南京大学：《离散数学 Discrete Mathmatics》课程教学资源（课件讲稿，2018）代数系统——第17章 子群与拉格朗日定理

子群与拉格朗日定理 离散数学一代数结构 南京大学计算机科学与技术系

子群与拉格朗日定理 离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系

回顾 半群 么半群 群 群的性质 群的术语 群方程*

回顾  半群  幺半群  群 群的性质  群的术语  群方程* 2

子群与拉格朗日定理 ·子群的定义及其判定 ·生成子群与元素的阶 ·子群的陪集与划分 ·拉格朗日定理 ·拉格朗日定理的推论

子群与拉格朗日定理  子群的定义及其判定  生成子群与元素的阶  子群的陪集与划分  拉格朗日定理  拉格朗日定理的推论 3

子群的定义 。设(G,o)是群，H是G的非空子集，如果H关于G中 的运算构成群，即L,o)也是群，则H是G的子群。 ●1 记作(H,)≤(G,),简记为H≤G。 ·例子：偶数加系统是整数加群的子群 。平凡子群(G,o),({e},o) 注意：结合律在G的子集上均成立

子群的定义  设(G, ⃘)是群，H是G的非空子集，如果H关于G中 的运算构成群，即(H, ⃘)也是群，则H是G的子群。  记作(H, ⃘)  (G, ⃘), 简记为 HG。  例子：偶数加系统是整数加群的子群  平凡子群 (G, ⃘)， ({e}, ⃘) 注意：结合律在G的子集上均成立。 4

关于子群定义的进一步思考 问题1：e是否一定是ec?en en=ex→eH=eG 群G 问题2：ab应该在哪儿？ b● ab 子群A ●dH

关于子群定义的进一步思考 群G 子群H a b eH a -1 H 问题2：ab应该在哪儿？ ab 问题1：eH是否一定是eG? eH eH = eH  eH = eG 5

子群的判定一判定定理 一 ●G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且 仅当： ●Va,b∈H,abeH,并且 ●Va∈H,l∈H (注意：这里是a在G中的逆元，当H确定为群后，它也是a在H中的逆元) 证明 ●必要性显然（注意群中逆元素的唯一性) 。充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中，它 即是H的单位元素

子群的判定 – 判定定理一  G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且 仅当：  a,bH, abH, 并且  aH, a -1H （注意：这里a -1是a在G中的逆元，当H确定为群后，它也是a在H中的逆元）  证明  必要性显然（注意群中逆元素的唯一性）  充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中，它 即是H的单位元素。 6

子群的判定-判定定理二 。G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： Va,b∈H,ab-leH ●证明 。必要性易见 。充分性： ●单位元素：因为H非空，任取a∈H,e=l∈H ·逆元素：a∈H,因为e∈H,所以rl=eml∈H ·封闭性：a,beH,己证b-1eH,所以ab=a(b)1∈H

子群的判定 – 判定定理二  G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, ab-1H  证明  必要性易见  充分性：  单位元素：因为H非空，任取aH, e=aa-1H  逆元素： aH, 因为eH, 所以 a -1=ea-1H  封闭性： a,bH, 已证b -1H，所以ab=a(b -1 ) -1H 7

群的术语：元素的乘幂 (次方) ·定义 W=e(e是单位元素) a+1=a"oa(n是非负整数) 心k=()k(k为正整数) 。性质 anoam=an+m (an)m-anm 8

群的术语：元素的乘幂（次方）  定义 a 0 = e （e是单位元素） a n+1 = a n ⃘a (n是非负整数) a -k =(a -1 ) k (k为正整数)  性质 a n ⃘a m= a n+m (a n ) m= a nm 8

群的术语：元素的阶 。设G是群，a∈G,a的阶（周期）定义如下： ●la=min{k∈Zlak=e} 。如果这样的k不存在，a为无限阶元 ●性质 。有限群不存在无限阶元 。群中元素及其逆元具有相同的阶 。有限群中大于2的元素有偶数个 ● 偶数群中阶为2的元素有奇数个(a=1) 9

群的术语：元素的阶  9

子群的判定一有限子群 ·G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： Va,beH,abeH 。证明.必要性显然.下证充分性，只须证明逆元素性 。若H中只含G的单位元，H显然是子群。 。否则，任取H中异于单位元的元素4，考虑序列 0,a2,,… 注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此， 必有正整数i,j>i),满足：=d,因此： rl=ai-il∈H 10

子群的判定 – 有限子群  G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, abH  证明. 必要性显然. 下证充分性，只须证明逆元素性  若H中只含G的单位元，H显然是子群。  否则，任取H中异于单位元的元素a, 考虑序列 a, a 2 , a 3 , ... 注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此， 必有正整数i, j(j>i), 满足：a i=a j , 因此： a -1=a j-i-1 H 10