和 C4为待定常数; Y0 为微分方程的特解，与外荷载的具体形式有关．根据图 2( a) 确定边界条件: ( 1) 当 x = 0( ξ = 0) 时，两个子结构底部弯曲变形、剪切变形及转角均为零; ( 2) 当 x = H( ξ = 1) 时，结构顶部总剪力为零，两个子结构顶部弯矩为零; ( 3) 两个子结构在任意位置的弯曲变形和剪切变形之和相等． 1. 3. 1 均布荷载作用设均布荷载为 p( x) = q，则式( 7) 的特解为Y0 = qH2 2( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 2 ，将 Y0代入 Y 得到弯曲变形方程的一般解 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 2( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 2 ( 10) 由 Y 对 ξ 二次积分得到子结构 1 弯曲变形 yb1的表达式 yb1 = H [ 2 1 2 C1 ξ 2 + 1 6 C2 ξ 3 + C3 shλξ λ2 + C4 chλξ λ2 + qH2 24( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 4 + C6 ξ + C7 ] ( 11) 通过子结构 1 弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪切变形 yq1，由式( 1) 、式( 11) 得 yq1 = － E1 I1 G1A [ 1 C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 ξ 2 2( E1 I1 + E2 I2 ] ) + C5 ( 12) 子结构 1 的弯曲变形与剪切变形之和即为子结构 2 的变形，同时也为密肋弯剪墙--弯曲墙结构的总水平位移，将 yb1和 yq1代入 yb2 = yb1 + yq1整理得 yb2 = 1 2 H2 ξ 2 C1 + ( 1 6 H2 ξ 2 － E1 I1 G1A ) 1 ξC2 ( + H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 ·shλξC3 ( + H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 chλξC4 + C5 + H2 ξC6 + H2 C7 + ·1567·

北京科技大学学报第 33 卷 qH4 24( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 4 － H4 qξ 2 2E2 I2λ2 ( 13) 根据图 2( a) 确定边界条件的矩阵方程如下: ［M］7 × 7［C］7 × 1 =［N］7 × 1 ( 14) 式中，［M］7 × 7 = 0 0 0 1 λ2 0 0 1 0 0 0 － E1 I1 G1A1 0 0 0 0 1 λ 0 0 1 0 0 － E1 I1 G1A1 － E2 I2 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 ) λ 0 0 H2 0 0 E1 I1 + E2 I2 0 0 0 0 0 1 1 shλ chλ 0 0 0 1 1 － shλE1 I1 E2 I2 － chλE1 I1 E2 I2                                 0 0 0 ( 15) ［C］7 × 1 =［C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7］T ( 16) ［N］7 × 1 = 0 0 0 0 － qH2 － qH2 2( E1 I1 + E2 I2 ) qH2 E2 I2λ2 － qH2 2 E1 I1 + E2 [ ] ( ) I2 T ( 17) 解矩阵方程式( 14) 得各待定系数为［C］7 × 1 = qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 2 + 1 λ2 ) － qH2 E1 I1 + E2 I2 qH2 λ( E1 I1 + E2 I2 ) － qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) 1 λ2 + shλ ) λ － qH2 E1 I1 chλ( E1 I1 + E2 I2 ) G1A ( 1 1 λ2 + shλ ) λ qH2 λ2 ( E1 I1 + E2 I2 ) qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) 1 λ4 + shλ λ )                                           3 ( 18) 将系数 C1 ～ C7回代至子结构 1 弯曲变形和剪切变形表达式，并利用 yb2 = yb1 + yq1，化简得 yb1 = qH4 E1 I1 + E2 I [ 2 ξ ( 2 1 4 － 1 2λ2 － ξ 6 + ξ 2 24 － 1 