《工程力学》课程教学资源（课后习题答案）第十章 组合变形

工程力学习题答案 第十章组合变形 1.已知单元体应力状态如图示(应力单位为MPa),试求:(1)指定斜截面上的正应力和剪应 力:(2)主应力的大小、主平面位置:(3)在单元体上画出平面位置和主应力方向:(4)最大剪应力 解:(1)a=30斜截面上的应力: 30+5030-50 cos(2×309)-(-20)sin(2×30°) 52. 3MPa 2sin(2×309)-20c0s(2×30°) 18.7MPa (2)主应力和主平面 30+50,30+50、, =62.36MPa 30+5030-50 2)+202 =1764MPa tga 2×(-20) 30-50 (3)图G1=6236MPa a2=17.64MPa (4)t -)2+202=2236Mpa 2.图示起重机的最大起重吊重量为P=40kN,横梁AC由两根18号槽钢组成,材料为《235,许用 应力[]=120Mpa,试校核横梁的强度。 解:(1)外力分析:取AC为研究对象,受力如图,小车位于AC中点(此时梁的弯矩最大),平 衡条件 Np sin30°×3.5-P×1.75=0 N=P=40 ∑F=0 Yc+ 30-P=0 P 20kN 1.75m 1.75m 士 ∑Fx=0

1 20 30 30° 50 工程力学习题答案 第十章 组合变形 1. 已知单元体应力状态如图示（应力单位为  ），试求：（1）指定斜截面上的正应力和剪应 力；（2）主应力的大小、主平面位置；（3）在单元体上画出平面位置和主应力方向；（4）最大剪应力. 解：（1）  30 = 斜截面上的应力： 30 50 30 50 cos(2 30 ) ( 20)sin(2 30 ) 2 2   + − = +   − −   =52.3  30 50 sin(2 30 ) 20cos(2 30 ) 2   − =   −   = 18.7 −  （2）主应力和主平面 2 2 max 30+50 30+50 ( ) 20 2 2  = + + =  62.36  2 2 min 30+50 30-50 ( ) 20 2 2  = − + =  17.64  2 ( 20) tg2 2 30 50   − = − = − − 31.72  = −  （3）图 1   =  62.36 2   =  17.64 （4） 2 2 max 30 50 ( ) 20 2  − = + = 22.36 Mpa 2.图示起重机的最大起重吊重量为 P=40 kN，横梁 AC 由两根 18 号槽钢组成，材料为 Q235，许用 应力[  ]=120Mpa ，试校核横梁的强度。 解：（1）外力分析：取 AC 为研究对象，受力如图，小车位于 AC 中点（此时梁的弯矩最大），平 衡条件 ( ) 0  = M F C : sin30 3.5 1.75 0 N P AB  −  = N P AB = = 40 kN 0  = FY : sin30 0 Y N P C AB  + − = 2 C P Y = = 20 kN 0  = FX : 1.75m 1.75m p Xc Yc NAB 30° 31.72°  1  1  2  2

XA=N,cos30°=3464kN (2)内力分析:见轴力图,弯矩图。AC梁为压,弯组合变形,危险截面位于AC中点 f=20×175(=Yc×3.5/2)N =35 kN. m 34.64kN KN M (3)应力分析 18号槽钢(P388) W,=2×152.2cm A=29.29×2cm σm=a'+o"=3464×103(29292×100)+35×10°1(2×1522×10)=12MPa (+amx=MA+Mn/W,二应力均为拉应力) (4)强度分析: △a121-120 83×10-3=0.83%0,右侧为YeP<0, 故小车P的作用点为弯矩图直线升、降区间的转折点,该截面X 弯矩最大。求小车位于距C端为x截面上的弯矩: 由∑M=0,P×①-x)-YL=0,得Yc(L-x)P/L 由Y对小车作用点之矩MYx=(L-x)P/→x=Px/L+Px,当M=2Px/L+P=0时, 即x=L/2时,弯矩M值最大 3手摇式提升机如图示,已知轴的直径在30m,材料为235钢,[]=80Mpa,试按第三强度 理论求最大起重载荷Q 解:(1)轴的外力 Q向轴简化为弯曲 力偶Mn=200Q=7一扭转 (2)内力一见图 危险截面位中点: M1=200Q(T=2009) Q×600 150Q(Nimm

