数学分析专题研究模拟试题(06秋-1) 中央电大教育学院赵坚 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A,B是任意两个集合，则有()成立. A.ACAUB B.AAUB C.ACABD.ACA-B 2.设A,B是两个集合，RcA×B,则有()， A.R∈A B.RCB C.Dom(R)CA D.Ran(R)CA 3.设中是空集，则有(). A.Φ∈ΦB.ΦCDC.{Φ}∈ΦD.Φ}C中 4.己知函数y=f(x)在R上可导，且f'(x)≤1，则f(x)在R上(). A.有界B.无界C.间断D.连续 5.己知函数y=f(x)在(-1,1)内有界，连续且可导，则其导数f(x)在(-1,1)内(). A.有界B.可能无界C.可导D.前三个结论不真 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.已知A={a,b},则A的幂集24= 2.设R为X中的关系，若x∈X,有 则称R是反身的. 3.一个集合A若不能与其任意真子集建立一个双射，则称集合A为 4.已知f(x)=sn(1+a),则f'(x)=」 5.函数f(x)定义在(a,b)上，若x1,x2∈(a,b),Hax∈(0,1)，有 ,则称 f(x)是下凸函数. 三、计算题（每小题15分，共30分） 1.解方程2f(x)+f白)=3x,求fx). 2.求由曲线f(x)=3x2+2x+1和直线，x=0,x=1,y=0所围成的曲边梯形的面积. 四、证明题（每小题15分，共30分）
1 数学分析专题研究模拟试题（06 秋-1） 中央电大教育学院 赵坚 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设 A, B 是任意两个集合，则有（ ）成立. A． A A B B． A A B C． A A B D． A A − B 2．设 A, B 是两个集合， R A B ，则有（ ）. A． R A B． R B C． Dom(R) A D． Ran(R) A 3．设 Φ 是空集，则有（ ）. A．ΦΦ B．ΦΦ C．{Φ}Φ D．{Φ} Φ 4．已知函数 y = f (x) 在 R 上可导，且 f (x) 1 ，则 f (x) 在 R 上（ ）. A．有界 B．无界 C．间断 D．连续 5．已知函数 y = f (x) 在 (−1,1) 内有界，连续且可导，则其导数 f (x) 在 (−1,1) 内（ ）. A．有界 B．可能无界 C．可导 D．前三个结论不真 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．已知 A = {a,b} ，则 A 的幂集 2 = _________________________________ A . 2．设 R 为 X 中的关系，若 x X ，有 ，则称 R 是反身的. 3．一个集合 A 若不能与其任意真子集建立一个双射，则称集合 A 为 . 4．已知 ( ) sin(1 ) x f x = + a ，则 f (x) = __________________ . 5．函数 f (x) 定义在 (a,b) 上，若 , ( , ), (0,1) x1 x2 a b ，有 ，则称 f (x) 是下凸函数. 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解方程 x x f x f ) 3 1 2 ( ) + ( = ，求 f (x) . 2．求由曲线 ( ) 3 2 1 2 f x = x + x + 和直线 , x = 0, x = 1, y = 0 所围成的曲边梯形的面积. 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分）
1.设有映射f:A→B,g:B→C,且gof:A→C是双射，证明8是满射，f是双 射 2.证明(x+y)≤8(x4+y)
2 1．设有映射 f : A → B ， g : B → C ，且 g f : A → C 是双射，证明 g 是满射， f 是双 射. 2．证明 ( ) 8( ) 4 4 4 x + y x + y
数学分析专题研究模拟试题(06秋-1)参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.A:2.C:3.B:4.D:5.B:6.A. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.{P,{a},{b},[a,b}2.xR,(或(x,x)∈R):3.有限集；4.f'(x)=cos(1+a)aha: 5.f(cx1+(1-)x2)≤0(x)+(1-a)f(x2) 三、计算题（每小题15分，共30分） 1.解将代替x得， 2f白+fx)=3 ① 由原方程得 4fx)+2f(白)=6x ② 由②-①得 3f)=6r-3 故fx)=2x-」 2.解设围成的曲边梯形的面积为S,则 S=3x2+2x+10d=r+x6+60=3 四、证明题（每小题15分，共30分） 1.(1)证明g是满射. 因为C=(gf(A)=g(f(A)Cg(B) 故g(B)=C (2)证明f是单射. 若不然，存在x1,x2∈A,x1≠x2,有f(x)=f(x2),从而有 (gofx)=g(f(x))=g(f(x2))=(gf(x2) 这与g·∫是双射矛盾
3 数学分析专题研究模拟试题（06 秋-1）参考答案 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．A；2.C；3.B；4.D；5.B；6.A. 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．{Φ,{a},{b},[a,b}} 2. xRx ，（或 (x, x) R) ；3.有限集；4. f x a a a x x ( ) = cos(1+ ) ln ； 5. ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x . 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解 将 x 1 代替 x 得， x f x x f 3 ) ( ) 1 2 ( + = ① 由原方程得 x x f x f ) 6 1 4 ( ) + 2 ( = ② 由②-①得 x f x x 3 3 ( ) = 6 − 故 x f x x 1 ( ) = 2 − 2．解 设围成的曲边梯形的面积为 S ，则 (3 2 1)d 3 1 0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 = + + = + + = S x x x x x x 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1.（1）证明 g 是满射. 因为 C = (g f )(A) = g( f (A)) g(B) 故 g(B) = C （2）证明 f 是单射. 若不然，存在 1 2 1 2 x , x A, x x ，有 ( ) ( ) 1 2 f x = f x ，从而有 ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( )( ) 1 1 2 2 g f x = g f x = g f x = g f x 这与 g f 是双射矛盾
2.证明设f(x)=x4,f"(x)=12x2>0,f(x)在R上是下凸函数，依照下凸函数的定 义有fx+》≤f+0四， 即+≤x+y 2 2 即(x+y)≤8x4+y)
4 2．证明 设 4 f (x) = x ， ( ) 12 0 2 f x = x ， f (x) 在 R 上是下凸函数，依照下凸函数的定 义有 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( )) 2 1 f ( x + y f x + f y ， 即 4 4 4 2 1 2 1 ( )] 2 1 [ x + y x + y 即 ( ) 8( ) 4 4 4 x + y x + y