《几何基础》期末练习5 一、选择与填空题 1.二阶曲线就是 的全体 解两个射影线束对应直线交点。 2.证明公理体系的和谐性常用法。 解模型， 3.无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的( A.半径 B.直径 C.渐近线 D.切线 解选B.由定义5.7即可得出， 4.若点P在二次曲线下上，那么它的极线一定是下的( A.切线 B.直径 C.半径 D.渐近线 解选A.由定理5.12即可得出. 5.极线上的点与极点( ). A.共轭 B.不共轭 C.可能不共轭 D.不可判定 解选A.由极线与极点的定义即可得出. 6.两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是( A.一条二次曲线 B.一条直线 C.一个点 D.两个点 解选A.由二次曲线的射影定义可知，两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点 全体是一条二次曲线 7.在仿射平面上，若二次曲线与无穷远直线有一个交点，则这条曲线 是()· A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解选C.由定义5.6即可得出 8.欧氏几何与非欧几何的本质区别在于()·
1 《几何基础》期末练习 5 一 、 选 择 与 填 空 题 1．二阶曲线就是_______的全体． 解 两个射影线束对应直线交点． 2．证明公理体系的和谐性常用_______法． 解 模型． 3．无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（ ）． A．半径 B．直径 C．渐近线 D．切线 解选Ｂ．由定义５．７即可得出． 4．若点 P 在二次曲线 上，那么它的极线一定是 的（ ）． A．切线 B．直径 C．半径 D．渐近线 解选Ａ．由定理 5.12 即可得出． 5．极线上的点与极点（ ）． A．共轭 B．不共轭 C．可能不共轭 D．不可判定 解选Ａ．由极线与极点的定义即可得出． 6．两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（ ）． A．一条二次曲线 B．一条直线 C．一个点 D．两个点 解选Ａ．由二次曲线的射影定义可知，两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点 全体是一条二次曲线． 7 .在 仿 射 平 面 上 ， 若 二 次 曲 线 与 无 穷 远 直 线 有 一 个 交 点 ， 则 这 条 曲 线 是（） . A .椭 圆 B .双曲线 C .抛物线 D .圆 解选Ｃ．由定义 5.6 即可得出． 8 .欧 氏 几 何 与 非 欧 几 何 的 本 质 区 别 在 于 （ ）
A.平行公理不同 B.长度的算法不同 C.结合公理不同 D.角度的算法不同 解选A. 9.三角形内角和等于180度( A.与欧氏平行公设等价 B.与罗氏平行公设等价 C.与椭圆几何平行公设等价 D.不可判定 解选A. 二、计算证明题 1.求二次曲线3xx2+4x2+5x2+x2x3=0在点(0，-1,5)处的切线方程. 解将点(0，-1,5)代入二次曲线3xx2+4x2+5x22+x2x=0，因为 5(-1)2+(-1)5=0,所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为 3 4 2 0 (0-15) 3-2 1 5 -2 =0 0 0 2 即3x1+5x2+x3=0为所求的切线方程. 2.求二次曲线6x2-x3-24x3+11x2x3=0在(1,2,1)点的切线方程. 解将点(1,2，代入二次曲线6x2-x号-24x号+11x2x3=0，因为 6(1)2-(2)2-24(1)2+11(2)1)=0,所以该点在二次曲线上，故所求的切线方 程为 60 121)0-1 11 =0 2 X2 X3 0 2 -24 即12x1+7x2-26x3=0为所求的切线方程. 3.求二次曲线2x2+xy一3y2+x一y=0的渐近线
2 A .平 行 公 理 不 同 B .长 度 的 算 法 不 同 C .结 合 公 理 不 同 D .角 度 的 算 法 不 同 解选Ａ． 9．三角形内角和等于 180 度（ ）． A．与欧氏平行公设等价 B．与罗氏平行公设等价 C．与椭圆几何平行公设等价 D．不可判定 解选Ａ． 二、计算 证 明 题 1． 求 二 次 曲 线 3 4 5 2 3 0 2 2 2 x1 x2 + x1 + x + x x = 在 点 (0,−1,5) 处 的 切 线 方 程 . 解 将 点 (0,−1,5) 代入二次曲线 3 4 5 2 3 0 2 2 2 x1 x2 + x1 + x + x x = ，因为 5( 1) ( 1)5 0 2 − + − = ， 所 以 该 点 在 二 次 曲 线 上 ， 故 所 求 的 切 线 方 程 为 ( ) 0 0 2 1 0 2 1 5 2 3 0 2 3 4 0 1 5 3 2 1 = − x x x 即 3x1 + 5x2 + x3 = 0 为所求的切线方程． 2．求二次曲线 6 24 11 2 3 0 2 3 2 2 2 x1 − x − x + x x = 在（1，2，1）点的切线方程． 解 将 点 (1,2,1) 代入二次曲线 6 24 11 2 3 0 2 3 2 2 2 x1 − x − x + x x = ，因为 6(1) (2) 24(1) 11(2)(1) 0 2 2 2 − − + = ， 所 以 该 点 在 二 次 曲 线 上 ， 故 所 求 的 切 线 方 程 为 ( ) 0 24 2 11 0 2 11 0 1 6 0 0 1 2 1 3 2 1 = − − x x x 即 12x1 + 7x2 − 26x3 = 0 为所求的切线方程． 3．求二次曲线 2x2 +xy-3y2 +x-y=0 的渐近线．
