工程力学习题答案 第九章梁的弯曲 判断题 1.梁发生平面弯曲时,梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。(对) 2.最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。(错) 3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关:其弯矩值等于截面一侧外 力对截面形心力矩的代数和。(对) 4.两梁的跨度、承受载荷及支承相同,但材料和横截面面积不同,因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定 相同。(错) 5.纯弯曲时,梁变形后横截面保持为平面,且其形状、大小均保持不变。(错,P201图9-15) 6.平面弯曲时,中性轴垂至于载荷作用面。(对) 7.若梁上某一横截面上弯矩为零,则该截面的转角和挠度必也为零。(错) 8.若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零,则该段梁的挠曲线必定是一直线段。(对) 9.两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同,而材料不同,则两梁的挠曲线方程相同。(错E不同) 10.不论载荷怎样变化,简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。(错) 习题九 1.设P、q、M0、l、a均为已知,如图所示试列 出各题的剪力方程和弯矩方程式,绘出Q、M图并出4 Q值和M值。 (a)解:AB段 Q(x)=-P(0≤x≤L) (0≤x≤L) BC段:Q(x) (L≤x≤2L M(x)=2PL-Px(L≤x≤2L) PL gm=P Mm=PL q (b)解:AB段Q(x)=-qx ATTTT BTTTTTT (0≤x≤ x1「x M(x)= 0 (0≤x≤ 1/2 ql 92/3/8ql BC段Q(x)=-qx+=qL 0 1/ 8 gl
1 工程力学习题答案 第九章 梁的弯曲 判断题： 1. 梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。（对） 2. 最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。（错） 3 梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外 力对截面形心力矩的代数和。（对） 4. 两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定 相同。（错） 5. 纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（错，P201 图 9-15） 6. 平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。（对） 7. 若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。（错） 8. 若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。（对） 9. 两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。（错 E 不同） 10. 不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。（错） 习题九 1．设 P、q、M0 、l、a 均为已知，如图所示试列 出各题的剪力方程和弯矩方程式，绘出 Q、M 图并出 max Q 值和 M max 值。 （a）解：AB 段： Q x P ( ) = − (0 ) x L M x Px ( ) = − (0 ) x L BC 段： Q x P ( ) = − ( 2 ) L x L M x PL Px ( ) 2 = − ( 2 ) L x L max Q P = M PL max = （b）解：AB 段 Q x qx ( ) = − (0 ) 2 L x 1 2 ( ) 2 M x qx = − (0 ) 2 L x BC 段 9 ( ) 8 Q x qx qL = − + 3 ( ) 2 2 L L x
M(x=--q 8 2.绘出图示各梁的剪力图和弯矩图,求出Q和Ml q=2 kn/E P=2 EN 并用微分关系对图形进行校核 (a)解:根据平衡方程求支反力 RA RB 16/3k 做剪力图 ll 弯矩图 20/3M 649出 a ck 2a (b)解:根据平衡条件球求支反力 Q;239b Ra d=y x 2/3Pa 做剪力图、弯矩图 max= 2p 山T 1/3Pa may
2 1 9 9 2 2 ( ) 2 8 16 M x qx qLx qL = − + − 3 ( ) 2 2 L L x max 5 8 qL Q = 2 max 1 8 M qL = 2．绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出 max Q 和 M max ， 并用微分关系对图形进行校核。 （a）解：根据平衡方程求支反力 16 3 RA = kN， 26 3 RB = kN 做剪力图， 弯矩图 max 20 3 Q = kN， max 64 9 M = kN.m （b）解：根据平衡条件球求支反力 2 3 A p R = 3 B p R = 做剪力图、弯矩图 2 max 3 p Q = M pa max =
