高等数学（1)棋拟试题之一 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 小sm,冈<1 f(x)= 1.设函数 0, 1,八-孕. 2 2 A.0 B.1 C.2 D.-2 2.下列极限存在的有( ). 、 1 1 x2 lim e* B.2- lim sin- lim- A.x0 C.→0 D.x2+x p=hx 3.设x,则d少=( 1-Inx 1-mxdx In x-1 mx-1dx A.x2 B.x2 C.x2 D.x2 f- 4.若F'()=fw,则 =( A.-2F(-Vx)+C (-)+C B.x C.-F(Vx)+C . 5.设n 为数项级数， 其部分和数列S}有界是级数收敛的( A.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 C.必要充分条件 D.既非充分又非必要条件 二、填空题（每小题3分，共15分） V4-x2 y= 1.函数 -的定义域是 ima+k产=e 2.设 ,则k=
高等数学（1）模拟试题之一 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设函数 = 0, 1 sin , 1 ( ) x x x f x ，则 ) 4 ( f − =（ ）． A．0 B．1 C． 2 2 D．- 2 2 2．下列极限存在的有 ( )． A． x x 1 0 lim e → B． 2 1 1 lim →0 − x x C． x x 1 lim sin →0 D． x x x x→ + 2 2 0 lim 3. 设 x x y ln = ，则 dy =（ ）． A. 2 1 ln x − x B. x x x d 1 ln 2 − C. 2 ln 1 x x − D. x x x d ln 1 2 − 4．若 F(x) = f (x) ，则 − x x f x d ( ) =（ ）． A． − 2F(− x) + C B． F x C x (− ) + 1 C． − F( x ) + C D． − F(− x) + C 2 1 5. 设 n=1 n u 为数项级数，其部分和数列 { } Sn 有界是级数收敛的（ ）． A．必要但非充分条件 B．充分但非必要条件 C．必要充分条件 D．既非充分又非必要条件 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．函数 x x y − − = 1 4 2 的定义域是 ． 2．设 2 1 lim (1+ ) = e → x x x k ，则 k = ．
3.曲线y=x+x+1上点(1,3》处的切线方程是 dx 4. J。x血x 5.微分方程y+P四+9=0(p,q为常数)的特征方程为 三、计算题（每小题6分，共54分） 3-x-v1+x lim 1.1 x2-1 lim(x-π)tan 2.→ v= sin x .y) 3.设1+Cosx,求3 4.已知y-2x=x-y)n(x-),求y'(x) sindx 1 V= 6.求由曲线 x和直线y=4x,x=2,y=0所围图形面积. 万x 7.求幂级数后n2”的收敛半径. y+卫=x2+1 7 (1)= 8.求微分方程x 满足初始条件】 4的特解。 9.求微分方程”“+4y+4y=0满足初始条件0)=1，y(0)=0的特解 四、应用题（本题12分） 一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当车速为每小时 20公里时，每小时耗煤价值40元，其他费用每小时200元，甲、乙两地相距S公里，问火 车行驶速度如何，才能使火车由甲地开往乙地的总费用为最省？
3．曲线 1 3 2 y = x + x + 上点(1, 3)处的切线方程是 ． 4． + e 3 (ln ) d x x x = ． 5．微分方程 y + py + qy = 0 （p，q 为常数）的特征方程为 ． 三、计算题（每小题 6 分，共 54 分） 1． 1 3 1 lim 2 1 − − − + → x x x x 2． 2 lim ( )tan x x x − → 3．设 x x y 1 cos sin + = ，求 ) 3 ( y ． 4．已知 y − 2x = (x − y)ln( x − y) ，求 y (x) ． 5． x x x d sin ln 2 6．求由曲线 x y 1 = 和直线 y = 4x ， x = 2， y = 0 所围图形面积． 7．求幂级数 n=1 2 n n n x 的收敛半径． 8．求微分方程 1 2 + = x + x y y 满足初始条件 4 7 y(1) = 的特解． 9．求微分方程 y + 4y + 4y = 0 满足初始条件 y(0) = 1， y (0) = 0 的特解． 四、应用题（本题 12 分） 一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当车速为每小时 20 公里时，每小时耗煤价值 40 元，其他费用每小时 200 元，甲、乙两地相距 S 公里，问火 车行驶速度如何，才能使火车由甲地开往乙地的总费用为最省？
