《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 第三章、综合指标 教学目的]:1、熟练掌握总量指标的概念、分类与计量单位 熟练掌握各种相对指标的特点及计算方法 3、熟练掌握各种平均指标的计算方法及应用条件 4、理解标志变异指标的意义及计算方法。 [教学重点与难点]:1、综合指标的意义及计算方法 2、算术平均数的性质 3、标准差的意义及计算方法 [教学时数]:9课时 §1、总量指标 总量指标的意义和种类 一)、意义:总量指标是反映社会经济现象总体规模或水平的统计指标。也叫绝对数 (二)、总量指标的种类 1、总量指标按其反映的内容不同可分为:总体单位总量和总体标志总量。 2、总量指标按其反映时间状态的不同可分为:时期指标和时点指标。 (1)、时期指标与时点指标的概念 (2)、时期指标和时点指标的区别: 、总量指标的计量单位 (一)、实物单位:是根据事物的属性和特点而采用的计量单位。有:自然计量单位、度量 衡计量单位、标准实物计量单位。 (二)、价值单位:是用货币来度量社会财富或劳动成果的一种计量单位。具有广泛的综合 性和概括能力。 (三)、劳动单位:是用劳动时间表示的计量单位。如工日、工时等。 §2、相对指标 、相对指标的概念和计量单位 (一)、概念:相对指标是两个有联系的总量指标对比计算的比率。它从数量上反映事物在 时间、空间、事物本身内部以及不同事物之间的联系程度和对比关系。 (二)、相对指标的计量单位 1、无名数:是一种抽象化的数值,常以倍数、系数、成数、百分数、千分数等表示 2、有名数:是将相对指标中的分子和分母的指标计量单位同时使用,形成双重单位。 (三)、相对指标的意义 1、相对指标是以相互关联的指标对比,从数量上反映事物之间的联系,通过它可以表 明现象发展的相对程度,为人们深入地认识事物和进行分析研究提供依据。 2、由于不同时期和不同空间的总量指标代表不同条件下的现象发展规模,因此,往往 不能直接对比。相对指标把两个总量指标抽象化了,从而使不能直接对比的数值变为 比 二、相对指标的种类及计算方法 (一)、结构相对指标:是在统计分组的基础上,以总体中的部分数值与总体数值对比求得 的比重或比率。反映总体内部的组成状况 计算公式:结构相对数=总体部分数值/总体全部数值 (二)、比例相对数:是总体内部各组成部分之间对比求得的比率,反映总体中各组成部分 之间数量联系的程度和比例关系
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 6－1 第三章、综合指标 [教学目的]： 1、熟练掌握总量指标的概念、分类与计量单位 2、熟练掌握各种相对指标的特点及计算方法。 3、熟练掌握各种平均指标的计算方法及应用条件 4、理解标志变异指标的意义及计算方法。 [教学重点与难点]： 1、综合指标的意义及计算方法 2、算术平均数的性质 3、标准差的意义及计算方法 [教学时数]：9 课时 §1、总量指标 一、总量指标的意义和种类 （一）、意义：总量指标是反映社会经济现象总体规模或水平的统计指标。也叫绝对数。 （二） 、总量指标的种类： 1、 总量指标按其反映的内容不同可分为：总体单位总量和总体标志总量。 2、总量指标按其反映时间状态的不同可分为：时期指标和时点指标。 （1）、时期指标与时点指标的概念 （2）、时期指标和时点指标的区别： 二、总量指标的计量单位 （一）、实物单位：是根据事物的属性和特点而采用的计量单位。有：自然计量单位、度量 衡计量单位、标准实物计量单位。 （二）、价值单位：是用货币来度量社会财富或劳动成果的一种计量单位。具有广泛的综合 性和概括能力。 （三）、劳动单位：是用劳动时间表示的计量单位。如工日、工时等。 §2、相对指标 一、相对指标的概念和计量单位 （一）、概念：相对指标是两个有联系的总量指标对比计算的比率。它从数量上反映事物在 时间、空间、事物本身内部以及不同事物之间的联系程度和对比关系。 （二）、相对指标的计量单位 1、无名数：是一种抽象化的数值，常以倍数、系数、成数、百分数、千分数等表示。 