3. (a) 2MB=0, -RA. 4a-ga'+q 2aa=0, R=qa/4 b )2MB=0, ga X5a/2-RA2a+qa.+qa.a/2=0 RB=iqa/4 RA=2qa, RB=ga Oa=ga4, OB=Oc-q 2a=ga4-2qa=-7qa/4 q 田 中 q 29 4 Fs 79a a qa2 qa M Mt sqa 2 329a2 4 x 2 aM4=0,MD=0+q/4×a=q4bM=0.MB=M+0.50-qa).a=-qa/2 ME=MD +ga=sqa /4 Mc=MB+qa.a=-ga 22+ga2qa 2/2 M=ME+qa/4×a=3qa2/2 M=M+0.5.10-qa).a=qan2/2-qa2/2=0 顶点M=M+0.51q/4+0)×(2aX18=49q2/32 4.已知图示各梁的载荷P、q,M和尺寸。(1)作剪力图和弯矩图:(2)确定值和Ml值。 解(a) 解:(1)在AC、B段内分别取距A点为x1、z2的截面,列剪力、矩方程 Q{u)=-qx1(0<x1<a) Q2}=-qa(a≤x≤2a) x1 (0<x<a (a) }=-qa (a≤x2≤2a)0N (2)根据剪力、弯矩方程画剪力图、弯矩图如图(b) (3)Q Mca 〔b) qa (b)Ra=4Pa/3 RB=5Pa/3
3 qa - x Q x Q + - 4qa/3 qa/3 5qa/3 3．（a）∑MB =0, - RA .4a -qa2+q.2a.a=0 , RA=qa/4 (b) MB =0，qa×5a/2 –RA.2a+qa.a+qa.a/2=0 RB=7qa/4 RA =2qa, RB= qa QA =qa/4 , QB=QC – q.2a=qa/4- 2qa=-7qa/4 (a)MA=0 , MD =0 +qa/4×a=qa2 /4 (b) MA=0, MB=MA +0.5(0- qa ).a= -qa2 /2, ME=MD +qa2=5qa2 /4 MC =MB +qa.a= - qa 2 /2 + qa2= qa 2 /2 MC=ME +qa/4×a=3qa2 /2 MD=MC +0.5.(0 – qa ) .a=qa2 /2 – qa2 /2=0 顶点 MF=MC +0.5(qa/4 +0)×(2a×1/8)=49qa2 /32 4. 已知图示各梁的载荷 P、q，M 和尺寸。（1）作剪力图和弯矩图；（2）确定 max Q 值和| M max 值。 解 （a） （a） (b) RA =4Pa/3 RB =5Pa/3
(d)2M8=0,RA.a +ga/2 X3a/4=0, RA=3qa8, RB=ga/8, @a=3ga/8 Qc=3qa8-ga2=qa8,MA=0,Ms=0+0.5.(3q8+0).3a/8=9qa/128 Mc=MF-05 qa/8.a/8=ga/16 MB=Mc-gal8 Xal=0 nyla M 9q28 3m/ (e)gmax=p Mmax=P Q 7 +) 5p2 +
4 x Q + 3m/2a (d) MB=0 ,-RA. a +qa/2×3a/4=0 , RA =3qa/8， RB = qa/8， QA =3qa/8， QC =3qa/8-q.a/2=- qa/8 ，MA = 0 ，MF =0+0.5.（3qa/8+0）.3a/8=9qa2 /128 MC =MF – 0.5.q.a/8.a/8 =qa2 /16 MB =MC –qa/8×a/2 =0 () e 7 max 2 Q p = 5 max 2 M p = a x 2 qa /2 3qa /22 M - x M - - 3m/2a + m/2 m 3m/2 x Q + - 3qa/8 qa/8 x M + 9qa /128 2 Q + x - - p 7p/2 5p/2 x - + 5pa/2 pa M x M 4pa/3 5pa/3 +
(f)lg max=30kn M max=15kn?7m (g)LOmax=ga M max=ga2/2 10kN 15kN-m 5kNm 1SkN- m (h) g max= ga 1max=ga OA=RA=qaL, OB=qa/2, 0c=0A-ga=-ga2: MA=O, MC=MA+0. 5(ga2-ga2)=0 M=M4+0.5X(q2+0)Xa2=qa2/8; M 5.设梁的剪力图如图所示,试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶 q=lkN/m 4kN 3kN 3kN kN
5 x M - 15kN m. 15kN m. 5kN m. 3kN 1kN 3kN 1kN A B C D 2m 2m 4m Q x (f) Q kn max 30 = M kn m max 15 = ? （g）Q max = qa M max = qa2 /2 (g) Q qa max = 1 2 max 2 M qa = (h) max 2 qa Q = 1 2 max 8 M qa = QA=RA=qa/2, QB =qa/2, QC=QA – q.a = - qa/2; MA=0, MC =MA +0.5(qa/2-qa/2)=0 MF=MA+0.5×(qa/2 + 0)×a/2 = qa2 /8; 5. 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。 (a) Q x - - + + 30kN 10kN 30kN 10kN - qa x Q - qa /22 2 qa /2 2 qa /2 + - x M qa/2 qa/2 qa/2 - + + Q x qa /82 2 qa /8 + - M x 3kN 3kN 2kN 4kN q=1kN/m