五、证明题（本题4分） 试证：当x>1时，有 2G>3-1 x成立
五、证明题（本题 4 分） 试证：当 x 1 时，有 x x 1 2 3 − 成立．
高等数学(1)模拟试题参考答案 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.C2.D3.B4.A5.A 二、填空题（每小题2分，共10分） 1.【-2,)U1,2] 2.2 3.5x-y-2=0 4.25.2+p2+g=0 三、计算题（每小题6分，共54分） lim 3-x-1+x=m W3-x-V1+x(V3-x+V1+x) X→ x→】 1.解： x2-1 (x2-1)(V3-x+V1+x) -2(x-1) lim- 1(x2-1(V3-x+1+x) (3分) -2 =Gx+1以3-x+1+x) 1 =22 (6分) (x-π) lim .gc-)mi"。m 2.解：→ 2= (2分) 1 m 3c3t 2 (4分) lim 2sin2x 2=2 (6分) J= cosx(1+cosx)-sin x(-sin x) 3.解：因为 (1+c0sx)2 (2 分) =_1+cosx 1 (1+cosx)2= 1+cosx (4分) ③= π 1+co 所以
高等数学（1）模拟试题参考答案 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．C 2. D 3. B 4. A 5. A 二、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 1. [−2, 1) (1, 2] 2. 2 1 3. 5x − y − 2 = 0 4. 2 1 5． 0 2 + p + q = 三、计算题（每小题 6 分，共 54 分） 1．解： ( 1)( 3 1 ) ( 3 1 )( 3 1 ) lim 1 3 1 lim 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x − − + + − − + − + + = − − − + → → ( 1)( 3 1 ) 2( 1) lim 2 1 x x x x x − − + + − − = → （3 分） ( 1)( 3 1 ) 2 lim 1 x x x x + − + + − = → 2 2 1 = − （6 分） 2．解： 2 lim ( )tan x x x − → = 2 cot ( ) lim x x x − → （2 分） = 2 csc 2 1 1 lim x→ 2 x （4 分） = 2 lim 2sin 2 x x→ = 2 （6 分） 3．解：因为 2 (1 cos ) cos (1 cos ) sin ( sin ) x x x x x y + + − − = （2 分） 2 (1 cos ) 1 cos x x + + = 1 cos x 1 + = （4 分） 所以 3 1 cos 1 ) 3 ( + y =
2-3 (6分) 4.解因为在方程等号两边分别对x求导，得 y-2=0-y)mx-)+(x-)1-y x-y (3分) [2+n(x-y]y'=3+n(x-y) J= 3+h(x-y) 所以 2+ln(x-y) (6 分) 5.解： fmnxdssm2dt (2分) 2$咖2)+C (5分) (in x-sin 2In x)+C =2 (6分) 6.解：平面图形的草图如右图. =4x y=4x 1 y=- =2 由 =1/x 1 5,2) 2 得交点坐标 所以平面图形的面积为 6题解图 A=4dr+头dr (3分) 2r+h写 +2n2 2 (6分)
3 2 = （6 分） 4．解 因为在方程等号两边分别对 x 求导，得 x y y y y x y x y − − − = − − + − 1 2 (1 )ln( ) ( ) （3 分） [2 + ln( x − y)]y = 3 + ln( x − y) 所以 2 ln( ) 3 ln( ) x y x y y + − + − = （6 分） 5．解： x x x d sin ln 2 = sin dt 2 t （2 分） = − dt 2 1 cos 2t = t − sin 2t) + C 2 1 ( 2 1 （5 分） = x − sin 2ln x) + C 2 1 (ln 2 1 （6 分） 6．解：平面图形的草图如右图． 由 = = x y y x 1 4 得交点坐标 , 2) 2 1 ( ．所以平面图形的面积为 = + 2 2 1 2 1 0 d 1 4 d x x A x x （3 分） = 2 2 1 2 1 0 2 2x + ln x = 2ln 2 2 1 + （6 分） x y o 1 2 1 2 x =2 y= 4x y= 1/x 6 题解图