2 1-2 解 系数行列式 1-21-2 -3 0 A= A=5 A33=- 25 41 1 因此中心坐标：=一 1 由2X2+XY-3Y2=0, 即(2X+3Y)(X-Y)=0. 得2X+3Y=0X-Y=0.(1) 将x*号y+号代入（①） 得所求的渐近线方程2x+3y+1=0x一y=0. 4.求二次曲线3x+2x号+xx2+x2x=0与x轴的交点，并求出过交点的切线方程. 解二次曲线3x2+2x3+x1x2+x2x3=0与x轴的交点由方程组 3x7+2x5+xx2+x2x3=0 x2=0 确定，解之得(0,0,1)，过该点的切线方程为 3 1 0 2 (0,0,1) 1-2 2 1-2 =0 0 0 2 化简后为x2=0,切线方程为x2=0 5.求由两个射影线束 x-元x3=0,x2-=0,= 元-1 1+2 决定的二次曲线的方程。 解两个线束可以写成 x1-元x3=0 元-1 3=0 3
3 解 系数行列式 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 0 − − − A31= 5 4 , A32= 5 4 , A33=- 25 4 , 因此中心坐标ξ=- 1 5 ,η=- 1 5 . 由 2X2 +XY-3Y2 =0， 即 (2X+3Y)(X-Y)=0. 得 2X+3Y=0X-Y=0.(1) 将 X=x+ 1 5 Y=y+ 1 5 代入(1) 得所求的渐近线方程 2x+3y+1=0x-y=0． 4．求二次曲线 3 2 1 2 2 3 0 2 2 2 x1 + x + x x + x x = 与 x 轴的交点，并求出过交点的切线方程． 解 二次曲线 3 2 1 2 2 3 0 2 2 2 x1 + x + x x + x x = 与 x 轴的交点由方程组 = + + + = 0 3 2 0 2 1 2 2 3 2 2 2 1 x x x x x x x 确定，解之得（0，0，1），过该点的切线方程为 0 0 2 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 3 (0, 0, 1) 3 2 1 = x x x 化简后为 x2 = 0 ，切线方程为 x2 = 0 5．求由两个射影线束 x1 − x3 = 0， x2 − x3 = 0， 2 1 + − = 决定的二次曲线的方程． 解 两 个 线 束 可 以 写 成 = + − − − = 0 2 1 0 2 3 1 3 x x x x
即 x1-2x3=0 2x2+x3-元(x3-x2)=0 消去入，得 -X3 =0 2x2+x3-(x3-x2) 所以，x号-xx+xx2+2x2x3=0即为所求的二次曲线. 6设G为已知点，正明它对次曲线名+与的服线为士少 a2b2 、正明方程之大2 +6=1可以写成6x2+ay2-a2b2=0,化成齐次方程为 b2x+a2x号-a2bx=0.点(x,y)的齐次坐标为(x,片，)，它关于二次曲线 x2 y2 +=1的共轭点的齐次坐标为（工y山），非齐次坐标为(x,),极线方程应满足 Q3 b2xx+a2yy-a'b2=0 整理得 x+=1. a2b2 7.证明，点(x1,y)关于二次曲线y2=2Px的极线为y=p(x+x): 证明二次曲线y2=2Px的齐次方程为X3=2pXX;,点(x1,y)的齐次坐标为 (x,乃1,1)，则点(x,乃，1)的极线方程为 y X2 p(X +xX3). X2,则点(x,y)的极线方程为 X y y=p(x+x). 8.证明射影变换T:(x,x2,x)→以，，)
4 即 + − − = − = 2 ( ) 0 0 2 3 3 2 1 3 x x x x x x 消 去 ， 得 0 2 ( ) 2 3 3 2 1 3 = + − − − x x x x x x 所以， 1 3 1 2 2 2 3 0 2 x3 − x x + x x + x x = 即 为 所 求 的 二 次 曲 线 ． 6．设 ( , ) 1 1 x y 为一已知点，证明它对二次曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 的极线为 1 2 1 2 1 + = b y y a x x ． 证 明 方 程 1 2 2 2 2 + = b y a x 可以写成 0 2 2 2 2 2 2 b x + a y − a b = ， 化 成 齐 次 方程 为 0 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 b x + a x − a b x = ． 