2、有名数：是将相对指标中的分子和分母的指标计量单位同时使用，形成双重单位。 （三）、相对指标的意义： 1、相对指标是以相互关联的指标对比，从数量上反映事物之间的联系，通过它可以表 明现象发展的相对程度，为人们深入地认识事物和进行分析研究提供依据。 2、由于不同时期和不同空间的总量指标代表不同条件下的现象发展规模，因此，往往 不能直接对比。相对指标把两个总量指标抽象化了，从而使不能直接对比的数值变为 可比。 二、相对指标的种类及计算方法 （一）、结构相对指标：是在统计分组的基础上，以总体中的部分数值与总体数值对比求得 的比重或比率。反映总体内部的组成状况。 计算公式：结构相对数=总体部分数值/总体全部数值 （二）、比例相对数：是总体内部各组成部分之间对比求得的比率，反映总体中各组成部分 之间数量联系的程度和比例关系
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 (三)、比较相对数:是将同类指标做静态对比求得的比率。它表明同类事物在不同空间条 件下的数量对比关系 (四)、动态相对数:是将不同时间的同类现象进行对比。表明同类事物在不同时间状态下 的对比关系,说明社会经济现象在时间上运动、发展和变化 (五)、计划完成程度相对数:是现象在某一段时间内实际完成数值与计划任务数值的对比 计划完成程度相对数=实际完成数/计划任务数 1、计划数为绝对数:计划完成程度相对数=实际水平/计划水平 2、计划数为相对数:这些指标的计划数是以比上期减少或提高百分之几的形式出现 的。在计算计划完成程度时,不应直接用实际降低率或提高率除以计划降低率或提高率 而应以包括原有基数在内的公式计算。 对较长时期的计划进行检查分两种方法: (1)、水平法:指在计划中,只规定计划期最末一年应达到的水平。(条件:现象 在计划期内呈递增趋势) (2)、累计法:指在计划中,规定整个计划期内累计应达到的水平。 4、计划执行进度的检查: 计划进度执行情况相对数,主要是用来分析计划期内的计划执行的进度,并据 以考核计划执行的均衡性, (六)、强度相对指标: 1、强度相对指标的概念:强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的指标数值对 比求得的比数,用来表明现象的强度、密度和普遍程度。 2、计算强度相对指标的意义 (1)、强度相对指标能够说明社会经济现象的强弱程度,在反映一个国家的经济 实力时,被广泛地应用。 (2)、强度相对指标还可用来反映现象的密度和普遍程度,如人口密度、铁路或 公路网密度等。 (3)、强度相对指标还可以用来反映社会生活条件或效果。如:每万元产值的利 润率等 3、强度相对指标有正、逆指标之分: (1)、正指标:指标数值大小与现象的发展程度或密度、普遍程度成正比例。 (2)、逆指标:指标数值大小与现象的发展程度或密度、普遍程度成反比例。 三、计算和应用相对指标的原则 (一)、可比性原则:主要检查对比指标所包括的内容、范围和计算方法等方面是否相互适 应,彼此是否协调 (二)、对指标和总量指标结合应用的原则。(增长1%的绝对值) (三)、相对指标与相对指标的结合应用。 §3、平均指标(静态平均数) 平均指标的概念及作用 (一)、概念:平均指标是同类社会经济现象在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。 是将总体各单位某一标志值的个体差异抽象化,反映其整体上的一般性水 (二)、统计平均数的作用:主要表现在,平均数可以概括地表现数列的基本数值特征,显 示数列分布的集中趋势 (三)、强度相对数与平均数的区别: 6-2