2 34.64kN (-) X N 1.75m 1.75m p Xc Yc NAB 30° cos30 X N C AB =  = 34.64 kN （2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC 梁为压，弯组合变形，危险截面位于 AC 中点。 max M =  20 1.75 （=YC ×3.5/2） = 35 kN.m （3） 应力分析 18 号槽钢 (P388) 3 2 152.2cm WZ =  2 A =  29.29 2cm    max max = +  3 6 3 =    +    34.64 10 /(29.29 2 100) 35 10 /(2 152.2 10 ) =  121  ( 拉+弯 max = N/A + Mm a x /wz，二应力均为拉应力 ) （4）强度分析：   121 120 120  −  =  3 8.3 10− =  = 0.83%  5% 满足要求（分母应为 [] ） 为什么小车位于 AC 的中点时 AC 杆的弯矩最大： （1）由截面法可知：小车左侧剪力为 YC＞0，右侧为 YC-P＜0， 故小车 P 的作用点为弯矩图直线升、降区间的转折点，该截面 弯矩最大。求小车位于距 C 端为 x 截面上的弯矩： 由∑MA=0，P×(L-x)-YC.L=0,得 YC=(L-x)P/L 由 YC 对小车作用点之矩:M= YC •x=(L-x)P/L•x=-Px2 /L+Px，当 M’=-2Px/L+P=0 时, 即 x=L/2 时,弯矩 M 值最大. 3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径 d=30mm,材料为 Q235 钢，   = 80Mpa ，试按第三强度 理论求最大起重载荷 Q。 解：（1）轴的外力 Q 向轴简化为 Q—弯曲 力偶 200 M n = Q = T —扭转 （2）内力—见图 危险截面位中点： 200 M n = Q （ T = 200Q） max QL 4 M = Q 600 4  = =150Q （Nmm） 200Q Mn X 35KN.M M X

轴发生弯曲与扭转组合变形 (3)强度计算 1- (M应为7) W 2002+1502)×Q 0.1×303 s 0.1×303×80 O≤ 502+200 最大起重载为860N. 4图示的钢制圆轴上有两个齿轮,齿轮C直径为d=300m,其上作用着铅直切向力B=5kN,齿 轮D的直径为dD=150m,其上作用着水平切向力P2=10kN。若[a]=100pa,试用第四强度理论求轴 的直径 解:(1)外力分析 将P,P向AB轴简化,如图 300 P =750 KN. mm (2)内力分析: 在m作用下轴发生扭转,在P、作用下轴发生弯曲变形,所以AB轴丹弯曲组合变形。 P×150 =562.5 ×562.5 =187.5KN.mm M M =1125KN.m =-×1125 =375KN.m 1 125N. m M:M=√56252+375 =676.1KN.mm 1252+187.52 1140.5KN 676.Nm

3 P1 150 300 150 P2 C A D B P1 P2 m m 562.5N.m Mz X X 676.1N.m M 1140.5N.m 轴发生弯曲与扭转组合变形 （3）强度计算： 2 2 max xd3 n Z M M W  + = （Mn 应为 T） 2 2 3 ( 200 150 ) 0.1 30 + Q =     3 2 2 0.1 30 80 150 200 Q    + =860 N  最大起重载为 860N. 4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮 C 直径为 c d =300mm,其上作用着铅直切向力 P1 =5 kN，齿 轮 D 的直径为 D d =150mm,其上作用着水平切向力 P2 =10kN。若[  ]=100Mpa，试用第四强度理论求轴 的直径。 解：（1）外力分析， 将 P1， P2 向 AB 轴简化，如图 1 2 c d m P = • 300 5 2 =  = 750 KN.mm （2）内力分析： 在 m 作用下轴发生扭转，在 P1、 P2 作用下轴发生弯曲变形，所以 AB 轴为弯曲组合变形。 MZ : 1 1 3 150 4 M P C =  = 562.5 KN.mm 2 1 562.5 3 MD =  =187.5 KN.mm M y : 1 2 3 150 4 M P D =  =1125 KN.mm 2 1 1125 3 MC =  = 375 KN.mm M: 2 2 562.5 375 MC = + = 676.1 KN.mm 2 2 1125 187.5 MD = + =1140.5 KN.mm Mn 750N.m X X MY 1125N.m 150Q M X