4kN-m 4.5kN.m MA=0.MB=0+3X2=6,Mc=6-1X2=4,MF=4+0.5×(+0)=4.5,MD=4.5+0.5×0-3)X3=0 LOkN OkN 10kN 10kN LOkN 2.5kN-m 2.5kN-m MB=0+0.5×(-10+0)=-2.5Mc=0+0.5×(10+0)=2.5 6.矩形截面悬臂梁如图所示,已知m,b2 h=3,q=10kN/m,1o]=10MPa试确定此梁横截面尺寸。 解:梁的最大弯矩发生在固定端截面上, Mmax/=G创04)=80km 梁的强度条件。=m=8010°p
6 6kN m 4kN m 4.5kN m . . . x M + A B E C D 10kN 10kN 10kN 1m 1m Q x MA=0, MB=0 +3×2=6,MC =6 - 1×2=4, MF=4+0.5×(1+0)=4.5, MD=4.5+0.5×(0 -3)×3=0 (b) MB=0+0.5×(-10+0)= - 2.5 MC=0+0.5×(10+0)=2.5 6. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知 l=4m, 2 3 b h = ,q =10kN/m, =10 MPa,试确定此梁横截面尺寸。 解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上， 1 1 2 2 max ( 10 4 ) 80 2 2 M ql knm = = 创 = 梁的强度条件 [ ] 3 2 80 10 1 6 m w bh s s ´ = = ? 10kN 20kN/m 10kN 20kN/m M 2.5kN m. 2.5kN m. + x -
协一￡(3创80?103 将b=h代入上式得创ko10 2创010° 所以h=416mm,b=二h=277mm 7.简支梁承受布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面,且D1=0mm,d23 试分别计算它们的最大正压力。并问空心圆截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几? 解:因空心 圆与实心圆面积 g=2k杨 相等,所以 2 m d2 z(D2-a2) D2=D2-42=D2-(32)2=(my 将D=40m代入上式,得 D2=50m,d2=30 均布荷载作用下的简支梁,最大弯矩产生在梁跨度中间截面上 M=92×103×22 IkN 8 实心圆截面梁的最大应力 32M 32×102=159 丌D3(004) 空心圆截面最大应力 32×103 max 93.6MPa D )4x(005)|1- 空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了 159-93.6 =41.1% 159 8.T字形截面梁的截面尺寸如图所示,若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩M=30kNm试求:(1) 截面上的最大拉应力和压应力:(2)证明截面上拉应力和等于压应力之和,而其组成的合力矩等于截面的 弯矩。 解:(1)计算T字形截面对形心轴的惯性矩
7 将 2 3 b h = 代入上式得 [ ] 6 2 6 80 10 2 3 h h s 创 £ × ， 3 3 3 6 3 6 80 10 ( ) 2 10 10 h m 创 ? ³ 创 所以 h= 416mm， 2 277mm 3 b h = = 7．简支梁承受布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且 D1 =40mm, 2 2 3 5 d D = , 试分别计算它们的最大正压力。并问空心圆截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？ 解：因空心 圆与实心圆面积 相等，所以 2 1 4 D 2 2 2 2 ( ) 4 D d = − 2 D1 2 2 = − D d 2 2 2 2 2 2 3 ( ) 5 = − D D 2 2 4 ( ) 5 = D 将 1 D = 40 mm 代入上式，得： 2 D = 50 mm， 2 d = 30 mm 均布荷载作用下的简支梁，最大弯矩产生在梁跨度中间截面上 2 max 8 ql M = 3 2 2 10 2 8 = = 1 kN.m 实心圆截面梁的最大应力 max max 1 M w = max 3 1 32M D = 3 3 32 10 (0.04) = =159 MPa 空心圆截面最大应力 max max 2 M w = max 3 2 2 4 2 1 ( ) 32 M D d D = − 3 3 4 32 10 3 (0.05) 1 ( ) 5 = − = 93.6 MPa 空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了 max max max − 159 93.6 159 − = = 41.1% 8．T 字形截面梁的截面尺寸如图所示，若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩 M=30kNm,试求：（1） 截面上的最大拉应力和压应力；（2）证明截面上拉应力和等于压应力之和，而其组成的合力矩等于截面的 弯矩。 解：（1）计算 T 字形截面对形心轴的惯性矩
