试卷代号：1076 座位口 中央广播电视大学2009一2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷） 常微分方程 试题 2010年7月 题 号 二 三 四 五 总 分 分 数 得 分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.方程器-√一子的常数解是 2.方程出=xn(c十y)清足解的存在椎一性定理条件的区城是 3.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间· 4.二阶线性齐次微分方程的两个解P(x),P(x)为基本解组的充要条件是这两个解 5.二阶方程y”+xy十x2y=0的等价方程组是 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.一阶变量可分离微分方程M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0的积分因子是(）. A.N(y)P() 1 B.H=M(z)N(y) 1 C.=p(x)Q(y） D.=M(Q(y) 551
?.方程密-rc0ey的所有常数解是()》 A.y=0 =受 c-受 D.y=艺+kr,=0,士1，土2，… n维方程组=F(z,Y)的任一解的图像是n十1维空间(x,Y)中的（ A.一个曲面 B.n个曲面 C.一条曲线 D.n条曲线 9.用待定系数法求方程y"十y=xsix的非齐次特解y1,1应设为( A.y=Axsinz B.y1=x(Ax+B)sinz+x(Cx+D)cosx C.h=(Ax十B)sinx D.y1=(Ax十B)sin.x+(Cx十D)cosx 10.相平面上的一条轨线对应平面自治系统的( )积分曲线· A.无穷条 B.一条 C.二条 D.三条 得 分 评卷人 三、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解或通积分： 山出-严 12.xy'=vx-y+y. 13.(x3+zy2+x2)dx+z2ydy=0. 14.y=xy+y-√y 15.y”+(y)2+1=0. 得分 评卷人 四、计算题（本题共15分） (dz=-x-2y dt 16. =3x+4y dt 552 14
得分 评卷人 五、证明题（本题共15分）】 17.设P(x)一个多项式函数，证明：方程 d也=P(x)cosy d 所有解的存在区间必为（一0，十o). 553
试卷代号：1076 中央广播电视大学2009一2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷） 常微分方程 试题答案及评分标准 (供参考) 2010年7月 一、填空题（每小题3分，本题共15分】 1.y=士1 2.全平面 3.n 4.线性无关 (y'=y 5. y=-zy-x'y 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.A 7.D 8.C 9.B 10.A 三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解分离变量积分，得edy=(x十sinx)dx十C (4分) 即通积分为e'= 2x-cosx+C (8分) 12解将方程改写为是√-（学+之。 令w=兰，则y=x十，代人上式得x批=一心 (4分)》 分离变量积分得arcsinu=lnx|十C. 原方程的通积分为arcsin=lnlx+C (8分) aN 13.解因为3M=2xy3x (3分) 方程是全微分方程，取(x,y%)=(0,0) (5分) 原方程的通积分为(x3十xy2十x2)dx=C (6分) 554 444
即宁x+y+=C (8分) 14.解克莱洛方程，通解为：y=Cx+C-√C (8分) 15.解令y-,少=代人方程，得能=-(1+). (2分) 分离变量，积分1=-山十C z=tan(-x+C) (5分) 于是是-a(一x十C.积分，得通解为 y=Inl cos(-z+C)+Cz (8分) 四、计算题（本题共15分】 16.解特征方程 A-E到=3 =(-2)(-1)=0 (5分) 特征根入1=2，A2=1 (7分) λ1=2对应的特征向量为 -3 λ2=1对应的特征向量为 (12分) 原方程的通解为： -a-+e (15分) 五、证明题（本题共15分】 17.证明 因为P(x)在(-o,十o)上连续，cosy及(cosy)'=-siny在(-o,十o)上连 续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理， (6分) 又显然y=受十m,k=0,士1，士2，…是方程的常数解. (9分) 现设y=y(x)是方程的任一解，若其初值在常数解y=受十m上，则由解的惟一性，y(x) =受十kx的存在区间必为（一0，十四）.若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一 性和解的延展定理，y=y(x)可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数 解，故其存在区间必为（一0，十o). (15分) 555