试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学思想与方法试题B卷 年 月 题号 三 四 总分 分数 一、填空题（每题3分，共30分） 1.在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的 ( )。 2.随机现象的特点是( )。 3.演绎法与( )被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。 4.在化归过程中应遵循的原则是( ) 5.( )是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展 学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。 6.三段论是演绎推理的主要形式，它由( )三部分组成。 7.传统数学教学只注重( )的传授，而忽略对知识发生过程中 ( )的挖掘。 8.特殊化方法是指在研究问题中，( )的思想方法。 9.分类方法的原则是( 10.数学模型可以分为三类：( 二、判断题（每题2分，共10分。在括号里填上是或否） 1.数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。 () 2.在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。 () 3.如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。() 4.分类可使知识条理化、系统化。 () 5.在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学思想与方法试题 B 卷 年 月 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的 （ ）。 2．随机现象的特点是（ ）。 3．演绎法与（ ）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。 4．在化归过程中应遵循的原则是（ ）。 5．（ ）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展 学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。 6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（ ）三部分组成。 7．传统数学教学只注重（ ）的传授， 而忽略对知识发生过程中 （ ）的挖掘。 8．特殊化方法是指在研究问题中，（ ）的思想方法。 9．分类方法的原则是（ ）。 10．数学模型可以分为三类：（ ）。 二、判断题（每题 2 分，共 10 分。在括号里填上是或否） 1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。 （ ） 2．在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。 （ ） 3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。（ ） 4．分类可使知识条理化、系统化。 （ ） 5．在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。 （ ）
三、简答题（每题6分，共30分） 1.我国数学教育存在哪些问题？ 2.《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？ 3.简述数学抽象的特征。 4.什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。 5.简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由
三、简答题（每题 6 分，共 30 分） 1．我国数学教育存在哪些问题？ 2．《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？ 3．简述数学抽象的特征。 4．什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。 5．简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由
四、解答题（每题15分，共30分） 1.(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出的结论 的可靠性？ 2.一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房 定价为160元，住房率为55%：如果每间客房定价为140元，住房率为65%：如果每间客 房定价为120元，住房率为75%：如果每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天 收入提高，问每间住房的定价应是多少？
四、解答题（每题 15 分，共 30 分） 1．(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出的结论 的可靠性？ 2．一个星级旅馆有 150 个房间。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房 定价为 160 元，住房率为 55%；如果每间客房定价为 140 元，住房率为 65%；如果每间客 房定价为 120 元，住房率为 75%；如果每间客房定价为 100 元，住房率为 85%。欲使每天 收入提高，问每间住房的定价应是多少？
参考答案 一、填空题 1.《几何原本》 2.在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果 3.归纳法 4.简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则 5.数学思想方法 6.大前提、小前提、结论 7.形式化数学知识，数学思想方法 8.从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合 9.不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分 10.概念型、方法型、结构型 二、判断题 1.否 2.是 3.否 4.是 5.否 三、简答题 1.答：①数学教学重结果，轻过程：重解题训练，轻智力、情感开发：不重视创新能力培 养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下：②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏 判断力和独立思考能力：③学生学业负担过重。原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考 试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生 学业负担过重。 评分标准 (1)①②③中每答对一个，得2分： (2)完整答出①②③，得6分。 2.答：《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。①第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证 明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题：初始概念必须 是直接可以理解的，因而无需加以定义。②第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与
参考答案 一、填空题 1．《几何原本》 2．在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果 3．归纳法 4．简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则 5．数学思想方法 6．大前提、小前提、结论 7．形式化数学知识，数学思想方法 8．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合 9．不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分 10．概念型、方法型、结构型 二、判断题 1．否 2．是 3．否 4．是 5．否 三、简答题 1．答：①数学教学重结果，轻过程；重解题训练，轻智力、情感开发；不重视创新能力培 养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下；②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏 判断力和独立思考能力；③学生学业负担过重。原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考 试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生 学业负担过重。 评分标准： （1）①②③中每答对一个，得 2 分； （2）完整答出①②③，得 6 分。 2．答：《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。①第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证 明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须 是直接可以理解的，因而无需加以定义。②第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与