λ2 ) ξ + shλξ λ3 + 1 λ4 chλ ( 1 － chλξ) ( 1 + shλ ] ) ( 19) yq1 = qH2 E1 I1 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 [ ) ξ － ξ 2 2 － shλξ λ － ( 1 + λshλ) ( 1 － chλξ) λ2 ch ] λ ( 20) yb2 = qH4 E1 I1 + E2 I [ 2 ξ ( 2 1 4 － 1 2λ2 － ξ 6 + ξ 2 24 － 1 λ2 ) ξ + shλξ λ3 + ( 1 － chλξ) ( 1 + shλ) λ4 chλ ( 1 － κ) + κ ξ( － ξ 2 2 － shλξ ) ] λ ( 21) 式中，κ = E1 I1 /H2 G1A1，为表征弯剪型子结构抗弯刚度与抗剪刚度相对大小的参数( 下文参数 κ 的意义与此相同) ．式( 19) ～式( 21) 即为弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系在均布荷载作用下的弯曲变形、剪切变形及总水平位移的解析解． 1. 3. 2 倒三角形荷载作用设倒三角形荷载为 p( x) = q x H = qξ，则式( 7) 的特解为 Y0 = qH2 6( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 3 ，将 Y0代入 Y 得到弯曲变形方程的一般解 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 6( E1 I1 + E2 I2 ) ξ 3 ( 22) 由 Y 对 ξ 二次积分得到子结构 1 弯曲变形 yb1的表达式 yb1 = H [ 2 1 2 C1 ξ 2 + 1 6 C2 ξ 3 + C3 shλξ λ2 + C4 chλξ λ2 + qH2 ξ 5 120( E1 I1 + E2 I2 ) + C6 ξ + C7 ] ( 23) 通过子结构 1 弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪切变形 yq1，由式( 1) 、式( 23) 得 yq1 = － E1 I1 G1A [ 1 C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ + qH2 ξ 3 6( E1 I1 + E2 I2 ] ) + C5 ( 24) ·1568·

第 12 期郭猛等: 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解由 yb2 = yb1 + yq1整理得 yb2 = 1 2 H2 ξ 2 C1 + C2 ( 1 6 H2 ξ 3 － E1 I1 G1A1 ξ ) + C3 shλξ ( H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 + C4 chλξ ( H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 + C5 + H2 ξC6 + H2 C7 + qH4 ξ 5 120( E1 I1 + E2 I2 ) － qH4 ξ 3 6λ2 E2 I2 ( 25) 边界条件的矩阵表达形式同式 ( 14 ) ，其中［C］7 × 1见式( 16) ，［M］7 × 7和［N］7 × 1如下: ［M］7 × 7 = 0 0 0 1 λ2 0 0 1 0 0 0 － E1 I1 G1A1 1 0 0 0 0 1 λ 0 0 1 0 0 E1 I1 H2 G1A1 λE1 I1 H2 G1A1 － 1 λ 0 0 － 1 0 0 E1 I1 + E2 I2 0 0 0 0 0 1 1 shλ chλ 0 0 0 － 1 － 1 shλE1 I1 E2 I2 chλE1 I1 E2 I2                                     0 0 0 ( 26) ［N］7 × 1 = 0 0 0 0 H2 ( q 1 λ2 － ) 1 2 － qH2 6( E1 I1 + E2 I2 ) qH2 λ2 E2 I2 － qH2 6( E1 I1 + E2 I2 [ ] ) T ( 27) 将式( 26) 、式( 27) 及式( 16) 代入矩阵方程( 14) ，解得各待定系数为［C］7 × 1 = 1 3 qH2 E1 I1 + E2 I2 qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 λ2 － ) 1 2 qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 2λ － 1 λ3 ) qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) shλ λ3 － 1 λ2 － shλ 2 ) λ qH2 E1 I1 chλ( E1 I1 + E2 I2 ) G1A ( 1 shλ λ3 － 1 λ2 － shλ 2 ) λ qH2 E1 I1 + E2 I ( 2 1 λ4 － 1 