B4积分形式的基本方程 B4积分形式的基本方程 伯努利方程 输运公式 系统导数 连续性方程动量方程 动量矩方程能量方程 固定控制体 运动控制体 固定控制体 匀速运动控制体一 固定控制体一 旋转控制体 固定控制体
B4 积分形式的基本方程 B4 积分形式的基本方程 伯努利方程 输运公式 连续性方程 动量方程 动量矩方程 能量方程 固 定 控 制 体 运 动 控 制 体 固 定 控 制 体 匀 速 运 动 控 制 体 固 定 控 制 体 旋 转 控 制 体 系统导数 固 定 控 制 体
B4积分形式的基本方程 B4.1流体方程的随体导数 系统广延量r 控制体广延量N()=mr 输运公式 T n DN Dr=a J ndt+lsnv-nlda A4 ③ n ①系统广延量的导数,称为系统导数。 CV2 ②控制体广延量随时间变化率, 称为当地变化率;当流场定常时为零 ③通过控制面净流出的广延量流量, 称为迁移变化率;当流场均匀时为零。 输运公式计算取决于控制体(面)的选择 CVI ⊥
B4 积分形式的基本方程 系统广延量 控制体广延量 ( ) Nsys t d = N (t) d CV CV = B4.1 流体方程的随体导数 • 输运公式 ( ) + = CV CS sys d dA Dt t DN v n ① ② ③ ①系统广延量的导数，称为系统导数。 ②控制体广延量随时间变化率, 称为当地变化率；当流场定常时为零。 ③通过控制面净流出的广延量流量, 称为迁移变化率；当流场均匀时为零。 • 输运公式计算取决于控制体(面)的选择
B4积分形式的基本方程 B4.2积分形式的连续性方程 输运公式可用于任何分布函数η,如密度分布、动量分布、能量 分布等。 令η=p,由系统的质量不变可得连续性方程 at pdt+ p(v n)dA=0 CS B4.21固体的控制体 对固定的cV,积分形式的连续性方程可化为 ∫p(vnld4= C at 上式表明:通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量 随时间的减少率
B4 积分形式的基本方程 B4.2 积分形式的连续性方程 ( ) CV CS ρdτ ρ dA 0 t + = v n B4.2.1 固体的控制体 上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量 随时间的减少率。 输运公式可用于任何分布函数 ，如密度分布、动量分布、能量 分布等。 η 令 η = ρ ，由系统的质量不变可得连续性方程 对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为 CS CV ρ( )dA d t = v n −
B42积分形式的连续性方程 B421固体的控制体(续) CS 1沿流管的定常流动 设出入口截面上的质流量大小为 m=pVA 一般式mlmt=mn 有多个出入口∑(pAm=∑(olAn 2沿流管的不可压缩流动 设出入口截面上的体积流量大小为Q=VA 般式 out 有多个出入囗2(4=V4m
B4.2 积分形式的连续性方程 设出入口截面上的质流量大小为 = = in VA out VA Q Q out in ( ) ( ) B4.2.1 固体的控制体（续） 1.沿流管的定常流动 m = VA • 一般式 mout mi n = • 有多个出入口 VA out = VA in ( ) ( ) 2.沿流管的不可压缩流动 设出入口截面上的体积流量大小为 Q =VA • 一般式 • 有多个出入口
主动脉弓流动:多个一维出入口连续性方程 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.lcm,d3=0.7cm,d=0.8cm d3=2.0cm平均流量分别为Q=6lmin,Q3=0.07Q,Q4=0.04Q Q5=0.789 Q2及各管的平均速度 取图中虚线所示控制体,有多个出入口。 血液按不可压缩流体处理 ∑Q=∑Q 可得 Q1=2+Q3+Q4+9 Q2=Q1-(Q3+Q4+05)=Q1-(0.07+0.04+0.78)Q 0.1101=0.66l/min
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 已知: 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1 , Q4 = 0.04Q1 , Q 5= 0.78Q1 求： Q2 及各管的平均速度 解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。 血液按不可压缩流体处理 out in Q =Q 可得 Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1－(Q3 + Q 4 + Q 5）= Q 1－(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min
主动脉弓流动:多个一维出入口连续性方程 各管的平均速度为 4g14×6×1000 20.4cm/s d2m×2.52×60 402_4×0.66×1000 11.6cm/s ×60 4×0.07×6×1000 18.2cm/s 丌×0.72×60 4g1_4×0.04×6×1000 8.0cm 兀×0.82×60 4Q34×0.78×6×10002 4. 8cm/s 兀×2.02×60