(3)强度运算: Mo W d≥ (√14052+7502×10)x32 51.8 100 5.已知应力状态如图所示(应力单位为:MPa)。 (1)分别用图解法和解析法求(a)、(b)中指定斜截面上的应力 (2)用图解法求(c)、(d)、(e)、(f上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置, 求最大剪应力 (1)(a)解析法解: 50+3050-30 20s60 45 MP sin 60=8.66 MP 2 解析法求解: 5050 cos90°-20sin90° 5MPa sin90°+20cos90 50 25ME (2)图解法 a1=04=50MPa D20,-50) Lo,=OB=-50MPa Tmax=OD,=50 MPa 主平面位置 (d)解:作应力图 0=OA=55 MPa O OB=-35M T =CD=45MPa (e)解:作应力图 OA=45 MPa OB=-45MPa OD=45MP DI(40,20)

4 30° 50 30 (a) 50 50 20 20 45° (b) 50 50 (c) 45° a 55 35 55 35 x 40 20 40 (e) (3) 强度运算： 2 2 4 D n xd Z M M W  + =    2 2 3 3 ( 1140.5 750 10 ) 32 100 d  +     = 51.8 mm 5．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa）。 （1）分别用图解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的应力； （2）用图解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主应力的大小与方向 ，在单元体上画出主平面的位置， 求最大剪应力。 （1）（a）解析法解： 50 30 50 30 cos60 2 2   + −  = + = 45 MPa 50 30 sin 60 2   −  = =8.66 MPa 解析法求解： 45 50 50 cos90 20sin 90 2 2   = +  −  = 5 MPa 45 50 sin 90 20cos90 2   =  +  = 25 MPa （2）图解法： 1 3 50 50 OA a OB a    = =    = = −  max 1  = = OD 50 MPa 主平面位置 （d）解：作应力图 1  = = OA 55 MPa 3  = = − OB 35 MPa max 1  = = CD 45 MPa 0 2 27  = （e）解：作应力图 1  = = OA 45 MPa 3  = = − OB 45 MPa max  = = OD 45 MPa D2(0,-50) B A(50,0) D1 (0,50) 2a 0  3  3  1  1 40 20 40 (d) B 0 C A D1(-30,20) 2a0 D2(50,-20) B A D D1(40,20) D2(-40,20) 0 2a  

2cn=27 (f)o=OA=5 MPa 3=OB=-85MPaσ1 T=CD,=45 MPa 6.图示一钢质圆杆,直径D=200m,已知A点在与水平线60方向上的正应变E=41×10-,试 求载荷P。已知E=210GN/m2,=028。 解:(1)绕A点取一单元体, 应力状态如图: cos120=-0 6022 00 2co(-60)=0 (2)由广义虎克定律得: 60-H0 B3-=4E 4E 4×210×103×4.1×10- 2.72 =1266MPa (3)载荷P D21266×O6 P=0·A=1266 7.扭矩Mn=25×10N·m作用在直径D60m的钢轴上,若E=210GN/m2,4=0.28,试 求圆轴表面上任一点在与母线成Q=30方向上的正应变。 解:(1)绕A点取一单元体 应力状态如图:

5 l 60° A p a0  3  1 0 2 27  = （f） 1  = = OA 5 MPa 3  = = − OB 85 MPa  max = = CD1 45 MPa 0 2 27  = 6.图示一钢质圆杆，直径 D=200mm,已知 A 点在与水平线 60 方向上的正应变 4 60  4.1 10− =  ，试 求载荷 P。已知 2 E GN m = 210 / ,  = 0.28。 解：（1）绕 A 点取一单元体， 应力状态如图： 60 cos120 2 2    = − 3 4 =  30 cos( 60 ) 2 2    − = − − 1 4 =  （2）由广义虎克定律得： 60 60 30 1 E    − = −     3  4E  = −  2.72 4E =  3 4 4 210 10 4.1 10 2.72  −     = =126.6  （3）载荷 P： P A = 2 126.6 4  D =  2 126.6 200 4    = 5 =  39.78 10  7．扭矩 3 2.5 10 M m n =    作用在直径 D=60mm 的钢轴上，若 2 E GN m = 210 / ,  = 0.28 ，试 求圆轴表面上任一点在与母线成  = 30 方向上的正应变。 解：（1）绕 A 点取一单元体， 应力状态如图： a D Mn A  60°  30  − 30  − 60  60   3  1 80 20 ( f ) a0  1  1  3  3  3 0 2a B A C 40 (0,20) 20 40 80  l

2.5×103×103 =-58.9MPa (2)σ.=-rsin2×30 58.9sin60°=5lMPa Owo=rsin[2×(-60) 51 MPa (3)E=7[050-A0 51-0.28×(-51) =0.311×10-3 210×10 8.薄壁圆筒扭转一拉伸试验的示意图如图所示。若P20kN,m=600N.m,且d50mm,d=2mm, 试求:(1)A点在指定斜截面上的应力:(2)A点的主应力的大小及方向(用单元体表示) 解:(1)绕A点取单元体,应力为: P20×10320×103 =63.66MP A d6x×50×2 Mn 600×10 =70.63MPa 2xy282x×262 (2)00=2+2ox-120)+rsim10 ×63.66+70.63sn(-120) 45.5MPa z0=Sin(-120)-70.63c0s(-120) 8.IMPa (3) 3.66 3.66 )+r )2+70632=109,3MPa G )2+r2= 63666366 omin2v2 9)2+70632=-456MP 2 0, =109 3MPa 0,=456MPa

6 60   3 3 3 2.5 10 10  60   = −  =−58.9  （2） 30   = −  sin 2 30 = 58.9sin 60 = 51  60   sin 2 ( 60 ) − = −  −     =−51  （3）  30 60  30 1 E    = − − 3 51 0.28 ( 51) 210 10 −  − =  3 0.311 10− =  8．薄壁圆筒扭转一拉伸试验的示意图如图所示。若 P=20k N ,m=600N.m,且 d=50mm,  = 2 mm, 试求：（1）A 点在指定斜截面上的应力；（2）A 点的主应力的大小及方向（用单元体表示）。 解：（1）绕 A 点取单元体，应力为： 3 3 20 10 20 10 63.66 50 2 P A d        = = = =    σ1 3 2 2 600 10 70.63 2 2 26 2 Mn       = = =     （2） 60 cos( 120 ) sin( 120 ) 2 2     − = + − + − 1 63.66 70.63sin( 120 ) 4 =  + − = −  45.5  60 sin( 120 ) 70.63cos( 120 ) 2   − = − − − =  8.1  （3） 2 2 max ( ) 2 2     = + + 63.66 63.66 2 2 ( ) 70.63 2 2 = + + =109.3  2 2 min ( ) 2 2     = − + 63.66 63.66 2 2 ( ) 70.63 2 2 = − + =−45.6    1=109.3   3=-45.6 m d p p m 30° A  τ   a0  1  1  3  3 30° 30  60  −

2 g2a0=- 2×(-70.63) 6366=222 2a=6574a=3287

7 0 2 tg2    = − 2 ( 70.63) = 63.66  − − =2.22 0 2 65.74  = 0  = 32.87