据式(2.310)，上式又可写为 a(） Vf,n={ac)A…Ai.(xn}当f-l(）≠② (2.3-12) 1 当f-1(）=0 当n=1时，式(2.312)简化为式(2.3-9)。 §2.4模糊数及其扩展运算 2.4.1凸模糊集 定义2.4.1凸模糊集：设A是论域X上的模糊集，如果对于Vx1,x2∈R,都有 4i(Ax1+(1-)x2）≥min{ua(x1）,4i(x2)} 2.4-1) 则称A是论域X上的凸模糊集。 凸模糊集具有以下两条性质： 1.凸模糊集的截集必是区间：截集均为区间的模糊集必为凸模糊集。 2.A,B是凸模糊集，则A∩B也是凸模糊集。 2.4.2模糊数 定义2.4.2模糊数：模糊数是实轴R上的凸的正规模糊集。 我们以*表示“+，一，×，：”二元四则运算中的任意一种，可以证明，若立，j是两 个模糊数，则i*了仍是一个模糊数。 定义2.4.3扩展运算：1*j的隶属度函数被定义为 4i*j(2）=Vx*y=2{7(x）∧4()} (2.4-2) 定义2.4.2给出的模糊数的四则运算法规实质上是2.3.3节给出的扩展原理。 例题：设模糊数i,具有三角形的隶属度函数，分别对应图2.4-1中的虚线和 点划线所示的形状，表达式为 0 当x≤7 0 当x≤3 号-1 当719 0 当x>10 20
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=简时可。形域图in广f 08 0- 图4岩简时可。形相减 Λ写4规 及三z:,4级大手 我扩=运 的 又)相 简时具规)角形截属以函形域可。形相加或相减所运域可。形0具规)角形 截属函形f因意B我扩据函很示便一=运运算域结：∫在·均中B· 三馘 也应.)=科n5=9B· 及处三城也应.)=7n仍-n和 邦r 由这)也域其标值即据获{ 述结；f $鲂模展关运 9理讲节可。：合域基·知识B现在我扩进一步角讨两：合之间或：合中四划素 之间域可。关系f 客观世界域四种事物之间原在着不同域相互关系∫在形学（用“关系”作.一 种形学可型角例述事物之间域联系B均.B应小关系次序关系y等价关系等∫ 在现代代形学中B关系性用：合角条现域： 诺
−5 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 DZ DZ DZ DZ
截.时，3为又两 设下2.5.1两个集合如“卡儿乘积：设X和Y是两个集合，X和Y如“卡儿乘积设 下二 X×Y=被，)x∈X,y∈Y出 核5-1) 法们称被，)二虚序则，这些虚序则如全体构成了“卡儿乘积集X×Y。需要 指出如是虚序则被，)是虚顺序如，被，)别被，x),素9述般而言X×Y别Y×X。 设下2.5.2区形任所n个集合X1,X2,表Xn,质“卡儿乘积设下二 X1×X2×表Xn=称被1，x2,表xn)x1∈X1,表n∈Xn出 被5-2)】 质中被1，x2,表xn)二虚序n算组。 虚序则被，)是“卡儿乘积集X×Y如算素，它是无约束如组区。若给组区 加上述设如约束，便体现了述种特设如关系；同时，受”约束如虚序则形成 了X×Y如述个子集。 设下2.5.3关系：X×Y中如二算关系R是X×Y如子集，即RCX×Y 若X=Y,则称R是X中如关系。如果被，)∈R,则x和y虚关系R,记 作xR:反之，如果被，)别R,则x和y没虚关系R,记作x。区9，也可线 用特征函数表三二 上被，)∈R R被，)）= 核5-3) 0上被)别R 集合称归y∈Y,使xRy被X)称二关系R如设下性：集合称门x∈X,使xRy出 被Y)称二关系R如值性。 上X和Y任是虚限集合时，关系可线用矩阵来表示。设X=称1，x2,表 x,表m出Y=称1,2，表，表n出则R可线表示二 R=[Tijlmxn Tij=R被，) 被5-4) 设下2.5.4映射：设f二X×Y中如关系，如果区形每述个x∈X,虚的 3y∈Y,使=被，)∈f,被若被，劝)∈f,被，2)∈f,则1=2，法们称f二 从X”Y如映射。 如果被，)∈f,则y是唯述确设如，记二y=f被)，并称y是x世f下如象。区 形每述个y∈Y,如果x∈X使=被，)∈f,则称x是y如识象。并且y如识象集记 作f-1被)。 22
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记号；：X→Y.若X到Y域映射。 义下2.5.4单射、满射、6射：设；：X→Y。如数于每述个：1或2∈ X,:1理：2，虚；为标理；为2标则(；为单射（属（述于述映射）。如数：域值性 如整个Y,则(；为满射。如数：既如单射写如满射，则(；为6射（属（述述于讨 域映射)。 2.5.2模糊关系 又虚序偶为或世仅虚两种状态域硬约从下9形+域关系很如X×Y中域述个普通 是合。又虚序偶为或檢7到域约从如述种虚弹性域软约从设，接7约从域虚序偶 就形+述个模时是合，这个模时是合.现四弹性约从相于讨域模时关系。 义下2.5.5模时关系：X×Y中域二算模时关系樾如X×Y中域模时是合，” 域隶=示区用，为或标若。 若X步Y,则（如X中域模时关系。，为或世任轴区间[便取值，”域 应小反讨了为或根虚关系域如以。 又X四Y有如虚限是合设，模时关系也可线用矩阵来.若。设X步可或2或 域：域m隶Y步可1或2域：或域m隶则很可线.若为 很步[mxni步，为：或标 5例5标 其中，∈[便哪我们（矩阵很为模时矩阵。 事形模时关系也如模时是合，9线模时是合域相等、包含、交、m、4等概 念于模时关系同样具虚所下。 义下2.5.6模时关系域基本属三：设很四很如X×Y中域模时关系，如数 于V为或标X×Y,模时关系域基本属三域隶=示区.若如下 绦袍含：很二很→，，为或标，，为或标 条相等：很步很←→，为或步，为或标 路m:很U很←→，uR,为或步，R,为域标，，为或标 4絞：很n很←→，Rn,为或步，元为或两，，为或标 5条：很→，为或步图例，为或标 其中，“和→获.若和与获等价。 我
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定义2.5.7模糊关系的投影：设是X×Y中的模糊关系，定义在X中的投 影为Rx,R在Y中的投影为y,它们分别具有隶属函数 Rx(r)=VyeYμ(x, (2.5-6) 元(y）=VreX HR(x,y) (2.5-7) 定义2.5.8模糊关系的截关系：设是X×Y中的模糊关系，对任意a∈ [0,1],定义R的a截关系为集合 Ra={(x,）(x,)≥a} (2.5-8) R。也可以用特征函数表示为 1 当4(x,）≥a LRa (y) (2.5-9) 0 当μ(x,y）<a 当R用模糊矩阵来表示时，对应于R。的矩阵为R的α截矩阵，为布尔矩阵。 截矩阵具有以下性质： 1.(RIUR2)a =(R)aU(R2)a (RIR2)a=(Ri)a(R2)a 2.R1CR2←→(R1)aC(R2)a 3.a1<a2←→(R1)a12(R2)a2 2.5.3模，：.二合可 如果已知X×Y中的关系R和Y×Z中的关系S,要想通过R和S求出X×Z中的某 个关系Q,则需要研究关系的合成运算。 定义25.9表通关系的合成：设R≤X×Y,S≤Y×Z,定义关系R与S的 合成关系Q为 Q=RoS={(x,|(自y)(x,)∈R,(y,∈S)}: (2.5-10) x∈X,y∈Y,Vz∈Z 显然，Q是X×Z中的关系。式(2.5-10)表明，若存在y具有xRy以及ySz,经 过y,x和z有关系Q(xQz)。对此用特征函数来表达，有 uRos(x,2)=VyEYtuR(,y)A us(y,2) (2.5-11) 24
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。2截式义等V:应+性凸是X×Y中：式义等V写是Y×Z中：式 义等V写。2式义等V与S:应+Q=RoS具-隶属以数 μos(x,2）=Vyer{μ(x,y)Aus(y,z)},x∈X,Hz∈Z (2.5-12) 可见写Q是X×Z中：式义等V下，R是X中：式义等V时写记 2=o克 (2.5-13) "=n-1。序 (2.5-14) ;3。限时.X={1,x2,·,,…,xm}写Y={,2,…,,…,h}写Z= {,22,…,k,…,}写式义等V:应+=算可1“式义矩阵：应+=算来进行下 。2截式义矩阵：应+性凸R=[mxn写S=[s小nx写。2Q= RoS=[g小mx写 qik =Vi={rij Asjk} (2.5-15) 上Q可式义矩阵R与S:应+下 凸R写S线1及T也写U分任可X×Y写Y×Z写Z×W中：式义等V写9难 证数式义等V:应+=算具。条下性质性 1.结应律性(RoS)oU=Ro(SoU) 2.并=算为：分配律性。(3U广)=(0()U(oT) 3.交=算为：”分配律性RoSnT)C(Ro(S)U(RoT) 4.单调性性 ScT→RoSCRo 5ci→3ocT。i SCT→Sn CTn 2.5.4模糊关系的性质 。2蚧据自反性性凸R是X中：式义等V写图：z∈X写.·4(x,x)=1写 则上R可自反等V下 。2褶间转置性凸是X×Y中：式义等V写记：转置可r写它是Y× X中：等V且具-隶属函以数ux(y,x)=4(x,)下 25
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定.模撕.们对称集：。9是)中的模糊关系为当且仅当对.=2∈)为 有((.=2)求((2=)为则称9是对称关系。 定.模.明传递集：。9是)中的模糊关系为若有9.9C9成立为则称9具 有传递集。 可见为传递集关系包含着它与自己的合成。对于传递集关系可5等价地表示 为 ((.=)≥Vg{((.=2)A((2=z).=2=x∈）} (-花) 定.模5.6传递闭包：模糊关系9的传递闭包(9)定.为 t(9)求9U92UU9mU…求Um=9m (资-着) 由于 t(9)2求t(9)ot(9)求92U93U· (-超) 要较式（粒）和式（妫8）为得（⑨）ot(9)二t(9)。由此可见为任何模糊关系为意 论它是否具有传递集为其传递闭包总是具有传递集的。 若9是有限论域)求{.1=2=·=n}中的模糊关系为可5证明为有 t(9)求U东-19m=k41 (缆一构) 定.模5.助模糊和似关系：。9是)中的模糊关系为若9具有自反集和对称 集为则称9为模糊和似关系。 定.模5.路模糊等价关系：。9是)中的模糊关系为若有9同时具有自反 集、对称集和传递集为则称9为模糊等价关系。 结合式(5)5及定.（妫）、(5移)为我们有5糊定理： 定理模.明。9是)中的模糊和似关系为)求{1=2=·三n}为则9n一1义是 一个模糊等价关系。 若9是模糊等价关系为记它的补D求9c。D是反自反的为即((.=)求 0出.∈)）为对称的为即((.=2)求((2=）女.=2∈)为而且有((.=)≤mx {(ò(.=2)曰(2=2)}女.=2=2∈）。由此为我们可5将((.=2)求若-（(.=2)理解 为距离函数。 还
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