l=50×1503 +50×150×502+ 150×503 12+50×150×502 =53125×104mm4 最大拉应力发生在截面最下边缘 My1_30×103×75×10 42.35MPa 153125×104×10-12 最大压应力发生在截面最上边缘 M…y230×103×125×10- cmax =x2110+11=7059MPa (2)证明:①中性轴上侧压力之和为(拉、压力公式:F=∫/xbdy) F=「m3 M005 M ydy=·3.90625×10 M/Iz[(1/2)×0.1252-0]=MI20.05×0.5×0015625M/I×3.91×104Nm 中性轴下侧拉力之和为 0075M F 2·0.05dhy+ 2·0.154 z 0.025 z 3.90625-10 F=F所以截面上拉力之和等于压力之和。 ②截面上合力矩为 025My 0.05dhy+ 125M2 0075My 0.05dhy+ 005101062500 00510-1062500 5312.510·10 所以合力矩等于截面上的弯矩 9.T形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示,材料的许用拉应力a]=40MPa,许用压应力 [o]=80MPa,试求梁的许可载荷[p] 解:梁的弯矩图如图, 弯矩的两个极值分别为 11=0.8P,M=2P￥1.4-PX2=0.8P 12=06P,M=-0.6P 截面对形心轴的惯性矩为
8 Z I 3 3 50 150 150 50 2 2 50 150 50 50 150 50 12 12 = + + + 4 = 5312.5 10 4 mm 最大拉应力发生在截面最下边缘 1 t max z M y I = 3 3 4 12 30 10 75 10 5312.5 10 10 − − = = 42.35 MPa 最大压应力发生在截面最上边缘 2 cmax z M y I = 3 3 4 12 30 10 125 10 5312.5 10 10 − − = = 70.59 MPa （2）证明：①中性轴上侧压力之和为（拉、压力公式：Fc= ∫ y 1 0My/Iz ×b1 dy） 0.125 0 0.05 C Z M y F dy I = 0.125 0 0.05 Z M ydy I = 4 3.90625 10 Z M I − = =M/IZ [（1/2）×0.1252 - 0 ]= M/IZ 0.05×0.5×0.015625=M/Iz×3.91×10- 4 Nm 中性轴下侧拉力之和为 Ft 0.025 0.075 0 0.025 0.05 0.15 Z Z M y M y dy dy I I = + 0.025 0.075 0 0.025 0.05 0.15 Z M ydy ydy I = + 4 3.90625 10 Z M I − = F F c t = 所以截面上拉力之和等于压力之和。 ②截面上合力矩为 2 2 2 0.125 0.125 0.075 0 0 0.025 0.05 0.05 0.15 z z z My My My dy dy dy I I I + + 9 0.05 10 1062500 z M I − = 9 4 12 0.05 10 1062500 5312.5 10 10 M − − = = M 所以合力矩等于截面上的弯矩。 9. T 形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力 40 t = MPa ，许用压应力 80 c = MPa ，试求梁的许可载荷 p 解：梁的弯矩图如图， 弯矩的两个极值分别为 1 = 0.8P , MA =2P×1.4 - P×2= 0.8P 2 = 0.6P, MC = -0.6 P 截面对形心轴的惯性矩为
(-12+Ah1,b=153.6-100=53.6mm,h1r=200-153.6+25=71.纽m) =/50×20 12150×200×536150×503 12+50×150×714mm 10180 根据弯曲正应力强度条件 由A截面的强度要求确定许可荷载 06p 由抗拉强度要求得(A截面下缘拉应力最大) 1|σ, 40×10°×10180×10-8 P 0.8y10.8 964×10-2=52.8NN(y1=200-153.6+50=96.纽mm 9.64X10-2m) 由抗压强度要求得(A截面上缘压应力最大) P [a]2-1、80×10°×10180×10 N=66N=153.6m=1.5306×107.) 0.8y2 15.36×10 由C截面的强度要求确定许可载荷: 由抗拉强度得:(C截面上缘拉应力最大) P≤ 1、[]-1、40×10°×10180×10 N=44.1 06y2 0.6 5.36×10 显然C截面的压应力大于拉应力,不必进行计算 许用载荷为P≤44.1KN 10.矩形截面的变截面梁AB如图示,梁的宽度为b,高度为2h(CD段)和hAC、DB段许用应 力为[可],为使截面C、E、D上的最大应力均等于],加强部分的长度2a应取多少? 解:由题意可得GDE截面的弯矩值 R= RB=P/2 PL PL 2 Ln2 截面上最大应力值为mx 欲使截面GDE上最大应力相等,则有 PL P
