第6章定积分及其应用综合练习及参考答案 中央电大顾静相 第6章定积分及其应用 一、填空题 cosd lim 1.r-0x 2 d xdx 91 8+x-2 dx 4.在区间[0,2π]上，曲线y=sx和x轴所围图形的面积为 .∫4-rd 二、单项选择题 1.下列式子中，正确的是() A.Ff(d=o B.()dx=()dx c.rd≥drp.cos.d=cosx 2。若数/)可我，则xdx-7ar+ ∫fx)dx。 B (dx 。fxd 。fd D. 3. S.(xcos-5x+2)dx= (). A.0 B.2 C.6 D.12 4.下列广义积分收敛的是( d.f"e'ds ·B. cosx dx C. D. 5.若/)是-a,a上的连续偶函数，则fxdr=(）
1 第 6 章 定积分及其应用综合练习及参考答案 中央电大 顾静相 第 6 章 定积分及其应用 一、填空题 1． _________ cos lim 0 0 = → x tdt x x ． 2． + = e 1 2 ln( 1)dx d d x x ． 3． + 2 + − 2 d 2 1 x x x = ． 4．在区间 [0, 2 ] 上，曲线 y = sin x 和 x 轴所围图形的面积为 ． 5． 4 x dx 2 − = ． 二、单项选择题 1．下列式子中，正确的是（ ）． A． ( )d 0 2 2 = f x x B． = a b b a f (x)dx f (x)dx C． 1 0 1 0 2 x dx xdx D． [ cos xdt] cos x 2 0 = 2． 若函数 f (x) 可积，则 f x x f x x a b c b ( )d = ( )d + （ ）． A． f x x a c ( )d B． a c f (x)dx C． c b f (x)dx D． b a f (x)dx 3． (x x x ) x 3 3 3 cos − 5 + 2 d = − （ ）． A． 0 B． 2 C． 6 D． 12 4．下列广义积分收敛的是（ ）． A． + 0 e dx x ．B． x x d 1 1 + C． + 0 cos x dx D． x x d 1 1 2 + 5．若 f (x) 是 [−a, a] 上的连续偶函数，则 ( )d = ( ) − a a f x x ．
A.Lds B.0 c.2 rds o.frds 6.若f()与8(x)是[a,b]上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线r=a,r=b所 围图形的面积( A.) B. [)-ga c. 心(g(x)-fx)本 I)-g(d 三、计算题 .2-h 2.+dx 3. 4.-dr xcosxdx 6. nx+x 四、应用题 1.求由曲线以=1，及直线y=x,y=2所围平面图形的面积。 2.求曲线y=2-和直线y=2x+2所围成的平面图形的面积. 五、证明题 1.设函数F(x)与G(x)满足F(x)=G'(x),证明对任意两点a,b,有 F(b)-F(a)=G(b)-G(a) 2.正明灿=tr 参考解答 2
2 A． − 0 ( )d a f x x B． 0 C． − 0 2 ( )d a f x x D． a f x x 0 ( )d 6．若 f (x) 与 g(x) 是 [a,b] 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线 x = a, x = b 所 围图形的面积( )． A． − b a f (x) g(x) dx B． − b a ( f (x) g(x))dx C． − b a (g(x) f (x))dx D． − b a ( f (x) g(x))dx 三、计算题 1． − 4 0 2 x dx 2． x(1 x)dx 1 0 + 3． e + 1 d 1 ln x x x 4． − 1 0 2 2 x 1 x dx 5． 1 0 x cos xdx 6． ln( x 1)dx e 1 0 − + 四、应用题 1．求由曲线 yx = 1 ,及直线 y = x, y = 2 所围平面图形的面积． 2．求曲线 2 y = 2 − x 和直线 y = 2x + 2 所围成的平面图形的面积． 五、证明题 1．设函数 F(x) 与 G(x) 满足 F(x) = G(x) ，证明对任意两点 a , b ，有 F(b) − F(a) = G(b) − G(a) ． 2．证明 = 0 0 3 2 2 ( )d 2 1 ( )d a a x f x x xf x x ． 参考解答
