《工程力学》课程教学资源（课后习题答案）第七章 内力（主讲：高斌）

工程力学习题答案 第七章 思考题 1.内力是由于构件受到外力后,其内部各部分之间相对位置发生改变而产生的。(对) 2.若杆件截面性状及尺寸一定,则载荷越大,横截面上的应力越大。(对) 3.在相同载荷作用下,杆件材料越软,则横截面上的应力越低。(错) 4.对于各向同性材料,同一点在不同方向上的应力相等。(错) 5.若杆件的总变形为零,则杆内的应力必须等于零。(错) 6.若杆件在某个方向的应力等于零,则该方向的应变也必定为零。(错) 7.在轴向拉伸杆中,若一横截面的位移大于另一横截面的位移,则其应力也必是前者大于后者。(错) 8.对于静不定结构,各杆内力的大小与材料的弹性模量E杆的横截面面积A有关,而静定结构, 各杆内力的大小与EA无关。(对) 习题七 图示阶梯杆,P=2kN、P2=3kN,d1=12mm、d2=8mm,l=500mm。试求:(1)绘轴力 图:(2)最大正应力 解:(1)取1-1截面右段:N1=B+P2=5KN PI 12, d2 取2-2截面右段:N2=B=3kN N1N1·4 5×103×4 5 kN 44.2 MPa 丌×12 3 kN ( N2N24_3×10×4 =59.7 MPa A d2 .7 2.钢杆受力P=400kN,已知拉杆材料的许 用应力s]100MPa,横截面为矩形,如 b=2a,试确定a、b的尺寸。 解:根据强度条件,应有 P 将b=2a代入上式,解得 400×10 a 2qV2×1000m=4.2m 由b=2a,得b≥8944m

1 工程力学习题答案 第七章 思考题 1．内力是由于构件受到外力后，其内部各部分之间相对位置发生改变而产生的。（对） 2. 若杆件截面性状及尺寸一定，则载荷越大，横截面上的应力越大。(对) 3. 在相同载荷作用下，杆件材料越软，则横截面上的应力越低。 (错) 4. 对于各向同性材料，同一点在不同方向上的应力相等。 (错) 5. 若杆件的总变形为零，则杆内的应力必须等于零。( 错) 6. 若杆件在某个方向的应力等于零，则该方向的应变也必定为零。(错) 7. 在轴向拉伸杆中，若一横截面的位移大于另一横截面的位移，则其应力也必是前者大于后者。(错) 8. 对于静不定结构，各杆内力的大小与材料的弹性模量 E 杆的横截面面积 A 有关，而静定结构， 各杆内力的大小与 EA 无关。(对) 习题七 1. 图示阶梯杆， 1P = 2 kN 、 2 P = 3 kN， 1 d = 12 mm、 2 d = 8 mm，l = 500 mm。试求：（1）绘轴力 图；（2）最大正应力。 解：（1）取 1-1 截面右段： N1 = + P P 1 2 = 5 kN 取 2-2 截面右段： 2 2 N P = = 3 kN (2) 1 1 1 N A  = 1 2 1 N 4  d = 3 2 5 10 4  12   =  = 44.2 MPa 2 2 2 N A  = 2 2 2 N 4  d = 3 2 3 10 4  8   =  =59.7 MPa  max  = 59.7 MPa 2. 钢杆受力 P=400 kN，已知拉杆材料的许 用应力 [s ]= 100 MPa，横截面为矩形，如 b=2a,试确定 a、b 的尺寸。 解：根据强度条件，应有 P A  = P a b =    将 b a = 2 代入上式，解得   a 2 P   3 6 400 10 2 100 10  =   m = 44.72 mm 由 b a = 2 ，得 b 89.44 mm

所以,截面尺寸为b≥8944mm,a≥44.72m。 3图示为钢制阶梯形直杆,材料比例极限S=200MPa,许用应力160Ma,各段截面面积分别为 A=A3=400mm2,A2=200mm2,E=200GN/m2。(1)求直杆的总变形:(2)校核该杆的强度。 解:首先根据已知条件,求各段内力 N3=80+30-50=60kN N2=30-50=-20kA A A B 根据内力求各段应力 80 kN 50 kN 30 kN N360×103 Pa=150 MPa A3400×10 N,-20×103 A1=20010=-100 N,30×10 Pa=75 MPa A1400×10 (1)因为σ1,G2,G3均小于材料比利极限σp,所以用虎克定律求总变形 △L= EE l+σ2L2+al] 200×109 [75×10°×1-1000×2-150×10°×1]m=0125m (2)因为1o A2×10 NA-40×10 dkcA2×1o+=-200Ma<o(这里c应取绝对值,去掉-号) 因为AC段在弹性变形范围内,可用虎克定律求应变

2 所以，截面尺寸为 b 89.44 mm， a  44.72 mm。 3.图示为钢制阶梯形直杆，材料比例极限 200 p s = MPa，许用应力 [s ]= 160 MPa，各段截面面积分别为： 2 1 3 A A mm = = 400 ， 2 2 A mm = 200 ， 2 E GN m = 200 / 。（1）求直杆的总变形；（2）校核该杆的强度。 解：首先根据已知条件，求各段内力 3 N = + − 80 30 50 = 60 kN 2 N = − 30 50 =−20 kN 1 N = 30 kN 根据内力求各段应力 3 3 3 N A  = 3 6 60 10 400 10−  =  Pa =150 MPa 2 2 2 N A  = 3 6 20 10 200 10− −  =  Pa =−100 MPa 1 1 1 N A  = 3 6 30 10 400 10−  =  Pa = 75 MPa （1）因为  1 , 2 , 3 均小于材料比利极限  P ，所以用虎克定律求总变形 3 1 i i i L L E  = =   1 1 2 2 3 3  1 L L L E = + +    6 6 6 9 1 75 10 1 100 10 2 150 10 1 200 10 =   −   −        m = 0.125 mm （2）因为   1   ,  2    ,  3   所以杆件满足强度要求。 4. 图示 AB 杆在 B、C 两点分别受集中力作用，已知杆长 2l=20cm,横截面积 A=2 2 cm ，材料的比例极限 210 p s = MPa，屈服极限 260 p s = MPa ，弹性模量 E=200GPa,受力后 AB 杆的总伸长为 0.9mm，求 AC、 BC 段的应变。 解：首先求各段内力 60 NBC = kN 40 NAC = − kN 根据内力求各段应力 BC BC N A  = 3 4 60 10 2 10−  =  = 300 MPa   P AC AC N A  = 3 4 40 10 2 10− −  =  =−200 MPa  P （这里AC 应取绝对值，去掉 – 号） 因为 AC 段在弹性变形范围内，可用虎克定律求应变

6n0=200×1:001 E200×10° 因为BC段超过弹性范围,应该用定义求应变 △LBC_△L-EcL (eac =DLac/Lac 09×10-3+0.001×10×10 0.01 5.图示为二杆所组成的杆系,AB为钢杆,其截面面积为A=600mm2,钢的许用应力sn=140MPa BC为木杆,截面面积A2=30?10°m2,其许用拉应力,]8MPa,许用压应力上3.5Ma。求最 大许可载荷P 解:B铰链的受力如图所示 1.4m ∑X=0-M+ Narcose=0 ∑Y=0-P+ Nec sine=0 解上式得N No p/sine 根据强度条件,求许用荷载 AB杆 P.ctge 后 A A 得 P≤4}gO=600×10×140×10° 2.2 132kN BC杆受压,用[σ]校核强度 N P2 A2 sine. loci 得P2s[oc4sinb=35×10×30×10×100 2.2 222+14 886kN 所以系统最大许可载荷P=886kN 6.图示结构中,梁AB的变形及重量可忽略不计。杆①、②的 知:12m41m4-m为使梁AB在加载后仍保持水平/ 横截面积均为400mm2,材料的弹性模量均为200GN/m2。已 X 载荷P的作用点C与点A的距离x应为多少? 解:对AB杆进行受力分析 P A C M。=0 N,L+P(L-x=0 ∑ Px+N,…L=0 解上二式得:N1=P-x)N2 L

3 AC AC E   = 6 9 200 10 200 10 −  =  =−0.001 因为 BC 段超过弹性范围，应该用定义求应变 BC BC BC L L  = AC AC BC L L L − = （eAC =DLAC/LAC ） 3 2 2 0.9 10 0.001 10 10 10 10 − − −  +   =  = 0.01 5. 图示为二杆所组成的杆系，AB 为钢杆，其截面面积为 2 1 A mm = 600 ，钢的许用应力 140 p s = MPa； BC 为木杆，截面面积 3 2 2 A mm = ? 30 10 ，其许用拉应力 [ ] 8 t s = MPa，许用压应力 [ ] 3.5 c s = MPa。求最 大许可载荷 P。 解：B 铰链的受力如图所示 X = 0 -NAB + NBCcos = 0 Y = 0 - P + NBC sin = 0 解上式得 N P ctg AB =  NBC = P/sin 根据强度条件，求许用荷载 AB 杆：   1 NAB A     1 1 P ctg A    得 P A tg 1 1     6 6 2.2 600 10 140 10 1.4 − =     =132 kN BC 杆受压，用  C  校核强度 2 NBC A 2 2 sin P  A =  C  得 2 2   sin P A    C 6 3 6 2 2 2.2 3.5 10 30 10 10 2.2 1.4 − =      + =88.6 kN3 所以系统最大许可载荷 P = 88.6 kN 6. 图示结构中，梁 AB 的变形及重量可忽略不计。杆①、②的 横截面积均为 2 400mm ，材料的弹性模量均为 2 200 / GN m 。已 知：L=2m, 1 l =1.5m, 2 l =1m,为使梁 AB 在加载后仍保持水平， 载荷 P 的作用点 C 与点 A 的距离 x 应为多少？ 解：对 AB 杆进行受力分析 0 MB = 1 − + − = N L P L x ( ) 0 0 MA = 2 − + = Px N L 0 解上二式得： 1 P L x ( ) N L − = 2 Px N L =

欲使加载后AB保持水平,应有△l1=△2 NI N2 I EA P(L-x).A P(2-x)1.5 Pxl L 2 解得:x=1.2m 7.试校核图示联接销钉的剪切强度。已知P=100kN,销钉直径d=30mm,材料的许用剪应力 }60MPa。若强度不够,应改用多大直径的销钉? 解:(1)剪切面上的剪力 P 校核销钉剪切强度 100×103×4 A2rd22×丌×302×10 707MPa>[ 所以销钉强度不合格 O P4 (2)根据强度条件r== a 2d 所以4≥/4P 4×100×10 =32.57mm V2×z×60×10° 木榫接头如图所示,a=b=12cm,h=35cm,h=45cm p=40kN。试求接头的剪应力和挤压应力 解:作用在接头上的剪力Q=P,剪切面积为b P40×103 接头的剪切应力为r Pa=0.952 MPa bh12×35×10-4 作用在接头上的挤压力和挤压面积分别为P和bc, 接头的挤压应力为aP_40×10° bc12×4.5X10Pa=74MPa 9.由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面积均为500mm2,E=200GPa。设沿对角线AC方向作用 对20kN的力,试求A、C两点的距离改变。 解:A铰链受力如图所示, 由平衡条件

4 欲使加载后 AB 保持水平，应有 1 2 l l = 1 1 1 N l l EA = 2 = l N l2 2 EA = 得： 1 P L x l ( ) L − (2 ) 1.5 2 P x − = 1 2 P x = 解得： x =1.2 m 7. 试校核图示联接销钉的剪切强度。已知 P=100 kN，销钉直径 d=30mm，材料的许用剪应力 [t ]= 60 MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？ 解：（1）剪切面上的剪力。 2 P Q = 校核销钉剪切强度 Q A  = 2 4 2 P  d = 3 2 6 100 10 4 2 30 10  −   =    = 70.7 MPa    所以销钉强度不合格。 （2）根据强度条件 Q A  = 2 4 2 P  d =    所以   4 2 P d    3 6 4 100 10 2 60 10    =    = 32.57 mm 8． 木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，h=4.5cm。 p=40kN。试求接头的剪应力和挤压应力。 解：作用在接头上的剪力 Q P = ，剪切面积为 bh 接头的剪切应力为 P bh  = 3 4 40 10 12 35 10 Pa −  =   = 0.952 MPa 作用在接头上的挤压力和挤压面积分别为 P 和 bc ， 接头的挤压应力为 j P bc  = 3 4 40 10 12 4.5 10 − −  =   Pa= = 7.41 MPa 9. 由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面积均为 500 2 mm ，E=200 GPa。设沿对角线 AC 方向作用 一对 20 kN 的力，试求 A、C 两点的距离改变。 解：A 铰链受力如图所示， 由平衡条件

