试卷代号：1088 座位口 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷） 数学建模 试题 2010年7月 题 三 总分 分 数 得 分 评卷人 一、填空题（每题5分，满分20分） 1.单种群生物资源的开发问题中，若环境最大容纳量为K,则在保持生物资源的可持续 性发展下进行资源开发的最优开发策略是 策略， 2若按照复利计算20万元10年后的终值是 20=32.5779(万元)，则年利率应为 3.一质量为m的物体自由下落，在下落过程中除受重力作用之外，还受到空气阻力的作 用，若空气阻力与下落速度成正比，则物体下落过程的数学模型是 4.设某种商品的供给函数是G(t)=36P(t一1)一3600，其中P(t)为该商品的价格函数， 那么该商品下一时段的价格达到 ,才能迫使供给商停止供给。 613
得 分 评卷人 二、分析判断题（每题15分，满分30分） 1.考虑在一片面积为定数的草地上进行羊的养殖问题，为了获得最大经济效益，指出建立 该问题数学模型应该考虑的相关因素.（至少列出5个）. 2.据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点.也 就是说，这个比值越接近0.618，就越给人以一种美的感觉.很可惜，一般人的躯干（由脚底至 肚脐的长度)与身高比都低于此数值，大约只有0.58-0.60左右. 设躯干长为x,身高为l,一位女士的身高为1.60(m),其躯干与身高之比x：l=0.60,若 其所穿的高跟鞋高度为d(单位与x,l相同)，那么，她该穿多高的高跟鞋(d=?)才能产生最美 的效应值， 得分 评卷人 三、计算题（每题25分，满分50分】 1.某工厂计划用两种原材料A,B生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）；乙的需要 量依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单 位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总 产值达到最大，并由此回答： (1)最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. (2)原材料的利用情况， 2.某运输公司要将某种物资从总站A运往终点站D,可以选择经过6个中间站B1,B2, B、C1,C2,C,从A到B1,B2,B3的路长依次为3、8、7(km);从B,到C1,C2的路长为4、3 (km):从B2到C,C2,C3的路长为2、8、4(km):从B到C2,C的路长为7、6(km);从C、 C2、C,到D的路长依次为12(km)、13(km)和8(km),试利用图模型协助公司制定一个总运 输费用最少的运输路线，并求出最小运费. 614
试卷代号：1088 中央广播电视大学2009一2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷） 数学建模：试题答案及评分标准 (供参考) 2010年7月 一、填空题（每题5分，满分20分） 1鉴 2.0.05 3.m0=mg-知 4.100 二、分析判断题（每题15分，满分30分） 1.解饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、羊制 品及其深加工等 (注意：最少写出5个因素。每写对一个因素给3分，最多15分) …15分 2解穿高跟鞋后新的比值应为者=特兰、 …8分 令061+4=0.618， 1+d …11分 由此可知d=7.54(cm). 三、计算题（每题25分，满分50分） …15分 1.解设x1,x2表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件：x1十3x2≤22和x1十x2≤20； 又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件得到另外两个条件： x2≤6，以及2x1一5x2≤0. 目标函数满足：maxx=3x1十9x2.由此可得线性规划模型： max z=321+9x2 x1+3x2≤22， x1十x2≤20， 5.t. x2≤6 …12分 2x1-5x2≤0， x1,x2≥0 615
(1)使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这是因为第一个约束条件所在直线的 斜率与目标函数直线的斜率相等)，其中的两个方案为该直线段上的两个端点： X1=(4,6)T,x2=(10,4)T, …20分 目标值均为z=66(百元). (2)按照上面的第一个解，原材料B将有10个单位的剩余量，而按照第二个解，原材料B 将有6个单位的剩余量.不论是哪一个解，原材料A都全部充分利用， …25分 2.解这是一个最短路问题，先建立图模型如图1. 4 12 3 3 D A 7 8 B 6 C1 图1 ……12分 利用双标号法计算结果如图2. (3) 4 (7) ⑧ 3 12 3 (8)2 (6) (0)(A 8 B 8 13 7 4 D(19) 7 P (7) (12) 图2 …20分 利用逆向搜索可得两条运输路线： A+B1→C1→D,lmim=19: A+B1→C2-+D,lmm=19. …25分 (少写一条路线扣3分) 616 4