B2流动分析基础 B21描述流体运动的数学方法 1分类 随体法拉格朗日法质点轨迹y= r(a,b,c, t) 描述方法 当地法欧拉法 参数分布:B=B(xyz2D 2.比较 拉格朗日法 欧拉法 分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式复杂 表达式简单 不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法
B2.1 描述流体运动的数学方法 拉格朗日法 欧拉法 当地法 B2 流动分析基础 描述方法 随体法 拉格朗日法 欧拉法 质点轨迹： r = r(a,b,c,t) 参数分布：B = B（x, y, z, t） 1.分类 2.比较 分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式复杂 表达式简单 不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法
由速度分布求质点轨迹 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 u=x+t V=y+ 在t=0时刻位于点(a,b)的流体质点的运动轨迹 对某时刻t位于坐标点上(xy)的质点 x+t dt dr +tl 求解一阶常微分方程(a)可得 x=e+lte (+1 y=ck+jed=c2-0+=ce--1 上式中c1,c2为积分常数,由t=0时刻流体质点位于,可确 定{=+代入(b)式,可得参数形式的流体质点轨迹方程为
[例B2.1.2] 由速度分布求质点轨迹 求： 在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。 解： 对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点 求解一阶常微分方程（a）可得 已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 = + = + v y t u x t (a) = = + = = + y t t y v x t t x u d d d d = + = − + = − − = + = − + = − − − − − − d ( 1) 1 d ( 1) 1 2 2 2 1 1 1 y e c t e t e c t e c e t x e c t e t e c t e c e t t t t t t t t t t t (b) 上式中c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 ,可确 定 ，代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为 = = y b x a = + = + 1 1 2 1 c b c a
x=(a+1)e-t-1 y=(b+1)e2-t-1 讨论:本例说明虽然给出的是速度分布式(欧拉法),即各空间点上速 度分量随时间的变化规律,仍然可由此求出-指定流体质点在不 同时刻经历的空间位置,即运动轨迹(拉格朗日法)
( 1) 1 ( 1) 1 = + − − = + − − y b e t x a e t t t 讨论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速 度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－指定流体质点在不 同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）
B2流动分析基础 B22速度场 速度场是最基本的场 =(x2y,,t) y=v(xy=1)速度分量:{v=v(x,y=,) w(x,y,z,t) 可用速度廓线(剖面)描述空间线或面上的速度分布 二维速度剖面u=u(x,y) (x,y,2z,D) 三维速度廓线{v=v(x,y2=,) =(x,y,二,t)
B2 流动分析基础 B2.2 速度场 • 速度场是最基本的场 v = v (x, y, z, t ) • 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布 二维速度剖面 u ＝u ( x, y) 速度分量： = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) w w x y z t v v x y z t u u x y z t = = = ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) w w x y z t v v x y z t u u x y z t 三维速度廓线
B2流动分析基础 B221流量与平均速度 体积流量 (.n)d4 质量流量 n= Av. n)dA 流量 不可压缩流体mi=C 封闭曲面时|1Q、m指净流出流量 O 体积流量 =p4 平均速度V 不可压缩流体质量流量m=pV
B2 流动分析基础 B2.2.1 流量与平均速度 封闭曲面时 Q、 m 指净流出流量 流量 体积流量 = A m ρ(v n)dA 平均速度 体积流量 不可压缩流体质量流量 质量流量 不可压缩流体 Q v n dA A = ( ) m = Q A Q V = Q =VA m = VA
直圆管粘性定常流动:流量与平均速度 粘性流体在半径为R的直圆管內作定常流动。设圆管截面(指垂直管轴 的平面截面)上有两种速度分布(参见图B221),一种是抛物线分 布另一种是1/7指数分布: R R 上式中,umn1、umn2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 两种速度分布的(1)流量Q的表达式; (2)截面上平均速度V (1)流量由(B223)式计算,注意到dA=2πrdr,抛物线分布的 流量为 v:n )dA zra 2 =2/(2 4R 0.5u,R
