§2.7模糊不确定性度量 2.7.1模糊集的模糊性度量 对于模糊集合而言，其隶属函数的确定方法各种各样，常常带有主观性。对同一 论域上的模糊集，不同的人或者用不同的判断标准，所得出的各元素的隶属度也 不尽相同。而不同的隶属度结构又导致了该模糊集呈现出不同的模糊性。为了建 立能够合理地测度模糊集模糊性的函数，首先必须规定若干条模糊性测度函数的 性质。 如果模糊集A中某一元素x:的隶属度μa(x)=1,则说明x:完全隶属于A, 此时没有丝毫的模糊性。所以，对于μ()=1的情况，模糊性测度应该为0。 类似地，若4()=0，则说明：完全不隶属于A,也没有丝毫的模糊性。对 于4(x)=O的情况，模糊性测度也应该为0。因此，模糊性测度（以d()表示） 的第一条性质应该是： (P1)d()=0,当且仅当4=1或μ=0 4a(x)越靠近1或者0，模糊性就越小；4(x;)越远离1或者0，模糊性就越 大。因此，一个合理的推理就是，最大模糊性应发生在4(x)=0.5处，此 处4(x)离1和0同样远。从而，模糊性测度的第二条性质是： (P2)当且仅当u=0.5,d()获得唯一的最大值。 性质2说明μ≠0.5时的模糊性必小于4=0.5时的模糊性。我们直观地可以看 到，的值离0.5越远，模糊性越小，由此得到性质3： 当μ≥0.5时，若μu*则d(）≥d(u*) 我们知道，A的补集A定义为 4e(x)=1-4i(x)】 如果4(c)0.5, μa()离1和4()离0同样远。根据这一对称性，我们归纳出模糊测度的性质4： 35
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(P4)d(ua)=d(c). 性质4说明，A和A丝不种等（模确性。 ~常不限上（我.，建够满足为述4者基本性质( 数学形式是 d()=F ∑ if:(ua(i)) 2.7-1) i= 式中，F是非负（递增若数；c是正实数，i=1,2,·,V;~常所不(i,方是实若 数且f(0)=f(1)=0,f(0.5)是f质标（最4值，f在[0,0.5单调增，在[0.5,1]单 调似，~u∈[0，]不f()=f(1-)。 下面给出示种d()(示种主要形式。 1.模确上（海明是> 在式(2.7-1)中，取F(Z)=Z;~i,c=1,且 4∈[0,0.5) (2.7-2) 1-4∈[0.5,1] 中们0到 d= kie-%国 (2.7-3) 式中(A)a.5是A(a生上且a=0.5。 2时，()表达xA到它（最则首近值上人A(海明是>。最则首（近值 上A()义主 034a(x) 在式(2.7-1)中，~i,取 u∈[0,0.5) f(p) (2.7-5) (1-)24∈0.5,1 并取G=1,处及F(Z)=Z0.5。中们0到 dw={rae)-4as (2.7-6) 36
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学<~(Ac表达数到它的，面没：通有一的；Z距离( 3.糊于有的而可夫斯远距离 在Z2.7-.c中~对∀i取 19 1∈[0o0)5c fiA c N 27-7c A-1c91∈[050.] 并取cN.~可由FAZe N Z/9(满或得到 A ci 2)7-8c 学<~(c表达数到它的，面没：通有一·的而可夫斯远距离( qN.的<义~而可夫斯远距离退化为在函距离0 qN2的<义~而可夫斯远距离退化为：Z距离0 q→∞的<义°而可夫斯远距离被称为切增雪夫距离( 为数使糊于有一的糊于度越立化到[0，.]正区间中~满或对上N糊于有的距离 度是性义，相对距离的两倍为糊于度即 2)7-9c 4.糊于有的熵 在Z2.7-.c中~对Vi取fNc为香农域x1 fiAl c N -1 1n1 -A -1 clnA -1 c 1 E [00.] 42)7-.0c 并取cN.OFAZe N KZoK2O(满或得到 A c N K -1i4与cln与e-A-1 aticelnA-1ace 2)7-.c 从更深入的研究知道”况“距离”这个概念述式划立个糊于有的糊于度往往主 十分理想~言且还需要增较毫烦的计算（为学·和前研究这个问题的人很多 提出的样性靠∫五花八获（为数归补“距离”度是糊于性的缺点~汪培庄等人提出 数“面没度”的概念( 37