逻辑规则：同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的 逻辑规则。 评分标准： (1)①②中每答对一个，得3分： (2)完整答出①②，得6分。 3.答：数学抽象有以下特征：①数学抽象具有无物质性：②数学抽象具有层次性：③数学 抽象过程要凭借分析或直觉：④数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象 评分标准： (1)①②③④中每答对一个，得1.5分： (2)完整答出①②③④，得6分。 4.答：①算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。 ②例如，对初始数据20和3，计算过程为 6.6666…t 320 18 铝 18 。。。 无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。如果在某一处中断过程，我们只 能得到一个近似的、不准确的结果。而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算 法。可见，十进小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。 评分标准： (1)①答对，得1分： (2)②答对，得5分： (3)完整答出①②，得6分。 5.答：①由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是 如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表 层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。②因此，进行数学思想方法教学时必须以 数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学 过程达到思想方法教学之目的。 评分标准： (1)①答对，得3分： (2)②答对，得3分： (3)完整答出①②，得6分
逻辑规则；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的 逻辑规则。 评分标准： （1）①②中每答对一个，得 3 分； （2）完整答出①②，得 6 分。 3．答：数学抽象有以下特征：①数学抽象具有无物质性；②数学抽象具有层次性；③数学 抽象过程要凭借分析或直觉；④数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象 评分标准： （1）①②③④中每答对一个，得 1.5 分； （2）完整答出①②③④，得 6 分。 4．答：①算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。 ②例如，对初始数据 20 和 3，计算过程为 无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。如果在某一处中断过程，我们只 能得到一个近似的、不准确的结果。而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算 法。可见，十进小数除法对于 20 和 3 这组数不符合算法的“有限性”特点。 评分标准： （1）①答对，得 1 分； （2）②答对，得 5 分； （3）完整答出①②，得 6 分。 5．答：①由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是 如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表 层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。②因此，进行数学思想方法教学时必须以 数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学 过程达到思想方法教学之目的。 评分标准： （1）①答对，得 3 分； （2）②答对，得 3 分； （3）完整答出①②，得 6 分
四、解答题 1.解答： ①类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 的一种推理方法。 ②类比推理的表示形式为： A具有性质a,a2,an及d B具有性质d,a,,d: 因此，B也可能具有性质d'。 ③尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性： ● A与B共同（或相似）的属性尽可能多些： ● 这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性： ● 这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面 的： ●可迁移的属性d应是和a,a2,an属于同一类型。 评分标准： (1)①②③中每答对一个，得5分： (2)完整答出①②③，得15分。 2.答：①弄清实际问题加以化简。经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下 假设： ●设每间客房的最高定价为160元： ●根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长： ● 设旅馆每间客房定价相等。 ②建立数学模型。 根据题意，设y表示旅馆一天的总收入，x为与160元相比降低的房价。 由假设②，可得每降低1元房价，住房率增加为 10% =0.005 20 因此一天的总收入为 y=150160-x)0.55+0.005x) (1) 由于0.55+0.005x≤1，可知0≤x≤90。 于是问题归结为：当0≤x≤90时，求y的最大值点，即求解 max{y=150160-x)0.55+0.005x)} 0sr≤90 (③模型求解。 将(1)左边除以(150×0.005)得 y=-x2+50x+17600
四、解答题 1．解答： ①类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 的一种推理方法。 ②类比推理的表示形式为： A 具有性质 a1，a2，，an及d； B 具有性质 a1 ，a2 ，，an ； 因此，B 也可能具有性质 d 。 ③尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性： ⚫ A 与 B 共同(或相似)的属性尽可能多些； ⚫ 这些共同(或相似)的属性应是类比对象 A 与 B 的主要属性； ⚫ 这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面 的； ⚫ 可迁移的属性 d 应是和 a1，a2，，an 属于同一类型。 评分标准： （1）①②③中每答对一个，得 5 分； （2）完整答出①②③，得 15 分。 2．答：①弄清实际问题加以化简。经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下 假设： ⚫ 设每间客房的最高定价为 160 元； ⚫ 根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长； ⚫ 设旅馆每间客房定价相等。 ②建立数学模型。 根据题意，设 y 表示旅馆一天的总收入， x 为与 160 元相比降低的房价。 由假设②，可得每降低 1 元房价，住房率增加为 0.005 20 10% = 因此一天的总收入为 y =150(160 − x)(0.55 + 0.005x) （1） 由于 0.55 + 0.005x 1，可知0 x 90。 于是问题归结为：当 0 x 90 时，求 y 的最大值点，即求解 max 150(160 )(0.55 0.005 ) 0 90 y x x x = − + (③模型求解。 将(1)左边除以(150×0.005)得 50 17600 2 y = −x + x +
由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为求y的最大值点。利用配方法得 y=-(x-25)2+18225 易知当x=25时y最大，因此可知最大收入对应的住房定价为 160元-25元=135元 相应的住房率为 0.55+0.005×25=67.5% 最大收入为 150×135×67.5%=13668.75(元) ④检验。 容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的，这可从下面表格中 看出。 定价 160元 140元 120元 100元 135元 收入 13200元 13650元 13500元 12750元 13668.75元 如果为了便于管理，那么定价140元也是可以的，因为这时它与最高收入只差18.75 元 如果每间客房定价为180元，住房率为45%， 其相应收入只有12150元。由此可见假 设①是合理的。实际上二次函数在0,90之内只有一个极值点。 评分标准： (1)①答对一个，得3分： (2)②答对一个，得4分： (3)③答对一个，得5分： (4)④答对一个，得3分： (5)完整答出①②③④，得15分
由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为求 ， y 的最大值点。利用配方法得 ( 25) 18225 2 y = − x − + ， 易知当 x =25 时 ， y 最大，因此可知最大收入对应的住房定价为 160 元－25 元=135 元 相应的住房率为 0.55+0.005×25=67.5% 最大收入为 150×135×67.5%=13668.75(元) ④检验。 容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的，这可从下面表格中 看出。 定价 160 元 140 元 120 元 100 元 135 元 收入 13200 元 13650 元 13500 元 12750 元 13668.75 元 如果为了便于管理，那么定价 140 元也是可以的，因为这时它与最高收入只差 18.75 元。 如果每间客房定价为 180 元，住房率为 45%，其相应收入只有 12150 元。由此可见假 设①是合理的。实际上二次函数在 0，90 之内只有一个极值点。 评分标准： （1）①答对一个，得 3 分； （2）②答对一个，得 4 分； （3）③答对一个，得 5 分； （4）④答对一个，得 3 分； （5）完整答出①②③④，得 15 分