第二章 模糊理论基础 模糊理论(Fuzzy Theory)是建立在模糊集合基础之上的，是描述和处理人类语言 中所特有的模糊信息的理论。它的主要概念包括模糊集合(Fuz四Sts)、隶属度 函数(Membership Function)、模糊算子(Fuzzy Operator)、模糊运算(Fuzzy Oper- ation)和模糊关系(Fuzzy relation)等。本章将分别介绍这些概念。 S2.1普通集合 我们把被讨论的全体对象或范围叫做论域(Domain),常用U,V,E,·,X,Y,.等 大写字母表示。把论域中的每个对象称为元素(Element),用相应的小写字 母u,v,e,·,℃，，表示。 定义2.1.1给定论域X和某一性质或属性P,X中满足性质P的所有元素所 组成的全体叫做集合(St),简称集。 其实，这里集合不是定义的概念，而是一种用“数学语言”进行的数学刻划。 通常，我们习惯用大写字母A,B,·来表示集合。从X中任意取出一个元素x,对 于给定的集合A,要么有x属于A,记做x∈A,要么有x不属于A,记做x走A,二 者必居其一且仅居其一，这就是普通集合论中最起码的要求。 2.1.1集合的表示方法 如果一个集合所包含的元素为有限个，则称之为有限集，否则就叫做无限集。常 用的集合表示方法有如下三种形式： 1.列举法（枚举法） 对于有限集，可以将所有的元素一一列出，并用大括号括起来表示， 8
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如A={1,a2,…,an} 2.描述法（定义法） 对于无限集，由于元素数目无限，可通过元素的定义来描述集合，如A= {xP(x)},其中P(x)是指“x具有性质P”的缩写。 3.特征函数法 用解析形式描述元素属于集合的程度。设A是论域X上的集合，记 当x∈A LA( (2.1-1) 当x生A 为集合A的特征函数。 式(2.1-1)表明，对于任意给定的x∈X,都有唯一确定的特征函数44(x)∈ {0,1}与之对应。这样的对应关系被称之为映射。这样，我们可以将A表示为 4(x):X→{0,1} (2.1-2) 上式表示44(x)是从X到{0,1的一个映射，它唯一确定了集合A: A={T A(T)=1 2.1-3) 特征函数4(x)表征了元素x对集合A的隶属程度。4A(x)=1表示x∈A,反 之如果4A(x)=0表示x生A。这样，对于定义在论域X={c1,x2,x3,x4,x}上的集 合A={x2,x3,x5},我们又可以把集合A表示成： A=4A(x1)/x1+HA(x2)/x2+uA(c3)/x3+uA(x4)/x4+HA(x5)/x5 =0/x1+1/x2+1/x3+0/x4+1/x5 这里的“+”号并不是求和，而是表示各元素和特征函数对应关系的总括。 2.12特殊膏 定文柱模集：不含论城x中任何元素的集合称为空集，记为第 定义金集：论域的全体称为全集，记为2. 定义单点集：仅有一个元素所构成的集合，如A={. 9
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1nA5上：)A,B模城》(·两个，{A任P糊合有，如 果x合A,就有食B,么为B,含A,记做B2A,或为A,含AB,记做AC B,并为23A膜上2论 -以(|x,象们可得无如下两个关些： 1.的CAC2 2.如果ACB且BCA.么有A=B论 糊中 幂2：2 全体上2任通·上2求，叫做23A:幂2，记 B1B馍 上2 例如，)？A=0,么糊 {的.{a}{fab}论 母样，）·上2A有两某记法：AC)或A合p z被概分§念算 xn1623·并描交描补X算：)A,B合糊 4μB.并描交描补X 算分系！x相 AUB={x|x合A且x合B} 糊 A∩B={x|x合A或x合B} 糊) A={x|x合A} 糊6 ”下 →n个23A142。罩进行并描交X算时，可记如 4U4u章=u4 糊) 4n4n竟=n化，4 糊8 23·并描交描补x算具有如下性每，请注P3们模( 无现.论 1.交换律：AUB=BUA。A∩B=B∩A 2.幂/律： 3.结3律： =A。A门A B)( 4.分配律： 糊c=糊 5.下收律： B)UB=B。胡 B)∩B=B 6.两极律： 2=2。A∩2=A;AU的=A。A∩的=的 7.复原律： 糊 =A 10