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 6－2 （三）、比较相对数：是将同类指标做静态对比求得的比率。它表明同类事物在不同空间条 件下的数量对比关系。 （四）、动态相对数：是将不同时间的同类现象进行对比。表明同类事物在不同时间状态下 的对比关系，说明社会经济现象在时间上运动、发展和变化。 （五）、计划完成程度相对数：是现象在某一段时间内实际完成数值与计划任务数值的对比。 计划完成程度相对数=实际完成数 / 计划任务数 1、计划数为绝对数：计划完成程度相对数=实际水平 / 计划水平 2、计划数为相对数：这些指标的计划数是以比上期减少或提高百分之几的形式出现 的。在计算计划完成程度时，不应直接用实际降低率或提高率除以计划降低率或提高率， 而应以包括原有基数在内的公式计算。 3、对较长时期的计划进行检查分两种方法： （1）、水平法：指在计划中，只规定计划期最末一年应达到的水平。（条件：现象 在计划期内呈递增趋势） （2）、累计法：指在计划中，规定整个计划期内累计应达到的水平。 4、计划执行进度的检查： 计划进度执行情况相对数，主要是用来分析计划期内的计划执行的进度，并据 以考核计划执行的均衡性。 （六）、强度相对指标： 1、强度相对指标的概念：强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的指标数值对 比求得的比数，用来表明现象的强度、密度和普遍程度。 2、计算强度相对指标的意义： （1）、强度相对指标能够说明社会经济现象的强弱程度，在反映一个国家的经济 实力时，被广泛地应用。 （2）、强度相对指标还可用来反映现象的密度和普遍程度，如人口密度、铁路或 公路网密度等。 （3）、强度相对指标还可以用来反映社会生活条件或效果。如：每万元产值的利 润率等。 3、强度相对指标有正、逆指标之分： （1）、正指标：指标数值大小与现象的发展程度或密度、普遍程度成正比例。 （2）、逆指标：指标数值大小与现象的发展程度或密度、普遍程度成反比例。 三、计算和应用相对指标的原则： （一）、可比性原则：主要检查对比指标所包括的内容、范围和计算方法等方面是否相互适 应，彼此是否协调。 （二） 、对指标和总量指标结合应用的原则。（增长1%的绝对值） （三）、相对指标与相对指标的结合应用。 §3、平均指标（静态平均数） 一、平均指标的概念及作用 （一）、概念： 平均指标是同类社会经济现象在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。 是将总体各单位某一标志值的个体差异抽象化，反映其整体上的一般性水 平。 （二）、统计平均数的作用：主要表现在，平均数可以概括地表现数列的基本数值特征，显 示数列分布的集中趋势。 （三）、强度相对数与平均数的区别：
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 1、强度相对数: (1)、强度相对数是由两个不同质但有联系的总体的指标数值对比求得 (2)、强度相对数的分子与分母不存在一一对应关系 (3)、强度相对数是反映两个有联系的总体之间的数量联系 2、平均数 (1)、平均数是在同质总体内进行计算的 (2)、平均数的分子与分母是一一对应关系。分母是分子(标志值)的承担者。 (3)、平均数是反映一般水平或集中趋势的 二、平均数的种类及计算 (一)、数值平均数 1、简单算术平均数:主要用于处理未分组的原始资料。计算公式:x= 2、加权算术平均数:在总体单位数较多时,计算平均数就需要采用加权算术平均数的方法。 ∑xf (1)、单项式数列计算加权算术平均数 第一、把各组的标志值乘以相应数的单位数,求出各组的标志总量 第二、再把各组的标志总量相加,求得总体标志总量 第三、把各组的单位数相加,求得总体单位总量 第四、用总体标志总量除以总体单位总量,求得平均 (2)、组距式数列计算加权算术平均数 第一、确定各组的组中值 第二、把各组的组中值乘以相应的单位数,求出各组的标志总量 第三、再把各组的标志总量相加,求得总体标志总量 第四、把各组的单位数相加,求得总体单位总量 第五、用总体标志总量除以总体单位总量,求得平均数。 (3)、平均数的大小受两个因素的影响:1、变量值本身水平的大小:2、标志值在各组 出现次数的多少。 (4)、权数的概念:次数被称为权数,而标志值与次数相乘,则被称为加权。