[例B2.2.1]直圆管粘性定常流动：流量与平均速度 求：两种速度分布的（1）流量Q的表达式； （2）截面上平均速度V。 解：（1）流量由（B2.2.3）式计算，注意到dA = 2πrdr，抛物线分布的 流量为 已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴 的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分 布,另一种是1/7指数分布： = − 2 1 m 1 1 R r u u 1/ 7 2 m2 1 = − R r u u 上式中，um1、um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 = A Q ( 1 = − − R R r R r r r u r R r u 0 2 3 0 2 m1 2 m1 v·n )dA = 1 2 d 2 d 2 m1 0 2 2 4 m1 0.5 2 4 2 u R R r r u R = = −
1/7指数分布的流量为 O2=L(v n)dA=um2(1--72dr 15/7 (1-r/R 8/7 15/7 8/7 7×798 =2TR umL \ ,7R2=0.81671mR2 5×8120 (2)平均速度由(B224)式计算,抛物线分布和1/7指数分布的平 均速度分别为 1 0.5 IR 2Q2=0.8167m2 讨论由上可见,速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一 半,而1/7指数分布的截面上的平均速度为最大速度的0.8167倍, 这是由于后者的速度廓线中部更平坦,速度分布更均匀的缘故
1 / 7指数分布的流量为 = A Q ( 2 = − R r r R r u 0 1/ 7 m2 v·n )dA (1 ) 2 d ( ) R r R r R u R 0 15/ 7 8/ 7 2 m2 8/ 7 (1 / ) 15/ 7 1 / 2 − − − = 2 m2 2 m2 m2 2 0.8167 120 98 15 8 7 7 2R u = u R = u R = （2）平均速度由（B2.2.4）式计算，抛物线分布和1 / 7指数分布的平 均速度分别为 2 m1 1 1 1 0.5u R Q V = = 2 m2 2 2 2 0.8167u R Q V = = 讨论：由上可见，速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一 半，而1/7指数分布的截面上的平均速度为最大速度的0.8167倍， 这是由于后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故
B2流动分析基础 B222一维,二维与三维流动 1.流动维数的确定 三维流动:速度场必须表示为三个方向坐标的函数 =ν(x,y,乙D 二维流动:速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v(xy,)或v=v(r,乙,D 一维流动:速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v(x)或vν(s) 2.常用的流动简化形式: (1)二维流动:平面流动 轴对称流动 (2)一维流动 质点沿曲线的流动v=v(s) 流体沿管道的平均速度v=ν(S)
B2.2.2 一维，二维与三维流动 B2 流动分析基础 1. 流动维数的确定： 三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数 v=v ( x, y, z, t) 二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t) 一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v( x ) 或 v=v ( s ) 2. 常用的流动简化形式： (1) 二维流动：平面流动 轴对称流动 (2) 一维流动： 质点沿曲线的流动 v=v ( s ) 流体沿管道的平均速度v=v ( s )
B2流动分析基础 3直圆管一维流动修正因子 用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上 动能和动量计算造成偏差,引入动能修正因子和动量修正因子。 =u2)dmn=O(=2) udm= Bvm 表B221圆管粘性一维定常流动修正因子 速度分布类型平均速度/中心速度动能修正因子动量修正因子 抛物线分布 0.5 2.0 1.333 1/7指数分布 0.8167 1.058 1.020
B2 流动分析基础 用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上 动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。 u m α V m A ) 2 1 )d ( 2 1 ( 2 2 = = A udm βVm 表B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子 3. 直圆管一维流动修正因子 V / um 速度分布类型 平均速度/中心速度 动能修正因子 动量修正因子 β 抛物线分布 0.5 2.0 1.333 1/7指数分布 0.8167 1.058 1.020
直圆管粘性定常流动:动能修正系数与动量修正系数 粘性流体在半径为R的直圆管內作定常流动。设圆管截面(指垂直管轴 的平面截面)上有两种速度分布(参见图B221),一种是抛物线分 布另一种是1/7指数分布: R 上式中,分别为两种速度分布在管轴上的最大速度 两种速度分布的(1)关于平均速度的动能修正系数O (2)关于平均速度的动量修正系数β。 1)按单位质量流体的动能计算,动能修正系数定义为 2)dm=a(=2)i
[例B2.2.2]直圆管粘性定常流动：动能修正系数与动量修正系数 解：(1) 按单位质量流体的动能计算，动能修正系数定义为 已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴 的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1），一种是抛物线分 布,另一种是1/7指数分布： = − 2 1 m 1 1 R r u u 上式中，分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 1/ 7 2 m2 1 = − R r u u 求：两种速度分布的（1）关于平均速度的动能修正系数 （2）关于平均速度的动量修正系数β。 u m V m A ) 2 1 )d ( 2 1 ( 2 2 =