C2不可压缩无料性流体平面势流 C2不可压缩无粘性流体平面势流 C2.1引言 无粘流十欧拉运动方程 概念无旋流 速度势函数 平面不可压缩 流函数 拉普拉斯方程基本解十速度场 平面势流‖解法 复势理论 伯努利积分叶压强场 绕圆柱流动 理论 绕机翼流动 应用 机翼升力、诱导阻力 实际十水波运动 叶栅理论
C2 不可压缩无粘性流体平面势流 C2 不可压缩无粘性流体平面势流 C2.1 引言 伯努利积分 解 法 拉普拉斯方程 基本解 平面势流 概 念 无粘流 应 用 理 论 无旋流 绕圆柱流动 绕机翼流动 水波运动 机翼升力、诱导阻力 复 势 理 论 平面不可压缩 叶栅理论 实 际 欧拉运动方程 速度势函数 流函数 速度场 压强场
2不可压缩无粘性流体平面势流 C22一般概念 1.欧拉运动方程 +(vV)v=pf-Vp (无粘) 兰姆葛罗米柯方程 +(Vxv)xv=pf-Vp (无粘) at 2欧拉积分(无粘、无旋 +g+ 2dp 常数(全流场) 正压、重力、定常) 2 伯努利积分(无粘、无旋 +gz+-=常数(全流场) 不可压、重力、定常) 2 3.斯托克斯定理 (封闭曲线、涡束) r=dv.dr=(2.ndA 4.开尔文定理(无粘d 正压、有势力) 0(沿封闭流体线) dt
C2.2 一般概念 C2 不可压缩无粘性流体平面势流 1. 欧拉运动方程 （无粘） ( ) p t + = − v v v f ( ) 2 2 p t v + = − + v v v f d d ( ) l A = = A v r n 兰姆—葛罗米柯方程 （无粘) 2. 欧拉积分（无粘、无旋 正压、重力 、定常） 伯努利积分（无粘、无旋 不可压、重力、定常） 2 d 2 v p gz + + = 常数 (全流场） 2 2 v gz p + + = 常数 （全流场） 3. 斯托克斯定理 （封闭曲线、涡束） 4. 开尔文定理（无粘 正压、有势力） d 0 dt = （沿封闭流体线）
2不可压缩无粘性流体平面势流 C23速度势与流函数 名称:势函数 流函数 条件:无旋流 平面不可压缩流 引入: 0u0 0 ax a 定义: 0④④ ay Y ψ 1 ax 等值线:=C(等势线)y=C(流线) 性质:等势线与速度垂直流线与等势线正交
C2.3 速度势与流函数 C2 不可压缩无粘性流体平面势流 名称 : 势函数 流函数 条件: 无旋流 平面不可压缩流 引入: 0 z v u x y = − = 0 u v x y = = v + 定义: u ,v= x y = u ,v= y x = − 等值线: Φ=C (等势线) Ψ=C (流线） 性质: 等势线与速度垂直 流线与等势线正交
90°角域流的速度势和流函数 90°角域流的速度分布式为:U=kxv=-y(k为常数) (1)判断该流场是否存在速度势,若存在请确定其形式并画等势线图; 2)判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图; (1)先计算速度旋度 说明流场是无旋的,存在速度势φ(xy,由(C2.3.2)式 ①==k,中=5kx2+f(y) =f(y)=y=-4y.f(y 上式中c为常数。速度势函数为 k(x2-y2)+ 等势线方程为x2-y2=常数,在平面上是分别以第一、三象限角平分线 和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族,如图CE232中的虚线所 刁e
[例C2.3.2] 90°角域流的速度势和流函数 已知: 90°角域流的速度分布式为：u=kx,v=-ky（k为常数）。 求：（1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图； （2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图； 解：（1）先计算速度旋度 上式中C为常数。速度势函数为 0 v u x y − = 说明流场是无旋的，存在速度势φ(x, y)，由（C2.3.2）式 1 2 2 u kx, kx f ( y ) x = = = + 1 2 2 f '( y ) v ky, f ( y ) ky C y = = = − = − + 1 2 2 2 = − + k( x y ) C (a) 等势线方程为x 2-y 2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线 和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图CE2.3.2中的虚线所 示