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8./补律：明U明=2论明A明=@ 9.对偶律：·明UB)1=明AB论明AB)1=明UB1 复原律也叫作“双重否定律”1对偶律也叫作“德，摩根.D-Morgan)律”由 它可以导如一条对偶原则-，有做中任一且立的定理1若将其中的U与A/ u1明与明μ1C与x/41则该定理仍然且立2 对于多个，有1对偶律可任示为 U1明1=4论·=明1=明 定义21.7，有的请运算：设明B。pX)1则，有B对明的请，定义为 明-B=:x。明驵x/B) 2.1-9) 简称明减B2请，X补，可相/任示为： 明-B=明AB论明=2-明 2.1-10) 定义2.1.8，有的对称请：设论。pX)1则，有明与B的对称请定义为 明BB=·明-B)U·B-明 .2.1-11) 由以上定义知1明一B任示属于明而不属于B的所有元素组且的，有1而明BB任 示或仅属于戰仅属于B的所有元素组且的，有2 此外1上述定义的，有运算原可以用特征域数的逐个元素运算来任示：比如 ,有明B的)3交3补3请3对称请等运算可分别任示为： AuBx)=maxA'x)论Bx) …2.1-12) 4AnBx)=min4x)论Bx)) 2.1-13) μx)=1-4Ax)论4B·x)=1-Bx) .2.1-14) A-Bx)=min A')论·x) 2.1-15) HAeB'x)=max A-B)B-A)) 2.1-16) 11
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上∈(1nA 即上含.，讨论可知，1经典集合论中，论：X中，某含个或素x4么完全属于某 个集合A,即u4(x)=1,4么完全不属于A,即44(x)=0,或素p,分类目3截 .分明，边界。一这个意果上说，普通集合又称为“硬集(Crisp Set)”。 假设教室里3五个学生，分别以s1,32,33,54和s6来表示，其中s1,52,53为男 生，s4,s5为女生。如果我们关Am表示男学生，集合，以A表示女学生，集合， 利关特征函数表示法，可以论Am和A表示为 Am=1/s1+1/s2+1/53+0/s4+0/s Ar=0/s1+0/s2+0/s3+1/s4+1/s5 显.，Am和A,分界是截.分明，。 p是，当我们试图这五个学生中构成表示“高个子学生”和“矮个子学生”， 集合时，会感xb统，集合概念是难以应关，。学生，/高虽.3高n之分，p 是，（于“高个子学生”和“矮个子学生”这样，集合，我们不能指明哪些学生含： 属于“高个子”，哪些学生含：属于“矮个子”。实际上，，们1处理这样，问题 时，也不需4完全P:谁是或者谁不是这些集合，成员，只需4（每个或素P: 含个数，关这个数表示该或素（所言集合，隶属程。。a学生s1(于“高个子学 生”集合，隶属。高于学生s2,我们x说学生s1比学生s2相(C更属于“高个子学 生”这个集合，而学生s2比学生s1相(C更属于“矮个子学生”这个集合。 正是考虑x现实世界中很多事物，分类边界是不分明，，而这种不分明， 划分1，们，识别、判断和原知过程中起着重4，作关，为了关数学，方法来 处理这种问题，扎B(L.A.Zadeh)于1965年提出了模糊集合，概念。他关隶属。 函数(Membership Function)来划分处于中描过渡，事物（差异双方所目3，倾向 性。可以原为隶属函数是普通集合中特征函数，推广。当我们论特征函数，值： 即{0,1}二值扩展x[0,1]区p时，x描述了含个模糊集合。 :果2.21模糊集：论：X上，模糊集合A即隶属函数(x)来表征，其 中4(x)1实轴，闭区p[0,1]上域值，4a(x),值反极了X中，或素x（于A,隶属 程。。 模糊集合完全即隶属函数所刻划。c),值接近于1，表示x隶属于A,程。 很高；4a(x)，值接近于0，表示x隶属于A,程。很n;当4a(x),值：为{0,1}二 12
