B5量纲分析与相似原理 B51量纲与物理方程的量纲齐次性 1.物理量的量纲 工程单位制 大小单位制 国际单位制 物理量 英 制 基本量纲 类别 量纲 导出量纲量纲幂次式 S制中的基本量纲: dim m=M dim/=l dim t=T 导出量纲:用基本量纲的幂次表示
B5 量纲分析与相似原理 SI制中的基本量纲： B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 1. 物理量的量纲 导出量纲：用基本量纲的幂次表示。 dim m = M , dim l = L , dim t = T 物理量 大小 类别 导出量纲 工程单位制 国际单位制 英 制 单位制 量纲 基本量纲 量纲幂次式
B5量纲分析与相似原理 常用量 速度,加速度 dim v=lT dim g=LT 体积流量,质量流量 dimO=IT-I dim m=MT-I 密度,重度 dim p=ML dim y=MLT 力,力矩 dim F MlT-2 dim L=MT-2 压强,压力,弹性模量dmp=dm=dmK=M72 粘度系数 dimu=MT-1 dim v=LT-I 其他量 角速度,角加速度 dim o=T-l dim o=T 应变率 dim Er=dim y=T
B5 量纲分析与相似原理 应变率 角速度，角加速度 其他量 1 dim dim − xx = = T 2 dim − = T 1 dim − = T 粘度系数 压强，压力，弹性模量 力，力矩 密度，重度 体积流量，质量流量 速度，加速度 常用量 3 1 dim − Q = L T 3 dim − = ML 2 dim − F = MLT 1 2 dim dim dim − − p = = K = ML T 1 1 dim − − = ML T 1 dim − m = MT2 2 dim − − = ML T 2 2 dim − L = ML T 2 1 dim − v = L T 1 dim − v = LT 2 dim − g = LT
B5量纲分析与相似原理 惯性短,惯性积 dimI=dim=L 动量,动量矩 dimI MlT-l dmL=MLT 能量,功,热 dim E= dim w=dim O=MLT 功率 dim P- MLzT-3 表面张力系数 dim o=MT-2 比热 dim c=dimc=T O 导热系数 dimk=MLT=⊙1 (比)熵 dim S= M2T-20- (比)焓,内能 dim i= dim e=L Te 注:⊙为温度量纲
B5 量纲分析与相似原理 注： 为温度量纲 （比）焓，内能 （比）熵 导热系数 比热 表面张力系数 功率 能量，功，热 动量，动量矩 惯性矩，惯性积 4 dim I x = dim I xy = L 1 dim − I = MLT 2 2 dim dim dim − E = W = Q = ML T 2 3 dim − P = ML T 2 2 1 dim dim − − cp = cv = L T 2 1 dim − L = ML T 3 1 dim − − k = MLT 2 dim − = MT2 2 1 dim − − s = ML T 2 1 dim dim − i = e = L T
B5.1量纲与物理方程的量纲齐次性 2.量纲齐次性原理 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时 每个基本量纲的幂次应相等,称为量纲齐次性 2m2+g2+p=常数(沿流线) 2 di =(7)(72)2=L dime= dim M72XM3)(x-2)2=L dim常数=L
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时， 每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。 2. 量纲齐次性原理 v + gz + p = 2 2 1 常数 （沿流线） (LT ) (LT ) L g v 1 2 2 1 = = − − − 2 dim 2 dim z = L (ML T )(ML ) (LT ) L p 1 -1 2 2 = = − − − − − 1 3 dim dim常数= L
B5.1量纲与物理方程的量纲齐次性 3.物理方程的无量纲化 忽略重力的伯努利方程10y2+2∞v+P(沿流线) 无量纲化伯努利方程 p-p 1-(-)2(沿流线) 在无粘性圆柱绕流中 C 柱面上:前后驻点v=0, B 上下侧点V=2V0,Cp=-3 其他点V6=-osin6,Cn=1-4smt0 D 柱面外:流场中C还与无量纲半径/R有关 以上结果对任何大小的来流速度,任何大小的圆柱都适用
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 忽略重力的伯努利方程 3. 物理方程的无量纲化 0 2 0 （沿流线） 2 1 2 1 v p v p 2 + = + 2 0 2 0 0 p ) v v 1 ( ρ v 2 1 p p C = − − 无量纲化伯努利方程 = （沿流线） • 在无粘性圆柱绕流中 前后驻点 v = 0 , Cp = 1 上下侧点 v = 2v0 , Cp = −3 C 1 4sin θ 2 其他点 p = − • 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。 柱面上： sin , vθ = −v0 柱面外： Cp R 流场中 还与无量纲半径 r 有关 · C · D A a B 0, 0 p v