点 ( , ) 1 1 x y 的齐次坐标为 ( , ,1) 1 1 x y ，它关于二次曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 的共轭点的齐次坐标为 (x, y,1) ，非齐次坐标为 (x, y) ，极线方程应满足 0 2 2 1 2 1 2 b x x + a y y − a b = 整理得 1 2 1 2 1 + = b y y a x x ． 7．证明，点 ( , ) 1 1 x y 关于二次曲线 y 2px 2 = 的极线为 ( ) 1 1 y y = p x + x ． 证明 二次曲线 y 2px 2 = 的齐次方程为 1 3 2 X 2 = 2 pX X ，点 ( , ) 1 1 x y 的齐次坐标为 ( , ,1) 1 1 x y ，则点 ( , ,1) 1 1 x y 的极线方程为 ( ) 1 2 1 1X3 y X = p X + x ． 令 3 1 X X x = ， 3 2 X X y = ，则点 ( , ) 1 1 x y 的极线方程为 ( ) 1 1 y y = p x + x ． 8． 证 明 射 影 变 换 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 T : x , x , x → y , y , y
a12 a12 d22 d23 a≠0 a13 a23 a33 (1)把直线变成直线：(2) 把二次曲线变成二次曲线， d 12 a 证明 将 a2 a22 a23 写成矩阵形式为Y=AX,于是 a13 a23 a33八X3 X=AY. 设直线方程为ax1+bx2+cx3=0,即(abc =(abCX=0,将X=A'Y 7 代入得(ab cA'Y=(abcA =(a'b'c' y2 =ay1+by2+cy3=0,显然， ay+by2+cy3=0还是直线. 设二次曲线为b1x子+b2x号+b3x号+2b2xx2+2b13xx3+2b23x2x3=0,写成矩阵 b13 形式为(x1x2x3) b22 b23 XBX=0,将X=AY代入XTBX=0, b23 b33 得XTB=(ATY)BATY=YT(ABAT)Y=0,因为A与B均为对称阵，所以 ABAT仍为对称阵，因此YT(ABAT)Y=O仍为二次曲线. 9.过二次曲线的焦点F, 引两条共轭直线1,1′，证明1L1'. F 第9题图 证明：已知F为焦点，1，I'为由F所引的二共轭直线，按其点定义，直线FI,FJ是 二次曲线的切线。 从而(FI,FJ,1,1')=-1, 所以1⊥1 第9题图
5 = 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 3 2 1 x x x a a a a a a a a a y y y ， aij 0 （ 1） 把 直 线 变 成 直 线 ；（ 2） 把二次曲线变成二次曲线． 证 明 将 = 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 3 2 1 x x x a a a a a a a a a y y y 写 成 矩 阵 形 式 为 Y = AX ， 于 是 X A Y T = ． 设 直 线 方 程 为 ax1 + bx2 + cx3 = 0 ，即 ( ) ( ) 0 3 2 1 = = a b c X x x x a b c ，将 X A Y T = 代 入 得 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 3 2 1 3 2 1 = + + = = = a y b y c y y y y a b c y y y a b c A Y a b c A T T ，显然， a y1 + b y2 + c y3 = 0 还是直线． 设二次曲线为 2 12 1 2 2 13 1 3 2 23 2 3 0 2 33 3 2 22 2 2 b11x1 + b x + b x + b x x + b x x + b x x = ，写成矩阵 形式为 ( ) 0 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 1 2 3 = = X BX x x x b b b b b b b b b x x x T ， 将 X A Y T = 代 入 X BX = 0 T ， 得 X BX = (A Y) BA Y = Y (ABA )Y = 0 T T T T T T ，因为 A 与 B 均 为 对 称 阵 ， 所 以 T ABA 仍 为 对 称 阵 ， 因 此 Y (ABA )Y = 0 T T 仍 为 二 次 曲 线 ． 9 .过二次曲线的焦点 F， 引两条共轭直线 l，l′，证明 l⊥l′． 证明：已知 F 为焦点，l，l′为由 F 所引的二共轭直线，按其点定义，直线 FI，FJ 是 二次曲线的切线. 从而(FI，FJ，l，l′)= -1， 所以 l⊥l． 第9题图 F l l 第9题图 J 1 t l I l l F