2λ2 ) qH2 chλ( E1 I1 + E2 I2 ( ) 1 λ4 － shλ λ5 + shλ 2λ )                                           3 ( 28) 将式( 28) 中的系数 C1 ～ C7回代至式( 23) ～式 ( 25) ，化简得 yb1 = qH4 E1 I1 + E2 I [ 2 ξ 2 ( 6 1 + ξ 3 ) 20 + 2 － λ2 2λ2 ( ξ 3 6 － shλξ λ3 + ξ λ2 ) + 2λ － 2shλ + λ2 shλ 2λ5 chλ ( 1 － chλξ ] ) ( 29) yq1 = － qH2 E1 I1 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 [ ) 2 － λ2 2λ2 ( ξ － shλξ ) λ + 2λ － 2shλ + λ2 shλ 2λ3 chλ ( 1 － chλξ) + ξ 3 ] 6 ( 30) yb2 = qH4 E1 I1 + E2 I { 2 ξ 2 ( 6 1 + ξ 3 20 － ξκ ) + 2 － λ2 2λ2 [ ( ξ 3 6 － shλξ λ3 + ξ λ2 ) － ( ξ － shλξ ) λ κ ] [ + 1 － chλξ λ2 － ( 1 － chλξ) κ ] 2λ － 2shλ + λ2 shλ 2λ3 ch } λ ( 31) 式( 29) ～ ( 31) 即为弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系在倒三角形荷载作用下的弯曲变形、剪切变形及总水平位移的解析解． 1. 3. 3 顶部集中荷载作用设顶部集中荷载为 P，则特解为 Y0 = 0，将 Y0代入 Y 得到弯曲变形方程的一般解为 Y = C1 + C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ ( 32) 由 Y 对 ξ 二次积分得到子结构 1 弯曲变形 yb1的表达式 yb1 = H ( 2 1 2 C1 ξ 2 + 1 6 C2 ξ 3 + C3 shλξ λ2 + C4 chλξ λ2 + C6 ξ + C7 ) ( 33) 通过子结构 1 弯曲变形与剪切变形的关系得到其剪切变形 yq1，由式( 1) 、式( 33) 得 ·1569·

北京科技大学学报第 33 卷 yq1 = － E1 I1 G1A1 ( C2 ξ + C3 shλξ + C4 chλξ) + C5 ( 34) 由 yb2 = yb1 + yq1整理得 yb2 = 1 2 H2 ξ 2 C1 + ( 1 6 H2 ξ 3 － E1 I1 G1A1 ξ ) C2 ( + H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 shλξC3 + ( H2 λ2 － E1 I1 G1A ) 1 chλξC4 + C5 + H2 ξC6 + H2 C7 ( 35) 边界条件的矩阵表达形式同式 ( 14 ) ，其中［C］7 × 1见式( 16) ，［M］7 × 7和［N］7 × 1如下: ［M］7 × 7 = 0 0 0 1 λ2 0 0 1 0 0 0 － E1 I1 G1A1 0 0 0 0 1 λ 0 0 1 0 0 － E1 I1 G1A1 － H2 E1 I1 λE2 I2 0 0 H2 0 0 E1 I1 + E2 I2 0 0 0 0 0 1 1 shλ chλ 0 0 0 1 1 － shλE1 I1 E2 I2 － chλE1 I1 E2 I2                                 0 0 0 ( 36) ［N］7 × 1 =［0 0 0 0 PH 0 0］T ( 37) 将式( 36) 、式( 37) 及式( 16) 代入矩阵方程式 ( 14) ，解得各待定系数为［C］7 × 1 = － PH E1 I1 + E2 I2 PH E1 I1 + E2 I2 － PH λ( E1 I1 + E2 I2 ) PHshλ λchλ( E1 I1 + E2 I2 ) PHE1 I1 shλ λchλ( E1 I1 + E2 I2 ) G1A1 PH λ2 ( E1 I1 + E2 I2 ) － shλPH λ3 chλ( E1 I1 + E2 I2                                          )  ( 38) 将式( 28) 中的系数 C1 ～ C7 回代至式( 33) ～ ( 35) ，化简得 yb1 = PH3 E1 I1 + E2 I [ 2 ξ λ2 － shλξ λ3 + shλ λ3 chλ ( chλξ － 1) － ξ 2 + ξ ] 3 ( 39) yq1 = PH·E1 I1 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 [ ) ξ － shλξ λ + shλ λchλ ( chλξ －1 ] ) ( 40) yb2 = PH3 E1 I1 + E2 I2 ·[ ( ξ 2 6 － ξ 2 － κ + 1 λ2 ) ξ ( + κ － 1 λ2 ) ( shλ 1 － chλξ λchλ + shλξ ) ] λ ( 41) 式( 39) ～ ( 41) 即为弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系在顶部集中荷载作用下的弯曲变形、剪切变形及总水平位移的解析解．