B5量纲分析与相似原理 B52量纲分析与∏定理 量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律,通过对有关的 物理量作量纲幂次分析,将它们组合成无量纲形式的组合量,用 无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系,揭示物 理量之间在量纲上的内在联系,降低变量数目,用于指导理论分 析和实验研究。 量纲分析概念 一个方程中多项量纲必须齐次; 个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系,可以 按量纲齐次性原理作分析 类比:角色分析
B5 量纲分析与相似原理 B5.2 量纲分析与П定理 量纲分析概念 一个方程中多项量纲必须齐次； 一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以 按量纲齐次性原理作分析。 类比：角色分析 量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的 物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用 无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物 理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分 析和实验研究
B5量纲分析与相似原理 B521∏定理 提议用量纲分析的是瑞利( L Reyleigh,1877),奠定理论基础的 是布金汉( E. Buckingham,1914) 个物理量 充要条件 组成nF个 个独立 独立数 基本量 Ⅱ定理 选∧个独立 基本量 方法 量纲分析方法等 -个导出 (x2,x ∏1=f( n-n
x1 =φ(x 2，x 3 , ……, x n ) П1 = f (П2 , П3 , ……, Пn-r ) 提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的 是布金汉（E.Buckingham,1914): B5.2.1 П定理 B5 量纲分析与相似原理 Π定理 方 法 充要条件 n个物理量 r个独立 基本量 n-r个导出量 选r个独立 基本量 组成n-r个 独立Π数 量纲分析方法等
B5量纲分析与门定理 B52.2量纲分析法 1.一般步骤:以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量 Fo=o(p, v, d, u) 姐力密度速度直径粘度系数 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量(或称为 重复量,取3个)。 选p、V、d 第3步、将其余的物理量作为导出量,即F、分别与基本 量的幂次式组成∏表达式(参见例B522)
B5 量纲分析与П定理 B5.2.2 量纲分析法 1. 一般步骤：以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量。 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取3个）。 第3步、将其余的物理量作为导出量，即 、μ分别与基本 量的幂次式组成П表达式(参见例B5.2.2)。 F ( , V , d , ) D = 阻力 密度 速度 直径 粘度系数 选ρ 、V 、d FD
B5.2.2量纲分析法 2.量纲分析的优点 F=0(p,v,d,x)(10次) CD=f(R) R
B5.2.2 量纲分析法 2. 量纲分析的优点 FD =( ,v,d, ) (104 次）CD Re C f ( R ) D = e FD v FD d FD FD
粗糙管中粘性流动的压降:量纲分析一般步骤 不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动,分析压强降低与 相关物理量的关系。 1.列举物理量。Ap,V,d,E,p,,l,共7个 p=p(p, v,d,u,8, 7) 2.选择基本量:p、Vd 3.列∏表达式求解∏数 ①Ⅱ1=pVbd△p M0L0T0=(ML-3)a(L7-1)2Lc(ML-17-2)
不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与 相关物理量的关系。 [例B5.2.2] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 解： 1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个 p =(,V, d, ,,l) 2．选择基本量：ρ、V、d 3．列П表达式求解П数 ① П1 =ρ a V bd cΔp M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 ) b L c (M L –1 T – 2 )