在标志值 水平一定时,权数的大小影响平均数的大小:权数越大,平均数就越接近这组标志 值;权数越小,平均数就离这组标志值越远。 (5)、算术平均数的数学性质 ①各个变量值与算术平均数的离差总和等于零 ②各个变量值与算术平均数的离差平方总和为最小值 ③两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。 ④两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各个变量平均数的乘积。 3、调和算术平均数: (1)、概念:调和平均数是常用的另一种平均指标,它是根据标志值的倒数计算的 又称为倒数平均数。 (2)、计算公式:x=m
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 6－3 1、强度相对数： （1）、强度相对数是由两个不同质但有联系的总体的指标数值对比求得。 （2）、强度相对数的分子与分母不存在一一对应关系。 （3）、强度相对数是反映两个有联系的总体之间的数量联系。 2、平均数 （1）、平均数是在同质总 体内进行计算的。 （2）、平均数的分子与分母是一一对应关系。分母是分子（标志值）的承担者。 （3）、平均数是反映一般水平或集中趋势的。 二、平均数的种类及计算： （一）、数值平均数 1、简单算术平均数：主要用于处理未分组的原始资料。计算公式： n x x = 2、加权算术平均数：在总体单位数较多时，计算平均数就需要采用加权算术平均数的方法。 f f x f xf x = = 或 （1）、单项式数列计算加权算术平均数 第一、把各组的标志值乘以相应数的单位数，求出各组的标志总量； 第二、再把各组的标志总量相加，求得总体标志总量； 第三、把各组的单位数相加，求得总体单位总量； 第四、用总体标志总量除以总体单位总量，求得平均数。 （2）、组距式数列计算加权算术平均数 第一、确定各组的组中值； 第二、把各组的组中值乘以相应的单位数，求出 各组的标志总量； 第三、再把各组的标志总量相加，求得总体标志总量； 第四、把各组的单位数相加，求得总体单位总量； 第五、用总体标志总量除以总体单位总量，求得平均数。 （3）、平均数的大小受两个因素的影响：1、变量值本身水平的大小；2、标志值在各组 出现次数的多少。 （4）、权数的概念：次数被称为权数，而标志值与次数相乘，则被称为加权。在标志值 水平一定时，权数的大小影响平均数的大小：权数越大，平均数就越接近这组标志 值；权数越小，平均数就离这组标志值越远。 （5）、算术平均数的数学性质： ①各个变量值与算术平均数的离差总和等于零。 ②各个变量值与算术平均数的离差平方总和为最小值。 ③两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。 ④两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各个变量平均数的乘积。 3、调和算术平均数： （1）、概念：调和平均数是常用的另一种平均指标，它是根据标志值的倒数计算的， 又称为倒数平均数。 （2）、计算公式： x m m x =
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 (3)、加权平均数与调和平均数应用的条件: ①加权算术平均数一般用在未知分子的情况下。即总体标志总量未知 ②调和算术平均数一般用在未知分母的情况下。即总体单位数未知 4、由平均指标或相对指标计算平均数 5、几何平均数:是几何级数(等比级数)的平均数 计算公式 或=xx…x 6、常用的数值平均数的一般数量关系:H(调和平均数)≤G(几何平均数)≤A(算术平 均数) 由于三种平均数之间存在着上述不等式关系,因而在计算平均数时应根据社会经济现 象的性质和统计研究的目的选择适当的计算方法。 (二)位置平均数 1、概念:位置平均数是根据其在总体中所处的位置或地位确定的。位置平均数不是根据统 计总体的全部标志值或变量值计算的。 