9 (Iz =bh 3 /12 + Ah1 2 , h1 腹 = 153.6–100=53.6mm ,h1 翼 =200-153.6+25 =71.4mm ) 3 3 50 200 150 50 2 2 50 200 53.6 50 150 71.4 12 12 z I = + + + 4 mm =10180 4 cm 根据弯曲正应力强度条件 max max z M y I = , M≤[].Iz/ymax 由 A 截面的强度要求确定许可荷载。 由抗拉强度要求得(A 截面下缘拉应力最大) 1 1 0.8 t z I P y 6 8 2 1 40 10 10180 10 0.8 9.64 10 − − = N = 52.8 KN （y1 = 200-153.6+50=96.4mm =9.64×10 – 2 m ) 由抗压强度要求得(A 截面上缘压应力最大) 2 1 0.8 c z I P y 6 8 2 1 80 10 10180 10 0.8 15.36 10 − − = N = 66 KN (y2 =153.6 mm = 1.536×10 -1 .) 由 C 截面的强度要求确定许可载荷： 由抗拉强度得：(C 截面上缘拉应力最大) 2 1 0.6 t z I P y 6 8 2 1 40 10 10180 10 0.6 15.36 10 − − = N = 44.1 KN 显然 C 截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。 许用载荷为 P 44.1 KN 10．矩形截面的变截面梁 AB 如图示，梁的宽度为 b,高度为 2h（CD 段）和 h(AC、DB 段许用应 力为 ，为使截面 C、E、D 上的最大应力均等于 ，加强部分的长度 2a 应取多少？ 解：由题意可得 C,D,E 截面的弯矩值 RA = RB = P/2 M M C D = ( ) 2 2 P L = − a 2 2 E P L M = 截面上最大应力值为 max Z M W = 欲使截面 C,D,E 上最大应力相等，则有 1 2 C E Z Z M M W W = 即 2 2 ( ) 2 2 2 2 1 (2 ) 6 6 P L P L a b bh h − = M X + _ 0.8p 0.6p
解得2a 11.直径d=7.5cm圆截面钢梁承受载荷如图示钢的弹性摸量E=200Pa,试求梁内最大正应力AB 段变形后的曲率半径和跨度中点C的挠度。 IP=10 kN 04 ().4n 解:梁弯矩图如图所示 R= Ra=P, Mear =10X0. 4= 4 k/n 梁内最大正应力 4×103×32 7.53×10 =96.58MPa AB段为线弯曲,变形后曲率半径 4kN E.200×10×m×74×10=774m(由P203公式9-8) 4×10×64 跨度中点C的挠度。 y=p-√-L2=714-4-075=36m 筒化后的电动机轴受载及尺寸如图所示,E=200GNm2,定子与转子间的间隙δ=0.35mm,试 校核刚度。 解:电动机轴惯性矩 q=1.035kN/m,P=3.5kN nd4x×1304×10-12 z 14×107mm4 C点的挠度 mm 500mm =(p)+y(q)=-PDC_5g1 48EI 384EI (查表9-11⑤、⑦中y) 3.5×103×15×1.035×103×1 200×10°×14×107×10 384 0.0308mm 因为y|=00308<035 所以电动机轴满足刚度要求。 13.用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。E/为已知常数
10 解得 3 2 4 L a = 11．直径 d=7.５cm 圆截面钢梁承受载荷如图示,钢的弹性摸量 E=200GPa,试求梁内最大正应力,AB 段变形后的曲率半径和跨度中点 C 的挠度。 解：梁弯矩图如图所示 RA = RB = P，Mmax = 10×0.4 = 4 kNm 梁内最大正应力 max max z M W = 3 3 6 4 10 32 7.5 10− = = 96.58 MPa AB 段为线弯曲，变形后曲率半径 EI z M = 9 4 8 3 200 10 7.5 10 4 10 64 − = = 77.4 m （由 P203 公式 9-8） 跨度中点 C 的挠度。 2 2 C AC y L = − − 2 2 = − − 77.4 77.4 0.75 = 3.6 mm 12. 筒化后的电动机轴受载及尺寸如图所示，E=200GN/ 2 m ,定子与转子间的间隙 =0.35mm，试 校核刚度。 解：电动机轴惯性矩 4 64 Z d I = 4 12 130 10 64 − = 7 4 = 1.4 10 mm C 点的挠度 ( ) ( ) c c c y y p y q = + 3 4 5 48 384 pl gl EI EI = − − （查表 9-11 ⑤ 、⑦中 ymax ） 3 3 3 4 9 7 12 3.5 10 1 5 1.035 10 1 200 10 1.4 10 10 48 384 n − − = − = −0.0308 mm 因为 0.0308 0.35 c y = 所以电动机轴满足刚度要求。 13．用叠加法求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角。EI 为已知常数。 M _ X 4kN.m