至此，均布荷载作用、倒三角形荷载作用和顶部集中荷载作用下弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系中各子结构弯曲变形、剪切变形及结构总水平位移的解析解全部求出．根据子结构内力与变形关系，可以计算其内力，进而进行墙体截面抗震设计与校核． 2 弯剪型--弯曲型双重结构与剪切型--弯曲型双重结构的关系下面讨论弯剪型--剪切型双重抗侧力结构体系与弯曲型--剪切型双重抗侧力结构体系位移计算公式的相容性．框架--剪力墙结构是剪切型--弯曲型双重抗侧力结构体系的最常见表现形式，其位移计算式参见文献［2］．如图 2( a) 所示的子结构 1，当取框架为弯剪型子结构的特例时，弯剪型--弯曲型双重结构转变为一般框架--剪力墙结构，忽略框架部分的弯曲变形，假定其抗弯刚度 E1 I1→∞ ，则对双重结构特征值进行极限运算得 lim E1I1→∞ λ = lim E1I1→∞ H G1A1 ( 1 + E1 I1 E2 I ) 2 E1 槡 I1 = H G1A1 E2 槡I2 ( 42) 以倒三角形荷载作用为例，对双重结构中弯剪 ·1570·

第12期郭猛等：弯剪型一弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解 ·1571· 型子结构的弯曲变形和剪切变形解析表达式(29) ture.Beijing:Tsinghua University Press,2005 和(30)进行E,I1→∞的极限运算，且代入式(42)给 (包世华，张铜生.高层建筑结构设计和计算。北京：清华大学出版社，2005) 出的刚度特征值，整理得 ] Fang E H,Qian J R,Ye L P.Design and Analysis of Tall-Build- {e产++ ing Structure.Beijing:China Construction Industry Press,2006 E1小→x (方鄂华，钱稼茹，叶列平.高层建筑结构设计.北京：中国建 )+ 筑工业出版社，2006) ] Technical specification for steel structure of tall buildings (JGJ99- 2A-2sha +a'shA (1-chag)=0 9800003)[S].Beijing:China Building and Architecture Press, 2A'cha 2001 (高层民用建筑钢结构技术规程(JG)99-9800003)[S].北 HqE h 京：中国建筑工业出版社，2001) 4] He R Q,Bian R N.The stratified deformation of frame-supporting 越)2丛-2t1-hd)+]}= steel structure under the action of horizontal earthquake motion.J 入 2A'cha Suzhou Inst Urban Constr Environ Prot,2000,13(3):48 尝-+))· (何若全，卞若宁.框架一支撑钢结构在水平地震作用下的层间变形.苏州城建环保学院学报，2000,13(3)：48) ) Sieczkowski J.Simplified method of analysis of frame-wall sys- (5-)分)-若] tems//Adrances in Tall Buildings.New York:Council on Tall Buildings and Urban Habitat,1985 (43) [6] Guo M,Yao Q F.Stiffness degradation process analysis of multi- 式(42)、式(43)即是人们所熟知的框架-剪力 ribbed composite wall.J Tianjin Univ,2010.43(9):792 墙结构也即剪切型一弯曲型双重结构的刚度特征值 (郭猛，姚谦峰.密肋复合墙体刚度退化全过程分析·天津大学学报，2010,43(9)：792) 和倒三角形荷载下水平位移的计算公式.因此，框 ] Liu P,Yao Q F.Dynamic reliability of structures:the example of 架一剪力墙结构（剪切型一弯曲型双重结构）可以视 multi-grid composite walls.Struct Eng Mech,2010,36(4):463 为弯剪型一弯曲型双重结构在弯剪型子结构抗弯刚 s] Guo M,Yao Q F.Research on frame-multi-tibbed composite wall 度取无穷大(E1→∞)时的一种特殊表现形式，两者 structure new system.Earthquake EngEng Vib,2009,29(5): 73 的刚度特征值、位移计算公式是完全相容的 (郭猛，姚谦峰.