2、计算方法:位置平均数有两种:众数(M)、中位数(M) (1)、众数:是一个统计总体或分布数列中出现频数最多、频率最高的标志值 ①由单项式数列确定众数:只需找出出现次数最多的标志值 ②由组距式数列确定众数 第一步:找出频数(频率)最大的组,即“众数组 第二步:按公式近似地计算众数值。 M=L+ 2-f) ×d(下限公式) 众数的计算公式 f)(2-f3) 2-f3) 2-fX2-f3 ×d(上限公式) (2)、中位数(Me):是一个统计总体或分布数列中处于中间位置的变量值。用一个中 等水平的标志值来表示分布数列的集中趋势,有非常直观的代表 性意义 ①未分组的原始资料: 1、将标志值按大小顺序排列 2、确定中位数的位次。 3、确定中位数 当n是奇数时,则处于中间位置的标志值就是中位数:当n是偶数时,则处于中 间位置的两个标志值的算术平均数就是中位数 ②由已分组资料确定中位数: 第一:计算向上累计数(下限公式)或向下累计数(上限公式) 第二:确定中位数所在组;∑∫/2 第三:按公式(内插法)计算中位数
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 6－4 （3）、加权平均数与调和平均数应用的条件： ①加权算术平均数一般用在未知分子的情况下。即总体标志总量未知。 ②调和算术平均数一般用在未知分母的情况下。即总体单位数未知。 4、由平均指标或相对指标计算平均数 5、几何平均数：是几何级数（等比级数）的平均数。 计算公式: f f n f f n g n n x x x x x x x = = 1 2 1 1 2 2 或 6、常用的数值平均数的一般数量关系：H（调和平均数）≤G（几何平均数）≤A（算术平 均数） 由于三种平均数之间存在着上述不等式关系，因而在计算平均数时应根据社会经济现 象的性质和统计研究的目的选择适当的计算方法。 （二）位置平均数： 1、概念：位置平均数是根据其在总体中所处的位置或地位确定的。位置平均数不是根据统 计总体的全部标志值或变量值计算的。 2、计算方法：位置平均数有两种：众数（Mo）、中位数（Me）。 （1）、众数：是一个统计总体或分布数列中出现频数最多、频率最高的标志值。 ①由单项式数列确定众数：只需找出出现次数最多的标志值。 ②由组距式数列确定众数: 第一步：找出频数(频率)最大的组,即“众数组” 第二步：按公式近似地计算众数值。 众数的计算公式: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) （上限公式） （下限公式） d f f f f f f U d f f f f f f M o L − − − = − − − − = + 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1 （2）、中位数（Me）：是一个统计总体或分布数列中处于中间位置的变量值。用一个中 等水平的标志值来表示分布数列的集中趋势，有非常直观的代表 性意义。 ①未分组的原始资料： 1、将标志值按大小顺序排列。 2、确定中位数的位次。 3、确定中位数。 当n是奇数时，则处于中间位置的标志值就是中位数；当n是偶数时，则处于中 间位置的两个标志值的算术平均数就是中位数。 ②由已分组资料确定中位数： 第一：计算向上累计数（下限公式） 或向下累计数（上限公式）； 第二：确定中位数所在组；∑f / 2 第三；按公式（内插法）计算中位数
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 M=l+ y-Sm×d(下限公式 中位数的计算公式 f S d(上限公式) N (三)、中位数、众数与算术平均数的关系: 1、在完全对称的正态分布中 X =Me mo 2、适度偏态的正态分布中,(在卡尔皮尔生Ⅲ型曲线) 3(X-Me)=( X-Mo) 3Me-2X 如果:Mo<Me<X正偏分布 如果:X<Me<Mo负偏分布 、应用平均指标分析社会经济现象时,应注意的两个原则 (一)、平均指标只能应用于同质总体, (二)、用组平均数补充说明总平均数。 §4、标志变异指标 概念:是反映同质总体各单位标志值的差异程度的,即数列的离散趋势。 、作用: 1、衡量平均指标的代表性 2、反映社会经济活动的均衡程度 3、是统计分析的一个基本指标。 三、标志变异指标的种类:全距(R)、平均差(AD.)、标准差(σ (一)、全距=最大值一最小值 全距的意义明确,计算简单。但它只考虑极值的大小,而不考虑其他变量值的 分布情况,因而,用全距来测定数列的离散程度就不全面 (二)、平均差:是每一个变量值与总体平均数的平均差异程度。平均差因取绝对值,计算 处理过程繁琐,数学性质也不理想,所以,应用较少 (三)、标准差 1、概念:也是平均差的意义。只是采用了平方的方法解决正负方向问题。其计算过程简便 且数学性质也最优。是最常用,也是最重要的标志变异指标 ∑( (标准差) 2、计算公式 E(x-x)(方差) 3、在总体分组的情况下,总方差可以分解为组内方差和组间方差 二、属性总体的概念和特征值的计算 (一)、概念: (二)、属性总体特征值的计算:设总体单位数为N,N=N1+N
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 6－5 中位数的计算公式： （上限公式） 下限公式） d f s U d f s M L m n m f m n m f e − = − − = + + − 1 1 ( （三）、中位数、众数与算术平均数的关系： 1、在完全对称的正态分布中， X = Me = Mo 2、 适度偏态的正态分布中，（在卡尔·皮尔生Ⅲ型曲线） 3（ X —Me）=（ X —Mo） Mo = 3Me —2X 如果：Mo＜Me＜X 正偏分布 如果：X＜Me＜Mo 负偏分布 三、应用平均指标分析社会经济现象时，应注意的两个原则： （一）、平均指标只能应用于同质总体。 （二）、用组平均数补充说明总平均数。 §4、标志变异指标 一、概念：是反映同质总体各单位标志值的 差异程度的，即数列的离散趋势。 二、作用： 1、衡量平均指标的代表性； 2、反映社会经济活动的均衡程度； 3、是统计分析的一个基本指标。 三、标志变异指标的种类：全距 （R）、平均差（A.D.）、标准差(σ) （一）、全距=最大值—最小值 全距的意义明确，计算简单。但它只考虑极值的大小，而不考虑其他变量值的 分布情况，因而，用全距来测定数列的离散程度就不全面。 （二）、平均差：是每一个变量值与总体平均数的平均差异程度。平均差因取绝对值，计算 处理过程繁琐，数学性质也不理想，所以，应用较少。 f x x f A D − = （三）、标准差： 1、概念：也是平均差的意义。只是采用了平方的方法解决正负方向问题。其计算过程简便 且数学性质也最优。是最常用，也是最重要的标志变异指标。 2、计算公式 ( ) ( ) （方差） 标准差） f x x f f x x f − = − = 2 2 2 ( 3、在总体分组的情况下，总方差可以分解为组内方差和组间方差。 二、属性总体的概念和特征值的计算： （一）、概念： （二）、属性总体特征值的计算：设总体单位数为N，N = N1 + N0
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 成数(P):即P=N1/N No/N 属性总体的总体平均数:x=P 属性总体的方差:a2=P(-P) 六、变异系数: (二)、作用:1、两个水平不等的数列比较:2、两个性质不同的数列比较:3、两个计量 单位不同的数列的比较 R A·D (三)、计算公式: 6-6
《统计学》精品课程文件之三 《统计学》授课教案 6－6 成数（P）：即P = N1 / N q = N0 / N p + q = 1 q = 1－p 属性总体的总体平均数： x p = P 属性总体的方差： P( P) P = 1− 2 六、变异系数： （一）、概念： （二）、作用：1、两个水平不等的数列比较；2、两个性质不同的数列比较；3、两个计量 单位不同的数列的比较。 （三）、计算公式： X V X A D V X R V A D R = = =