0 N,-Pcos 45=0 ∑Y=0Psin45-N2=0 解上式得N, P, N P=10V2kN由于 B 结构对称,故有N2=N4=10V2kN No N=N2P=10v2 kN B铰链受力如图,由平衡条件 ∑ X=0Ncos45°-M1=0 解得N5=P=20kN 4 DL=N.a/EA=10×103.a/200×10× 500=√2×107.a ∠L5=20×10×√2.a/200×10×500 =2√2.×10-.a ∠LAc=2√(a+∠L)2-(√2.a/2-4L5/2)2-√2a=6.83×10.a 2√(a+√2×10a)2(√2a/2-√2×10a)2-√2.a =(2√1+2√2×10-+2×1081/2+2×10-4-2×103-√2)a (2√0.5+2×(√2+1)×104-√2)a =(2√0.5+0.0004828-√2)a =(2×0.70744809-1.414213562).a (1.41489618-1.414213562).a 0.0006826. 6.83×10a 杆系的总变形能为U=4xN+N√a 2EA 2EA P2a(2+ 2EA 应用卡氏定理,A、C两点的距离改变为 20×103a 200×109×500×10 0683×10-3a

5 X = 0 1 N Pcos 45 0  − = Y = 0 2 P N sin 45 0  − = 解上式得 1 2 2 N P = , 2 2 2 N P = =102kN 由于 结构对称，故有 N N 3 4 = =102kN = N1 2 2 = P =102 kN B 铰链受力如图，由平衡条件 X = 0 5 1 N N cos45 0  − = 解得 N P 5 = =20kN DL1=N1.a/EA=102 × 103 .a/200 × 103 × 500=√2×10-4 .a ⊿L5=20×103×√2.a /200×103×500 =2√2.×10-4 .a ⊿LAC=2√(a +⊿L1) 2 -(√2.a/2-⊿L5/2)2 - √2 a = 6.83×10-4 .a =2(a+√2×10-4 a)2 -(√2a/2 - √2×10-4 a)2 -√2.a = (2√1+2√2×10-4 +2×10-8 -1/2 +2×10-4 -2×10-8 - √2 )a = (2√0.5+2×(√2+1)×10-4 -√2)a =(2√0.5+0.0004828 - √2)a =(2×0.70744809 – 1.414213562).a =(1.41489618 -1.414213562 ）.a =0.0006826.a = 6.83×10-4 a 杆系的总变形能为 U 2 2 1 5 2 4 2 2 N a N a EA EA =  + 2 (2 2) 2 P a EA + = 应用卡氏定理，A、C 两点的距离改变为 A U P   =  (2 2) Pa EA = + 3 9 6 20 10 (2 2) 200 10 500 10 a −  = +    3 0.683 10 a − = 

10.厚度为1mm的两块钢板,用四个直径为12mm的铆钉搭接,若在上、下各作用拉力P=20kN,如图 示,试求:(1)铆钉的剪应力:(2)钢板的挤压应力:(3) 绘出上板的轴力图 解:(1)铆钉的剪应力 由题分析可得,每个铆钉剪切面上的剪力为 4 所以z=g=P4= 20×10=4423MPa 4nd2r×122×10 15kN (2)钢板的挤压应力 P =4167MP 4×10×12×10 (3)上板的轴力图 11.求图示结构中杆1、2的轴力。已知EA、P、h,且两杆的EA相同。 解:物块A受力如图 ∑X=0 P-N1-N2心cos30°=0① 30 由图可知系统变形协调关系为 △L L2=∠L1 N2·L_NL cOs 30 EA P 将L2 L1=√3h代入上式 A△L21N 得:N2=N1 将②式代入①式,解得N1=0.606PN2=0.455P

6 10. 厚度为 10mm 的两块钢板，用四个直径为 12mm 的铆钉搭接，若在上、下各作用拉力 P=20kN ，如图 示，试求：（1）铆钉的剪应力；（2）钢板的挤压应力；（3） 绘出上板的轴力图。 解：（1）铆钉的剪应力 由题分析可得，每个铆钉剪切面上的剪力为 4 P 所以 = Q A  2 4 4 P  d = 3 2 6 20 10  12 10−  =   = 44.23 MPa （2）钢板的挤压应力 j j j P A  = 4 P td = 3 6 20 10 4 10 12 10−  =  = 41.67 MPa （3）上板的轴力图 11．求图示结构中杆 1、2 的轴力。已知 EA、P、h，且两杆的 EA 相同。 解：物块 A 受力如图 X = 0 1 2 P N N − −  = cos30 0 ① 由图可知系统变形协调关系为 ⊿L2 = ⊿L1 cos 30° 即 2 2 1 1 cos30 N L N L EA EA =  将 2 L h = 2 ， 1 L h = 3 代入上式 得： 2 1 3 4 N N = ② 将②式代入①式，解得 1 N = 0.606 P 2 N = 0.455 P