第十三章排队论 排队过程的组成部分 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 排队系统的经济分析 单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型 单服务台泊松到达、定长服务时恂间的排队模型 多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队 模型 顾客来源有限制排队模型
1 第十三章 排队论 • 排队过程的组成部分 • 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 • 多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 • 排队系统的经济分析 • 单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型 • 单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型 • 多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队 模型 • 顾客来源有限制排队模型
51排队过程的组成部分(1) 基本概念 些排队系统的例子 排队系统顾客 服务台 服务 电话系统电话呼叫 电话总机 接通呼叫或取消呼叫 售票系统购票旅客 售票窗口 收款、售票 设备维修出故障的设备 修理工 排除设备故障 防空系统进入阵地的敌机高射炮瞄准、射击直至敌机被击落或离开 排队的过程可表示为 排队系统 顾客到达 排队 服务机构服务 顾客离去 2
2 §1 排队过程的组成部分(1) 一、基本概念 • 一些排队系统的例子。 排队系统 顾 客 服务台 服 务 电话系统 电话呼叫 电话总机 接通呼叫或取消呼叫 售票系统 购票旅客 售票窗口 收款、售票 设备维修 出故障的设备 修理工 排除设备故障 防空系统 进入阵地的敌机 高射炮 瞄准、射击直至敌机被击落或离开 • 排队的过程可表示为： 排队系统 顾客到达 排队 服务机构服务 顾客离去
51排队过程的组成部分(2) 考虑要点: 1、服务台个数:单服务台、多服务台 2、顾客到达过程:本教材主要考虑顾客泊松到达情况。 满足以下四个条件的输入流称为泊松流(泊松过程) *平稳性:在时间区间[t,t+△t)内到达k个顾客的概率与t无关,只与Δt有关。记为p(△t)。 *无后效性:不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。 *普通性:在足够短的时间内到达多于一个顾客的概率可以忽略 *有限性:任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1 泊松分布λ为单位时间平均到达的顾客数 P(x)=xe-/x!(x=0,1,2,…) 3、服务时间分布:服从负指数分布μ为平均服务率,即单位时间服务的顾客数。 P(服务时间≤t)=1-eut 4、排队规则分类 (1)等待制:顾客到达后,一直等到服务完毕以后才离去; 先到先服务,后到先服务,随机服务,有优先权的服务 (2)损失制:到达的顾客有一部分未接受服务就离去 、平稳状态:业务活动与时间无关
3 §1 排队过程的组成部分(2) • 考虑要点： 1、服务台个数：单服务台、多服务台 2、顾客到达过程：本教材主要考虑顾客泊松到达情况。 满足以下四个条件的输入流称为泊松流（泊松过程） *平稳性：在时间区间[t, t+t)内到达k个顾客的概率与t无关，只与t有关。记为pk (t）。 *无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。 *普通性：在足够短的时间内到达多于一个顾客的概率可以忽略； *有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。 泊松分布 为单位时间平均到达的顾客数 P (x) = x e - / x! (x = 0,1,2,……) 3、服务时间分布： 服从负指数分布 为平均服务率，即单位时间服务的顾客数。 P（服务时间≤ t ) = 1- e - t 4、排队规则分类 (1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去； 先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务。 (2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去； 5、平稳状态： 业务活动与时间无关
§2单服务台泊松到达、负指数服 务时间的排队模型 记号:M/M/1/∞/∞ 条件:单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 关心的项目 1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 P 7、系统中恰好有n个顾客的概率 P
4 §2 单服务台泊松到达、负指数服 务时间的排队模型 • 记号： M / M / 1 / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 • 关心的项目: 1、系统中无顾客的概率 P0 2、系统中平均排队的顾客数 Lq 3、系统中的平均顾客数 Ls 4、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq 5、系统中顾客的平均逗留时间 Ws 6、系统中顾客必须排队等待的概率 Pw 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn
§3多服务台泊松到达、负指数服 务时间的排队模型 记号:M/M/C/∞/∞ 条件:单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 关心的项目 1、系统中无顾客的概率 P 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 Lww 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有n个顾客的概率
5 §3 多服务台泊松到达、负指数服 务时间的排队模型 • 记号： M / M / C / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 • 关心的项目: 1、系统中无顾客的概率 P0 2、系统中平均排队的顾客数 Lq 3、系统中的平均顾客数 Ls 4、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq 5、系统中顾客的平均逗留时间 Ws 6、系统中顾客必须排队等待的概率 Pw 7、系统中恰好有n 个顾客的概率 Pn
54排队系统的经济分析 公式:TC=cLs+csC 其中: 个顾客在排队系统中逗留单位时间付出的费用 L、在排队系统中的平均顾客数 每个服务台单位时间的费用 c服务台个数
6 §4 排队系统的经济分析 • 公式： TC = cw Ls + cs c • 其中: cw 一个顾客在排队系统中逗留单位时间付出的费用 Ls 在排队系统中的平均顾客数 cs 每个服务台单位时间的费用 c 服务台个数
55单服务台泊松到达、任意服务 时间的排队模型 记号:M/G/1/∞/∞ 条件: 单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 μ 个顾客的平均服务时间1/ 服务时间的均方差 关心的项目: 系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有n个顾客的概率
7 §5 单服务台泊松到达、任意服务 时间的排队模型 • 记号： M / G / 1 / ∞ / ∞ • 条件： 单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 一个顾客的平均服务时间 1 / 服务时间的均方差 • 关心的项目: 1、系统中无顾客的概率 P0 2、系统中平均排队的顾客数 Lq 3、系统中的平均顾客数 Ls 4、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq 5、系统中顾客的平均逗留时间 Ws 6、系统中顾客必须排队等待的概率 Pw 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn
§6单服务台泊松到达、定长服务 时间的排队模型 记号:M/D/1/∞/∞ 注:是M/G/1/∞/∞的特殊情况σ=0 关心的项目: 系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 P 7、系统中恰好有n个顾客的概率
8 §6 单服务台泊松到达、定长服务 时间的排队模型 • 记号： M / D / 1 / ∞ / ∞ • 注：是 M / G / 1 / ∞ / ∞ 的特殊情况 = 0 • 关心的项目: 1、系统中无顾客的概率 P0 2、系统中平均排队的顾客数 Lq 3、系统中的平均顾客数 Ls 4、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq 5、系统中顾客的平均逗留时间 Ws 6、系统中顾客必须排队等待的概率 Pw 7、系统中恰好有n 个顾客的概率 Pn
§7多服务台泊松到达、任意的服 务时间、损失制排队模型 记号:M/G/C/C/∞ 注:不存在平均排队的顾客数L和顾客平均的排队等待时间w 关心的项目: 系统中的平均顾客数 系统中恰好有n个顾客的概率
9 §7 多服务台泊松到达、任意的服 务时间、损失制排队模型 • 记号： M / G / C / C / ∞ • 注：不存在平均排队的顾客数 Lq 和顾客平均的排队等待时间 Wq • 关心的项目: 系统中的平均顾客数 Ls 系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn
§8顾客来源有限制的排队模型 记号:M/M/1/∞/m 条件:单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 关心的项目 1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 P 7、系统中恰好有n个顾客的概率 P
10 §8 顾客来源有限制的排队模型 • 记号： M / M / 1 / ∞ / m • 条件：单位时间顾客平均到达数 单位平均服务顾客数 • 关心的项目: 1、系统中无顾客的概率 P0 2、系统中平均排队的顾客数 Lq 3、系统中的平均顾客数 Ls 4、系统中顾客平均的排队等待时间 Wq 5、系统中顾客的平均逗留时间 Ws 6、系统中顾客必须排队等待的概率 Pw 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn