56-4平行力系的中心及重心
§6-4 平行力系的中心及重心
平行力系中心 C点一一平行力系中心 F/F FRF+F2 MB(FR=MB(F)+ MB(F,) 即: FD. BC.sin=F1 AB sina F1·BC+F2BC=F1AB F AC E BC R C点的位置与、F的小及作用点A、B有关,与 夹角a无关。 即:C点的位置是确定的。 结论如果平行力系有合力,则合力的作用线必过一 个确定的点,这个确定的点不随平行力系方向 的变化而改变
结论 如果平行力系有合力，则合力的作用线必过一 个确定的点，这个确定的点不随平行力系方向 的变化而改变。 C点——平行力系中心 即：C点的位置是确定的。 一、平行力系中心 FR·BC·sinα=F1 ·AB·sinα α A 即： α F1·BC+F2·BC=F1·AB α FR F1 F2 C B F1∥F2 FR F1 F2 MB( ) = FR MB F1 ( ) + MB F2 ( ) B C AC = F F ∴ 1 2 ∴C点的位置与 、 的大小及作用点A、B有关，与 夹角α无关。 F1 F2 = +
二、平行力系中心的计算 ∑M、(F F FRX=∑Fxz yixi /Xc F:x yc 火 R M(F)=2Mx(F)FRy=∑Fy fIy y R F: Z 同理: R
二、平行力系中心的计算 xc . . o FR·xc=∑Fi·xi 同理： y x z yc xi yi i c My ( ) = FR ∑ n =1 y M ( F ) i i R c F ∑F x ∴ x = i i Mx FR·yc=∑Fi·yi ( ) = FR ∑ n =1 x M ( F ) i i R c F F y y = ∑ ∴ i i R c F F z z = ∑ ∴ i i Fi FR
三、重心 质心 重心 ∑G ∑Giyi ∑G G ye R R R 1均质物体G=vpG;=Vp重心形心 Va y R R 薄板: 厚t,V=At,V;=At 截面面积S,V=SL,ⅤSL ∑A ∑L:x A L R R
三、重心 薄板： 厚t，V=At， Vi = Ai t 线： 1.均质物体 质心 截面面积S，V= SL，Vi= SLi 重心 G = Vρ R c G G x x = ∑ ∴ i i R c G G y y = ∑ i i R c G G z z = ∑ i i Gi = Viρ R c V V x x = ∑ ∴ i i R c V V y y = ∑ i i R c V V z z = ∑ i i 重心 形心 R c A A x x = ∑ ∴ i i R c L L x x = ∑ ∴ i i
2质量连续分布 XOV ∫ydv ∫v zdv 体 ∫xdA ∫ydA ∫zdA 面 A y A A ∫xdL ∫ydL ∫zdL 线 L C L
2.质量连续分布 体： 线： 面： V xdv x = V c ∫ V ydv y = V c ∫ V zdv z = V c ∫ A xdA x = A c ∫ A ydA y = A c ∫ A zdA z = A c ∫ L xdL x = L c ∫ L ydL y = L c ∫ L zdL z = L c ∫
B 例1.求三角的中心 解 D 例2求半径r,张开角2α的圆弧线的中心C 解 d yc=o dL=rde x=rose L=2ar x/0(a ∫xdL ∫α rcos 0d0 2r cosod0 r sina 2 r 2 ar a y 例3.求半径R,张开角2α扇形面积的形心C。 解:yc=0 X 3 Sina 2Rsina R 3 3 a
求三角的中心。 C 解： 例2.求半径r，张开角2α的圆弧线的中心C。 A B D yc= 0 x=rcosθ L=2αr 例3. dL=rdθ dθ x θ α α y α sinα α α cos α α α r = r r cos d = r r d = L xdL x = 0 2 L c 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∴ θ θ θ θ － 求半径R，张开角2α扇形面积的形心C。 解： yc= 0 解： x y α α r = R 3 2 α α α α 3 Rsin = Rsin xc = 3 2 2 例1
例2 fy 各杆每米长等重,求重心的位置 解 0 √2 c2 yc2 √2 4 45°45 X 3-2 √2 yc3 √2I3 2√2m 1 2 222+42+22 +5y2 1.254 6+2 √2 6+2√2 42+√252 √2 0.801m 6+2y 6+2 N2