一、填空题 1.1 2.0 3.31 4.4 5.π 二、单项选择题 1.A2.A3.D4.D5.C6.A 三、计算题 1.解： f2-r=f(2-x)dx+f(x-2Xx -2r-r+r-2r-4 2.解： 3.解 l=a+hd0+h对 4.解：设 dx cos idt drm'rosdd =-a-呢-m4)-君 5.解： xcos6-片sin xde 6.解法一 以+s=x+-e1-- _e-1-[x-I(x+I)6=Ie=1 3
3 一、填空题 1．1 2．0 3． ln 4 3 1 4．4 5． 二、单项选择题 1．A 2．A 3．D 4．D 5．C 6．A 三、计算题 1．解： 2 x dx (2 x)dx (x 2)dx 4 2 2 0 4 0 − = − + − 2 ) 4 2 1 ) ( 2 1 (2 4 2 2 2 0 2 = x − x + x − x = 2．解： 6 7 ) 2 1 3 2 (1 )d ( 1 0 2 2 3 1 0 + = + = x x x x x 3．解： = e + 1 d 1 ln x x x + + e 1 (1 ln x)d(1 ln x) 2 3 (1 ln ) 2 1 e 1 2 = + x = 4．解： 设 2 sin , (0 x = t t ， dx = costdt − 1 0 2 2 x 1 x dx = t t t sin 2tdt 4 1 sin cos d 2 0 2 2 2 0 2 = 16 sin 4 ) 4 1 ( 8 1 d 2 1 cos4t 4 1 2 0 2 0 2 0 = − = − = t t t 5．解： 1 0 x cos xdx = − 1 0 1 0 sin d 1 sin 1 x x x x = 1 2 0 cos 1 x = 2 2 − 6．解法一 x x x x x x x d 1 ln( 1)d ln( 1) e 1 0 e 1 0 e 1 0 − − − + + = + − = x x )d 1 1 e 1 (1 e 1 0 − + − − − = e 1 0 e 1 [ ln( 1)] − − − x − x + ＝ln e =1
解法二 令u=x+1,则 6Hx+la=ihd=hai-aue-啡=e-e+l=l 四、应用题 1.解：画草图 y=2 1= 求交点，由y=x,x=1,得x=1,=1 所求平面图形的面积为 A-fo-2 2. 解：先画出y=2-x和少=2x+2所围成的平面图形，见图下图。 再求出交点A,B的坐标，即A(-2,-2), B(0,2） 面积为： ,I(2-x)-(2x+2d -2-2x 五、证明题 1.证明： 因为函数F()与G(x)满足F(x)=G(),所以对任意两点a,b,有 4
4 解法二 令 u = x +1 ，则 u u x x u u u u u d 1 ln( 1)d ln d ln e 1 e 1 e 1 e 1 0 + = = − − = e e e 1 1 e − u 1 = − + = 四、应用题 1． 解：画草图 求交点，由 y = x ， x =1 ，得 x =1， = 1 所求平面图形的面积为 ln 2 2 3 ln ) 2 1 )d ( 1 A ( 2 1 2 2 1 = − = − = − y y y y y 2． 解：先画出 2 y = 2 − x 和 y = 2x + 2 所围成的平面图形，见图下图． 再求出交点 A，B 的坐标，即 A(-2, -2)， B(0, 2)． 面积为： − − − + 0 2 2 [(2 x ) (2x 2)]dx = − − − 0 2 2 ( x 2x)dx = 0 2 3 2 ) 3 1 ( − − x − x = 3 4 五、证明题 1．证明： 因为函数 F(x) 与 G(x) 满足 F(x) = G(x) ，所以对任意两点 a , b ，有 x y 2 y =2 y = x xy=1 0 2 o x y A B
()-F(a)-F[G(-G(b)-G(a) 2re=rfxd-ou f灿
5 F(b) − F(a) = b a F (x)dx = b a G (x)dx = G(b) − G(a) ． 2． = 0 3 2 ( )d a x f x x = 0 2 2 2 ( )d 2 1 a x f x x 0 2 ( )d 2 1 a tf t t = 0 2 ( )d 2 1 a xf x x