框架-密肋复合墙结构新体系研究.地震工程 3结语与工程振动，2009,29(5)：73) [9] Wang Q,Qian J R,Ma B M,et al.Experimental study on seis- (1)本文对中高层弯剪型一弯曲型双重抗侧力 mie behavior of conerete grillage walls.Build Struct.2004,25 结构的水平位移简化计算方法进行了研究.将弯曲 (4):15 (王奇，钱稼茹，马宝民，等.保温砌模混凝土网格培抗震性能型子结构视为仅发生弯曲变形的悬臂墙，将弯剪型试验研究.建筑结构学报，2004,25(4)：15) 子结构视为同时发生弯曲变形和剪切变形的Timo- [10]Guo M,Yao Q F.Applied research of multi-storey special-shaped shenko悬臂墙，在此基础上建立了弯剪型-弯曲型 frame column structure system in seismic region.World Earth- 双重抗侧力结构的位移微分方程，推导了均布荷载、 9 ake Eng,2009,25(1):70 倒三角形荷载和顶部集中荷载作用下结构的弯曲变 (郭猛，姚谦峰.地震区多层异形框架柱一框架结构体系应用研究.世界地震工程，2009,25(1)：70) 形、剪切变形和总水平位移的解析解. [11]Zhang X F.The Computational Analysis of Collaborative Work (2)探讨了弯剪型一弯曲型双重结构与剪切形一 and Practical Design Methods Research on the Multi-ibbed Com- 弯曲形双重结构位移计算方法的关系.分析表明， posite Wall-Shear Wall Structures [Dissertation].Xi'an:Xi'an 剪切形一弯曲形双重结构可视为弯剪型一弯曲型双 University of Architecture&Technology,2008 重结构在弯剪型子结构抗弯刚度取无穷大时的一种 (张旭峰.密肋复合墙一剪力墙混合结构协同工作计算分析与实用设计方法研究[学位论文].西安：西安建筑科技大特殊表现形式学，2008) [12]Timoshenko S,Gere J.Mechanics of Materials.Beijing:Science 参考文献 Press,1990 Bao S H,Zhang T S.Design and Analysis of Tall-Building Struc- (Timoshenko S,(Gere J.材料力学.北京：科学出版社，1990)

第 12 期郭猛等: 弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构体系水平位移的解析解型子结构的弯曲变形和剪切变形解析表达式( 29) 和( 30) 进行 E1 I1→∞ 的极限运算，且代入式( 42) 给出的刚度特征值，整理得 lim E1I1→∞ yb1 = lim E1I1→ { ∞ H4 q E1 I1 + E2 I [ 2 ξ 2 ( 6 1 + ξ 3 ) 20 + 2 － λ2 2λ2 ( ξ 3 6 － shλξ λ3 + ξ λ2 ) + 2λ －2shλ + λ2 shλ 2λ5 chλ ( 1 － chλξ) ] } =0 lim E1I1→∞ yq1 = lim E1I1→ { ∞ － H2 qE1 I1 G1A1 ( E1 I1 + E2 I2 [ ) 2 － λ2 2λ2 ( ξ － shλξ ) λ + 2λ －2shλ + λ2 shλ 2λ3 chλ ( 1 － chλξ) + ξ 3 ] } 6 = H4 q λ2 E2 I [ ( 2 shλ 2λ － shλ λ3 + 1 λ2 ) ( chλξ －1 ch ) λ + ( ξ － shλξ ) ( λ 1 2 － 1 λ2 ) － ξ 3 ]                      6 ( 43) 式( 42) 、式( 43) 即是人们所熟知的框架--剪力墙结构也即剪切型--弯曲型双重结构的刚度特征值和倒三角形荷载下水平位移的计算公式．因此，框架--剪力墙结构( 剪切型--弯曲型双重结构) 可以视为弯剪型--弯曲型双重结构在弯剪型子结构抗弯刚度取无穷大( EI→∞ ) 时的一种特殊表现形式，两者的刚度特征值、位移计算公式是完全相容的． 3 结语 ( 1) 本文对中高层弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构的水平位移简化计算方法进行了研究．将弯曲型子结构视为仅发生弯曲变形的悬臂墙，将弯剪型子结构视为同时发生弯曲变形和剪切变形的 Timoshenko 悬臂墙，在此基础上建立了弯剪型--弯曲型双重抗侧力结构的位移微分方程，推导了均布荷载、倒三角形荷载和顶部集中荷载作用下结构的弯曲变形、剪切变形和总水平位移的解析解． ( 2) 探讨了弯剪型--弯曲型双重结构与剪切形-- 弯曲形双重结构位移计算方法的关系．分析表明，剪切形--弯曲形双重结构可视为弯剪型--弯曲型双重结构在弯剪型子结构抗弯刚度取无穷大时的一种特殊表现形式．