例2. 各杆每米长等重，求重心的位置。 解： 1 45° y 2 m x 2 m 2 m 2 2m 45° 3 2 xc1 = 2 xc2 = 2 yc1 = 0 yc2 = 2 L1 = 2 2 L2 = 4 2 2 1 xc3 = 2 2 1 yc3 = L3 = 2 c = . m + + = + + + x = 1 254 6 2 2 4 5 2 6 2 2 2 2 1 2 2 2 4 2 2 c = . m + = + + y = 0 801 6 2 2 5 2 6 2 2 4 2 2
例3.求图示细杆形心坐标。 解:12xD=80zL2 1 =160 xc1=0Xc2=8 c1=8 yc2=0 0 0 sina rsin 2r160 zc2=0 a LX1+L。x 160×80 2 31.13mm L+Le 80x+160 X L1y1+L2y2 802T 48.87m L+Le 80丌+160 L1+L。z 80×160 31.13mm L1+L2 80丌+160
求图示细杆形心坐标。 解： xc1=0 L2=160 1 例3. o z x y π π π π 2 160 2 2 = r = r = r zc 1 = sin α sinα L1 = πD = 8 0 π 2 1 2 yc1=8 0 xc2=8 0 yc2=0 zc2=0 c = mm + × = L + L L x + L x x = 3 1 1 3 8 0 160 160 8 0 1 2 1 1 2 2 . π c = mm + = L + L L y + L y y = 4 8 8 7 8 0 160 8 02 1 2 1 1 2 2 . π π c = mm + × = L + L L z + L z z = 3 1 1 3 8 0 160 8 0 160 1 2 1 1 2 2 . π
例4.求图示图形的形心。 e 解:解法I: AA A1X1+A。X+A2X A X 343 A1+A。+A 3 aeotob-ela-dletob-el+(b-edetoob-el ae+o((a-d)+(b-e)d y1+A2y2 a3y3 y A1+A。+A 3 ae 2t2(b-e)(a-d)ld+3(a-d)l+(b-e)d 2 d ae+o(b-e(a-d)+(b-e)d
A1 解： 解法 Ⅰ ： 例4. 求图示图形的形心。 y d x e a b A3 A 2 2 3 2 2 3 3 A + A + A A x + A x + A x x = 1 1 1 c a e b e a d b e d b e a d e b e b e d e b e e a e + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) [ + ( ) ]+ ( ) [ + ( ) ] = － － － － － － － － 21 21 31 21 2 2 3 2 2 3 3 A + A + A A y + A y + A y y = 1 1 1 c a e b e a d b e d b e a d d a d b e d d a a e + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) [ + ( ) ] + ( ) = － － － － － － － 21 21 31 21 2
解法Ⅱ:负面积法 A=ab (b-e(a-d)( A A2 2 2 AX+ A2X2 A1+A b ab b-e((b-el ab-o(b-e(a-d) Aly+ a2y abe-ob-ela-dld+o(a-d) y + a2 b-o(b-e(a-d)
A 1 =ab y d x e a bA1 A 2 解法 Ⅱ ： 负面积法 A = － ( b － e)( a － d ) 21 2 22 2 A + A A x + A x x = 1 1 1 c ( ) ( ) ( ) ( ) [ + ( ) ] = a b b e a d b e a d e b e b a b － － － － － － － 21 32 21 2 22 2 A + A A y + A y y = 1 1 1 c ( ) ( ) ( ) ( ) [ + ( ) ] = a b b e a d b e a d d a d a a b － － － － － － － 21 32 21 2