(2)再计算速度散度 k-k=0 说明该流场是不可压缩平面流动,存在流函数(xy,由(C2.3.11)式 hr, y=kry+g(x) ay=ky+8x)=-1=ky, g(x)=0, g(x)=C 上式中c常数,流函数为 y=lxy+C (b) 流线方程为xy=常数,在平面上是分别以xy轴为渐近线的双曲线族,如 图CE23.2中的实线所示。X轴也是流线,称其为零流线。流线族与等势 线族正交
（2）再计算速度散度 0 u v k k x y = + = − = v 说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数Ψ(x,y)，由（C2.3.11）式 u kx, kxy g( x ) y = = = + ky g'( x ) v ky, g'( x ) , g( x ) C 0 x = + = − = = = 上式中C为常数，流函数为 流线方程为xy=常数，在xy平面上是分别以x,y轴为渐近线的双曲线族，如 图CE2.3.2中的实线所示。x,y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势 线族正交。 = + kxy C (b)
2不可压缩无粘性流体平面势流 C2.4平面势流与基本解 V2y=0 ②) 0 ax ay 无旋流 存在速度势 平面势流 平面流 ay ,1 ax ay 不可压缩 ax a 存在流函数 V①=0 C∑o) 挑选一些基本解v),叠加后若满足边界条件即是所求之解
C2 不可压缩无粘性流体平面势流 平面势流 平面流 无旋流 存在速度势Φ 不可压缩 存在流函数Ψ u v 0 x y + = u ,v x y = = u ,v x y = = v u 0 x y − = C2.4 平面势流与基本解 = ( i ) 2 0 = (i ) 2 0 = 2 0 • 挑选一些基本解φi (ψi )，叠加后若满足边界条件即是所求之解。 = 2 0
2不可压缩无粘性流体平面势流 C2.4.1均流 物理背景全流场以等速(U做平行直线流动 v4 v4 速度分布 u=Uv=0 u=Ucosa, v=Usina 势函数 g=Ux- Urcose p=U(cosa+ sina) 流函数 y==Ursine Y=U( ycosa-xsina
C2.4.1 均流 C2 不可压缩无粘性流体平面势流 物理背景 全流场以等速(U)做平行直线流动 = + U x y ( cos sin ) = − U x (ycos sin ) = = Ux Urcos = = Uy Ursin 速度分布 u U ,v = = 0 u U ,v U = = cos sin 势函数 流函数
2不可压缩无粘性流体平面势流 C24.2点源与点汇 物理背景点源(◎>0):流体从一点均匀地流向各方向; 点汇(Q<0):流体从各方向均匀地流入一点。 当源汇位于原点O,势函数和流函数为 2丌 2丌 速度分布式为 0①O or2丌r 1o④ 06
C2.4.2 点源与点汇 C2 不可压缩无粘性流体平面势流 物理背景 点源（Q > 0）：流体从一点均匀地流向各方向； 点汇（Q < 0）：流体从各方向均匀地流入一点。 2 r Q v r r = = ln 2 Q r = 2 Q = 当源汇位于原点O，势函数和流函数为 1 v 0 r = = 速度分布式为
2不可压缩无粘性流体平面势流 C24.3点涡 物理背景与平面垂直的直涡线(强度为门)诱导的流场。 当点涡位于原点O,势函数和流函数为 2丌 米 i+1 2丌 速度分布式为 0④ Vr O 1a④F r002丌r
C2.4.3 点涡 C2 不可压缩无粘性流体平面势流 物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为Γ）诱导的流场。 0 r v r = = 2 = ln 2 r = − 1 2 v r r = = 当点涡位于原点O，势函数和流函数为 速度分布式为
2不可压缩无粘性流体平面势流 C24.4偶极子 物理背景点源点汇无限接近(→0)形成的流场 P(r,0 (偶极矩M=Qδ=常数,源→汇) 当偶极子位于原点 M cose M cose M 2r2 27 r 2T x+y M sine M sine M 2丌 2丌r 2丌x2+y 等势线Φ=C 20 4 流线y=C x+y 2C)4C2
C2.4.4 偶极子 C2 不可压缩无粘性流体平面势流 当偶极子位于原点 2 cos 2 r M v r = − 2 sin 2 M v r = − 2 2 cos 2 2 M M x r x y = = + 2 2 sin 2 2 M M y r x y = − = − + 等势线Φ=C 2 2 2 1 1 2 4 x y C C − + = 2 2 2 1 1 2 4 x y C C + − = 流线 Ψ=C 物理背景 点源点汇无限接近(δ→0)形成的流场。 （偶极矩M = Qδ= 常数，源→汇）