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为度7义“贴近度确还得得7义2积”和外积”两F使，。q塑数 域9=··两F模性出集确記 糊糊Veue是)通4》 糊∧ed)往p》 十别称为椒糊2积和外积。 下离确榉例：理2积和外积.计算x4。g9=间02000.题确糊Q.6n十 0.8/“+1/2+0.8/+0.6+0.4/.确糊0.4/n+0.6/+0.8/2+1/N+0.8/"”+0.6/.确 述椒糊2积和外积十别为 . 糊糊(0.6通.4)0.8通.6)往1通0.8)0.6通0.8)04通.6)=0.8 糊(0.6.通0.8.6)通(10.8)通(0.60.8)通(0.4.6)=0.6 利用2积”和“外积”。使，确僦可以α·两F模性集合.“贴近度”.7义确 g糊提数域0=··两F模街集确能说.贴近度7义为 樾糊糊糊（1-榻糊 2模离。例子确舸以p得贴近度为7褪糊 [0.8+(1-0.6)】=0.6。 。7。模糊事。的：率 事件与事件.使式.成度疲式数中.种基。·使，。在使式数中确糠件是的，空 间中、精~地实述。点。集合。但是确胜K常生活中3到。事件常常是模性确 A≥是有(··7义。例，“今天天47和确4大使等模"确投掷一它硬币确舡 离·现次。比反离·现次。多好几次”等等确都是一些7义≥健0·事件确赵些事 件是模性 。 在经典使式数中确鞭式空间、看出为一F3元有序组(20S0P)确中确2是的 空间确是2=·波来尔域确是2：们S7义.实函。2时主 (1)0提P(:)提10W:们S; (2)P(2)=1; (3)(nGn们S0:i=o(3摸j)0则P(Unin)=∑mP(n) 38
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现设A是2中的一个波入尔域的取测A·事件A取与x∈B对应B是实轴上 区间(a,b)上的点4·则事件A的概率为 P(A) f(r)dr- dp(x） (2.7倍12) 这里f(x)是一维空间中的变区x的概率密度并记dp(x)=f(x)d= 上式取以等效地写为 P(A)= A(x)dp()=E(A) (2.7倍13) 式中44表示A的特征N数且 1 当a<x<b 0其它 扩展到n维空间R的情况我们有 P(A)= A()dp()=E(LA) (2.7倍14) Rn 上式表明事件A的概率等于事件A的特征N数的数学期望E(uA)=我们将由此引 出0：事件的概率的概念 定义2.7.1设(R,S,P)是概率空间-其中S是Rm中的波莱尔域P是”上的 概率测度=中的⑦；事件A是Rm中的一个⑦：A合它的隶属N数μ(x)的波 莱尔取测的= 定义2.7.2⑦：事件A的概率定义为 P(A)=a(z)dp()=E(a) (2.7倍15) P()具有以下深个性质) (P1)若ACB则P(A≤P(B): (P2)P(AUB)=P(A)+P(B)倍P(A∩B)= 由(P2)推广取得 P(U4)∑Pi) 39
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表2匠1慢4气管a病)的统计资料 义龄 15尔以下1525尔2635尔 3645尔46~55尔55尔以( 患病率 28% 37% 509% 769% 110% 142Z9% 设A此B是概率记入/的两个模对事扩：1果P4nB)若PPB):则 是A此Bd互独，A 定B且PB)>0:此→A的条扩概率定掷 填向若 =A此Bd互独，：则PHB)若PA)A 例题其7.1设两个概率分事d互独，i它们分实。及被若e"7)被且 b被)若被enx1被被∈被们[Ooo)4我们并：」被此被是否d个A 。回答此并题：我们定掷模对的A间描述d个μAA若{被∈被被-被≈0： 于.的函数可以认。是 倍被e被)若e"7山 =被若被则倍被e被)若1：=被被则倍被∈被)接况1：二合d个A被此被d 况的概率。 P国若厂厂c。e暖/被微若 例题其7.其性地区患慢4气管a病)的统计资料1表2T1一示A设“9 义”此“老义”两个模对的。： “9义”/1525+06/2635： “老义”/55以(+0B/4655 可算出该地区9义)到老义)患慢μ气管a的概率分实 P且义)oO37+06×005若0067 P比义)0正42+03x0若075 40
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