各管的平均速度为 [例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 20.4cm/s π 2.5 60 4 4 6 1000 2 = = = 2 1 1 1 πd Q V 8.0cm/s π 0.8 60 4 4 0.04 6 1000 2 = = = 2 4 4 4 πd Q V 24.8cm/s π 2.0 60 4 4 0.78 6 1000 2 = = = 2 5 5 5 πd Q V 18.2cm/s π 0.7 60 4 4 0.07 6 1000 2 = = = 2 3 3 3 πd Q V 11.6cm/s π 1.1 60 4 4 0.66 1000 2 = = = 2 2 2 2 πd Q V
B4积分形式的连续性方程 B422运动的控制体 将控制体随物体一起运动时,连续性方程形式不变,只要将速度 改成相对速度v Ot oy odt+ p(r n)dA=0 对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时 (p,A)=(p out A) 上式中pv分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度
B4 积分形式的连续性方程 B4.2.2 运动的控制体 将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度 改成相对速度vr 对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时 + = CV CS d dA 0 t v n) r ( out in ( V A ( V A r r ) = ) 上式中 ，v ρ r 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度
圆管入口段流动:速度廓线变化 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管圆截面上的速度廓 线,不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。 充分发展流动的速度廓线表达式 设充分发展流动的速度廓线为 R 指数形式 u=un R n≠=-1-2) (a) 式中为管轴上的最大速度,在定常流动中为常数,通常取n=171/10 由连续性方程 UdA=C um( )nrDr (b) R b试式左端=xR2U,(b式右端=2(-1y-Rydr 2
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化 已知: 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓 线, 不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。 求： 充分发展流动的速度廓线表达式 解： 设充分发展流动的速度廓线为 指数形式 式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10. 由连续性方程: (b)式左端=πR 2U, (b)式右端= r r R r R πu R n n 0 n m ( ) d 2 ( 1) − − = − R 0 n A m ) 2πr r R r UdA u (1 d (b) (n−1,−2) n) R r u =um(1− (a) U R
圆管入口段流动:速度廓线变化 由积分公式可得 R R r(r-R)dr n+1 rd(r-R) r(r-R) (r-R) di n+1 n+ 1)+2R (r-R) (n+2) (n+1)(n+ 由(b式可得 2n+2n2 n u R 丌RU= (n+1)(n+2) (n+1)(n+2 2 1)(-+2) 取n=1/7时 8×15 或 U=0.8167u
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化 由积分公式可得 取 n=1/7时 − − − + − = + − = + + + R 0 R 0 n 1 R 0 n 1 n 1 R 0 n r r R r R r n 1 1 r r R n 1 1 r(r R) dr d( ) ( ) ( ) d ( 1)( 2) ( 1) ( ) ( 1)( 2) 1 + + − − = + + = + + + n n R r R n n n 2 n 2 R 0 n 2 由(b)式可得 ( 1)( 2) 2 ( 1) + + − = + n n π u R π R U 2 n 2 2 2 m um U U 1.224U 2 7 7 8 15 2 2) 7 1 1)( 7 1 ( = = = + + 或 U = 0.8167 u m U n n um 2 ( +1)( + 2) =
B4积分形式的基本方程 B4.3伯努利方程及其应用 伯努利(D. Bernouli1700-1782)方程的提出和意 义 伯努利方程的推导: 由一维欧拉运动方程沿流线积分 A 伯努利方程的限制条件: (1)无粘性流体 (2)不可压缩流体 (3)定常流动 (4)沿流线成立
B4 积分形式的基本方程 B4.3 伯努利方程及其应用 伯努利方程的推导： 由一维欧拉运动方程沿流线积分 伯努利方程的限制条件： (3) 定常流动 伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意 义 (2) 不可压缩流体 (1) 无粘性流体 (4) 沿流线成立