参考文献［1］ Bao S H，Zhang T S． Design and Analysis of Tall-Building Structure． Beijing: Tsinghua University Press，2005 ( 包世华，张铜生．高层建筑结构设计和计算．北京: 清华大学出版社，2005) ［2］ Fang E H，Qian J R，Ye L P． Design and Analysis of Tall-Building Structure． Beijing: China Construction Industry Press，2006 ( 方鄂华，钱稼茹，叶列平．高层建筑结构设计．北京: 中国建筑工业出版社，2006) ［3］ Technical specification for steel structure of tall buildings ( JGJ 99- 9800003) ［S］． Beijing: China Building and Architecture Press， 2001 ( 高层民用建筑钢结构技术规程( JGJ 99--9800003) ［S］．北京: 中国建筑工业出版社，2001) ［4］ He R Q，Bian R N． The stratified deformation of frame-supporting steel structure under the action of horizontal earthquake motion． J Suzhou Inst Urban Constr Environ Prot，2000，13( 3) : 48 ( 何若全，卞若宁．框架--支撑钢结构在水平地震作用下的层间变形．苏州城建环保学院学报，2000，13( 3) : 48) ［5］ Sieczkowski J． Simplified method of analysis of frame-wall systems/ /Advances in Tall Buildings． New York: Council on Tall Buildings and Urban Habitat，1985 ［6］ Guo M，Yao Q F． Stiffness degradation process analysis of multiribbed composite wall． J Tianjin Univ，2010，43( 9) : 792 ( 郭猛，姚谦峰．密肋复合墙体刚度退化全过程分析．天津大学学报，2010，43( 9) : 792) ［7］ Liu P，Yao Q F． Dynamic reliability of structures: the example of multi-grid composite walls． Struct Eng Mech，2010，36( 4) : 463 ［8］ Guo M，Yao Q F． Research on frame-multi-ribbed composite wall structure new system． Earthquake Eng Eng Vib，2009，29 ( 5) : 73 ( 郭猛，姚谦峰．框架--密肋复合墙结构新体系研究．地震工程与工程振动，2009，29( 5) : 73) ［9］ Wang Q，Qian J R，Ma B M，et al． Experimental study on seismic behavior of concrete grillage walls． J Build Struct，2004，25 ( 4) : 15 ( 王奇，钱稼茹，马宝民，等．保温砌模混凝土网格墙抗震性能试验研究．建筑结构学报，2004，25( 4) : 15) ［10］ Guo M，Yao Q F． Applied research of multi-storey special-shaped frame column structure system in seismic region． World Earthquake Eng，2009，25( 1) : 70 ( 郭猛，姚谦峰．地震区多层异形框架柱--框架结构体系应用研究．世界地震工程，2009，25( 1) : 70) ［11］ Zhang X F． The Computational Analysis of Collaborative Work and Practical Design Methods Research on the Multi-ribbed Composite Wall-Shear Wall Structures ［Dissertation］． Xi’an: Xi’an University of Architecture ＆ Technology，2008 ( 张旭峰．密肋复合墙--剪力墙混合结构协同工作计算分析与实用设计方法研究［学位论文］．西安: 西安建筑科技大学，2008) ［12］ Timoshenko S，Gere J． Mechanics of Materials． Beijing: Science Press，1990 ( Timoshenko S，Gere J．材料力学．北京: 科学出版社，1990) ·1571·