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值时模扎推：合；集合的，了为数该（法模构便扎推成一个合；集合构论我们可以 认：模特集合是合；集合的一般推论 对于任给法X模都有唯一确定的隶属为数该（法∈[0分]与理对应论类似于 式(2.1-2)模我们可以将构表示： 该（法：X→[0分] (2高-1) 完该（法是从XxO分]的一个映射模它唯一确定了模特集构论 值A注意的是模我们在讨论模特集合概糊时模论域X所包含的元素是分明 的模并不是模特的模而考是X上的模特集合构才是模特的论从隶个意义上说模模 特集合应该称：模特子集合(Fuzzy Subset)论 2.2.1模糊集合的上上·∈ 就论域的类值而之模模特集有下列两刻表示方法论 1.设论域X是有征集或可数集模令X={法法分.·法}模X上的任一模特 集树模集隶属为数该（法分=1孕分.·分模则此时构可以表示成 构=该（法）法+该（法）法+·十该（法）法=丁该（法法 (2高-2) 隶里该（法法不是分数考有符号意义模表示对模特集构的隶属程，是该（法模符 号不再是数学和模而是各元素与集隶属为数对应通、的一个总括论 2.设论域X是无征集模则此时X上的一个模特集舸以表示成 全 构=该（法法 (2高-3) r5X 任 同知集中的不再表示积分模考是无穷逻辑和的意义论 2.2.2,,模糊集合 定义2.22空集每设构X中的模特集合模如果对V法X模均有该=0则称构空 集模记做，论 定义2.2.3全集每设构X中的模特集合模如果对法∈X模均有该=1则 称构：全集模记做Ω论 13
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=义2妆祚子∈：FAB均为X21模.∈的如果对于x∈X的均1u模 ≤模则称B包含A的→称A是B1子∈的记做ACB。 =义2妆将等∈：FAB均为X21模.∈的铷果对于z∈X的均1μ模 =4模则称B与A相等的记做A=B。 =义2妆记支∈：FA为X中1模.∈合的称suppA={z|u模>0}为模 ·∈A支∈。 一个论域21模.∈1隶属函数是千差万别1。下面将给出缸是实数∈21 很1用1又常见1（类隶属函数： 1.偏小型（戒2型) μs模= 棋+a模-c))-1x>c 模2-4) 1 I<C 式中的∈X是任一点的a}b是两个大于零1参数的隶属函数如图2.2-1所示。 2.偏大型（戒下型) 0 模= T<C 模2-5) 棋+a模-c-b-lx≥c 式中的∈X是任一点的}b是两个大于零1参数的隶属函数如图2.2-2所示。显s 戒2型}戒下型是对偶1。 3.中间型（对称型→正态型) hu模=ek-c 模2-6) 式中的c∈X是任一点的是大于零1参数的隶属函数如图22-3所示。这是一类 义→描述近似程21模·∈。 2.2.3模糊集合的运算及性质 既s模.∈是普通∈合1推广的挪么普通∈】一些性质亦可以相应地被扩展到模 ·∈中。现2给出模.∈之间1运算的它们1=义与普通∈1=义相平行的是普 通e运算1推广。由于模.∈中没1点与∈之间绝对隶属-系的因而其运算1 =义只能以隶属函数之间1一系来u=。 14
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30400的南00 20 30400600300 图2.2-1偏小型 图2.2-2偏大型 图2.2-3中间型 定义2.2.7模⑦集合的并、交、补运算：设宁和的运中的模⑦集，记于和以 的并、交集中别为宇U和宇条以的补集为斗则对叫的属属函定素以表示为 与强（义=max{与（义，与（刘} (2.2-7） 与（义=min{与（义，5与（义} (2.2-8) 与上义=1-与（义 (2.2-9) 模0集合的并、交、补运算具有如下基性质，同样对叫也的成对出现的。 1.交换律：宇U以=以U手，于条以=以条子 2.交等律：宇U宇=宇，宇条子=宇 3.结合律：（宇UUC=宇U(以UC),(宇条以条C=宇条（以条G) 4.中配律：宇条（以UC)=(宇条必U(宇条G),手U(以条C)=(宇U条（宇UC) 5.吸导律：（子条以U以=以（于U必条以=以 6.两极律：宇U2=2,宇条2=于于U1=于，宇条1=1 7.知原律：（刊1=于 8.对偶律：（宇U必1=1条，（行条必1=孔U 上述性质的证明素直接利用属属函定的运算来验证。应该强调指出的的，与 普通集合不同，模⑦集合不在满足互补律，即宇U1=2,和宇条孔=1一般不 再成述。这一事实表明模⑦集合不再具有“非此即彼”或“非真即伪”的中明性。也 就的此，这的模o集带来的n质特征。 出了上述的并、交、补运算外，模⑦集合尚有如下运算。在下示各定义中， 均假设于和的运上的模⑦集合。 15