lim Vn+1.2m1 1 lim an 7.解：因为 an= Vn.2" (2分) n 1 -8n+122 (4分) 所以原幂级数的收敛半径为：2 (6分) P(x)= 8.解因为 x,Q(x)=x2+1 用公式=e2+1ear+g (2分) =e-In*[(x2+1)eI*dx+C] x4+2+c= =+ X C 42x (4分) 0=+14.7 由 4214,得c=1 y= 所以原方程的特解为： 4+2x (6分) 9.解：原方程的特征方程为2+4入+4=0， 特征根为重根12=-2 故原方程的通解为 y=(C+C2x)e2x 其中C,C2为任意常数. (3 分) 将条件0)=1,0)=0代入，得C=1,C,=2 所以原方程的特解为y=(1+2xe2 (6分) 四、应用题（本题12分） 解：设火车行驶速度为每小时X公里，每小时耗煤的费用为'元，从甲地到乙地的总费
7．解：因为 n n n a a 1 lim + → = n n n n n 2 1 1 2 1 lim 1 + + → （2 分） = 2 1 1 2 lim = + → n n n （4 分） 所以原幂级数的收敛半径为：2 （6 分） 8．解 因为 x P x 1 ( ) = ， ( ) 1 2 Q x = x + 用公式 e [ ( 1)e d ] d 1 2 d 1 y x x C x x x x + + = − （2 分） e [ ( 1)e d ] ln 2 ln x x C x x = + + − x x x c c x x x = + + = + + 4 2 ] 4 2 [ 1 4 2 3 （4 分） 由 4 7 2 1 1 4 1 (1) 3 = + + = c y ， 得 c = 1 所以原方程的特解为： x x x y 1 4 2 3 = + + （6 分） 9．解：原方程的特征方程为 4 4 0 2 + + = ， 特征根为重根 1,2 = −2 ，故原方程的通解为 x y C C x 2 1 2 ( )e − = + 其中 1 2 C , C 为任意常数． （3 分） 将条件 y(0) = 1， y (0) = 0 代入，得 C1 =1，C2 = 2． 所以原方程的特解为 x y x 2 (1 2 )e − = + ． （6 分） 四、应用题（本题 12 分） 解：设火车行驶速度为每小时 x 公里，每小时耗煤的费用为 y 元，从甲地到乙地的总费
用为E元. =40 由已知条件，知y=,且当x=20时，y=40,故=20=0.05 因此 y=0.005x3 E=0+200).S=(0.05x2+200, )s 总费用为 (6分) E'=(0.01x- 200、 因为 令E'=0,得x=10/20 由题意知总费用的最小值存在，且驻点唯一，故函数在1020处取得最小值，即当火 车行驶速度为每小时10/20公里时，从甲地到乙地的总费用为最省。 (12分) 五、证明题（本题4分） fx)=2V-(3-)=2WF+1-3 证： 1 因为 f)= 11 f"(x)= 11 当x>1时，有2>x>压，得 G>0 ,即f(x)单调增加.有 f(x)>f)=2+1-3=0 2-3-)>0 即 2G>3-1 所以，当x>1时， (4分)
用为 E 元． 由已知条件，知 3 y = kx ，且当 x = 20 时， y = 40 ，故 0.005 20 40 3 k = = ，因此 3 y = 0.005x 总费用为 S x x x S E y ) 200 ( 200) (0.005 2 = + = + （6 分） 因为 S x E x ) 200 (0.01 2 = − ． 令 E = 0 ，得 3 x =10 20 由题意知总费用的最小值存在，且驻点唯一，故函数在 3 10 20 处取得最小值，即当火 车行驶速度为每小时 3 10 20 公里时，从甲地到乙地的总费用为最省. （12 分） 五、证明题 （本题 4 分） 证： 设 3 1 ) 2 1 ( ) = 2 − (3 − = + − x x x f x x 因为 2 1 1 ( ) x x f x = − 当 x 1 时，有 x x x 2 ，得 0 1 1 ( ) 2 = − x x f x ，即 f (x) 单调增加. 有 f (x) f (1) = 2 +1− 3 = 0 即 ) 0 1 2 − (3 − x x 所以，当 x 1 时， x x 1 2 3 − （4 分）