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x µ(x) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x µ(x) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x µ(x) $!$ $!$$ $!$% 99 99 DZ 9 9 9 9 9 DZ 9 DZ # 2 $$ / # $$ " # $$ ) ! 9 9 # 9 9 9 9 # 9 9 $! 9 9 # 9 9 9 # 9 %! 9 9 9 # 9 9 9 9 9 9 # 9 9 9 ,! 9 9 9 # 9 9 9 9 9 9 9 # 9 9 9 9 -! 9 9 9 # 9 9 9 9 # 9 .! 9 (#( 9 ( # 9 * # 9 # /! 9 # "! 9 9 # 9 9 9 9 # 9 9 9 9 # ( 9 9 # 99 -
定义2.2.8模糊集的代数积：称A.B为模糊集合A和B的代数积，A·B的隶 属函数μ：B(口)为 4i(x)=4i(x)·4B(x) (2.2-10) 这里“”表示普通实数乘法。 定义2.2.9模糊集的代数和：称A+B为模糊集合A和B的代数和，A+B的 隶属函数4+B(c)为 i+(r)=min{1,4(x)+4B(x)} (2.2-11) 定义2.2.10模糊集的环和：称A⊕B为模糊集合A和B的环和，A⊕B的隶属 函数4B(c)为 4a⊕B(x)=4i(x)+B(c)-4a(x)·μB(x) (2.2-12) 定义2.2.11模糊集的对称差：称A⊙B为模糊集合A和B的对称差，A⊙B的 隶属函数49B(a)为 ieB(x)=4a(x)-4B(x川 (2.2-13) 上述运算各有不同的特点，我们可以根据实际问题选择使用。 §2.3分2运模的扩集原模 分解定理和扩展原理是模糊集合论中的两个基本定理。分解定理是联系普通集和 模糊集的桥梁，它是把模糊集论中的问题转化为普通集论中问题的重要工具。在 普通集合论中，可以将两个论域之间的点函数扩展为集函数。在模糊集合论中， 由于没有点对集的属于关系，这种扩展就尤为重要。因此，扩展原理在模糊集之 间关系的研究中将有着极其广泛的应用。 质.1性截集 定义2.3.1a截集：设A为X中的模糊集，对任意的a∈[0,1]，集合 (A)a=Aa={z|ae)≥a} (2.3-1) 16
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定函A的α截述，或定a水平截述，而述合 相)a=Aa={x4,在)>a} 亿.3-2) 定函A的α的强截述，或开截述。 截是述合A本身模一及没有确称边界的述合，但模如果约称，凡x对4的隶 属度达到或超过某及α水平者才算模4的成员，那么，截是述合A就变成普关述 合Aag 截述具有以下性质： 1.a∈[0.1]，若ACB,则Aa≤Ba,Ai C Ba 2.若a.6∈[0.1]，且a≤3，则Aa2A3,Aa2A3 3.B)=AgUBa,B)i=AdUBa 4.B)a=Agn Ba,B)a=Ad0 Ba 5.不a=0时，A。=X,Aa=原剩 根据截述的称义，不难对的扩性质作出证明。 称义2.3.2截是述的核：不α=1时，截是述A的α截述A运函A的核： 若A还空，定A函正规截是述，否则定函非正规截是述。 核A摸指完全属于A的成员，随着a值从1下降趋于0，A从A的核扩张函A的 支述。极2.31算扩了核、截述属支述的算合。 u=u(x) suppA 极2.3-1核、截述与支述的算合示意极 17
DZ 9 9 # # $% $ DZ 9 9 9 9DZ 9 ! 7& 8 9 9 $! 7& 8 %! # # ,! # # -! # & # # 9 # 9 DZ 9 9DZ DZ 9 " & 9 DZ 9 $!% 1 a A1 Aa A ~ supp 0 u u ~ (x) A u = $!% /