试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学思想与方法试题E卷 年月 题号 四 总分 分数 一、填空题（每题3分，共30分） 1.三段论是演绎推理的主要形式。三段论由( )三部分组成。 2.化归方法是指，( ). 3.在计算机时代，( )已成为与理论方法、实验方法并列的第三 种科学方法。 4.算法具有下列特点：( )。 5.化归方法的三个要素是：( )。 6.根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将 小学数学思想方法教学设计成( )三个阶段。 7.一个概括过程包括( )等几个主要环节。 8.古代数学大致可以分为两种不同的类型：一种是( ),以《几何原本》为 代表：一种是( ),以《九种算术》为典范。 9.《九章算术》思想方法的特点主要有( )。 10.初等代数的特点是( 人。 二、判断题（每题2分，共10分） 1.完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。 () 2.古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学 校里所学习的课程要用到很多几何知识。 ()
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学思想与方法试题 E 卷 年 月 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1．三段论是演绎推理的主要形式。三段论由（ ）三部分组成。 2．化归方法是指，（ ）。 3．在计算机时代，（ ）已成为与理论方法、实验方法并列的第三 种科学方法。 4．算法具有下列特点：（ ）。 5．化归方法的三个要素是：（ ）。 6．根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将 小学数学思想方法教学设计成（ ）三个阶段。 7．一个概括过程包括（ ）等几个主要环节。 8．古代数学大致可以分为两种不同的类型：一种是（ ），以《几何原本》为 代表；一种是（ ），以《九种算术》为典范。 9．《九章算术》思想方法的特点主要有（ ）。 10．初等代数的特点是（ ）。 二、判断题（每题 2 分，共 10 分） 1．完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。 （ ） 2．古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学 校里所学习的课程要用到很多几何知识。 （ ）
3.完全归纳法的一般推理形式是： 设S={4,4,4,…An,…》由于4、4、…An具有性质P,因此推断集合S中的每一 个对象都具有性质P。 () 4.《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最 早的。 () 5.算术反映的是物体集合之间的函数关系。 () 三、简答题（每题6分，共30分） 1.试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。 2.简述化归方法在数学教学中的应用 3.试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。 4.微积分产生可以归结为哪四类情况？
3．完全归纳法的一般推理形式是： 设 S＝A1，A2，A3，An， ，由于A1、A2、 An 具有性质 P，因此推断集合 S 中的每一 个对象都具有性质 P。 （ ） 4．《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最 早的。 （ ） 5．算术反映的是物体集合之间的函数关系。 （ ） 三、简答题（每题 6 分，共 30 分） 1．试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。 2．简述化归方法在数学教学中的应用 3．试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。 4．微积分产生可以归结为哪四类情况？
5.变量数学产生的意义是什么？ 四、解答题（每题15分，共30分） 1.解方程x2-[x]=2,其中x]表示小于或等于x的最大整数。 2.简述数学模型在数学教学中的作用
5．变量数学产生的意义是什么？ 四、解答题（每题 15 分，共 30 分） 1．解方程 x x 2，其中x表示小于或等于x 2 − = 的最大整数。 2．简述数学模型在数学教学中的作用
参考答案 一、填空题 1.大前提、小前提、结论 2.把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最 终获得原问题解答的一种方法 3.计算方法 4.①有限性，②确定性，③有效性 5.化归对象、化归目标、化归途径 6.多次孕育、初步理解、简单应用 7.比较、区分、扩张和分析 8.崇尚逻辑推理，长于计算和实际应用 9.开放的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法 10.是用字母符号来表示各种数，并且最初研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解。 二、判断题 1.是 2.否 3.否 4.是 5.否 三、简答题 1.答：①《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然 后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。②以后遇到其它同类问题，只要按“术”，给出 的程序去做就一定能求出问题的答案。⑧历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想的 影响，使他们对《九章算术》的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。 因此我们说，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。 评分标准： (1)①答对，得2分： (2)②答对，得2分： (3)③答对，得2分：
参考答案 一、填空题 1．大前提、小前提、结论 2．把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最 终获得原问题解答的一种方法 3．计算方法 4．①有限性，②确定性，③有效性 5．化归对象、化归目标、化归途径 6．多次孕育、初步理解、简单应用 7．比较、区分、扩张和分析 8．崇尚逻辑推理，长于计算和实际应用 9．开放的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法 10．是用字母符号来表示各种数，并且最初研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解。 二、判断题 1．是 2．否 3．否 4．是 5．否 三、简答题 1．答：①《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然 后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。②以后遇到其它同类问题，只要按“术”，给出 的程序去做就一定能求出问题的答案。③历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想的 影响，使他们对《九章算术》的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。 因此我们说，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。 评分标准： （1）①答对，得 2 分； （2）②答对，得 2 分； （3）③答对，得 2 分；
(4)完整答出①②③，得6分。 2.答：化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面： ①利用化归方法学习新知识：②利用化归方法指导解题：③利用化归原则理清知识结构。 评分标准： (1)①答对，得2分： (2)②答对，得2分： (3)③答对，得2分： (4)完整答出①②③，得6分。 3.答：用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示如下： 特殊化 对象A 对象A'(CA) A+B′ 结论B 若信息不够则重复进行) 结论B 图10-3-1 这个框图告诉我们：①若我们面对的问题A解决起来比较困难，可以先将A特殊化为A', 因为A'与A相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由A'所导出的结论B',它包含 的内涵一般也会比较多。②把信息B'反馈到问题A中，就会为问题解决提供一些新的信息， 再去推导结论B就会比较容易一些。③若解决问题A仍有困难，则可对A再次进行特殊化， 进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B,使问题A得以解决。 评分标准： (1)①答对，得2分： (2)②答对，得2分： (3)③答对，得2分： (4)完整答出①②③，得6分。 4.答：这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。 ①第一类是：已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度：反过来
（4）完整答出①②③，得 6 分。 2．答：化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面： ①利用化归方法学习新知识；②利用化归方法指导解题；③利用化归原则理清知识结构。 评分标准： （1）①答对，得 2 分； （2）②答对，得 2 分； （3）③答对，得 2 分； （4）完整答出①②③，得 6 分。 3．答：用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示如下： 这个框图告诉我们：①若我们面对的问题 A 解决起来比较困难，可以先将 A 特殊化为 A＇， 因为 A＇与 A 相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由 A＇所导出的结论 B＇，它包含 的内涵一般也会比较多。②把信息 B＇反馈到问题 A 中，就会为问题解决提供一些新的信息， 再去推导结论 B 就会比较容易一些。③若解决问题 A 仍有困难，则可对 A 再次进行特殊化， 进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论 B，使问题 A 得以解决。 评分标准： （1）①答对，得 2 分； （2）②答对，得 2 分； （3）③答对，得 2 分； （4）完整答出①②③，得 6 分。 4．答：这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。 ①第一类是：已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度；反过来
己知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。 ②第二类是：求曲线切线的斜率和方程。 ③第三类是：求函数的最大值与最小值。 ④第四类是：求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。 这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量一一变量一一问题。 评分标准： (1)①答对，得1.5分： (2)②答对，得1.5分： (3)③答对，得1.5分： (4)④答对，得1.5分： (4)完整答出①②③④，得6分。 5.答：①变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具：②变量 数学的产生，促进数学自身的发展与严密：③变量数学的产生，使辩证法进入数学 评分标准： (1)①答对，得2分： (2)②答对，得2分： (3)③答对，得2分： (4)完整答出①②③，得6分。 四、解答题③ 1.答： ①先从[x]的定义入手估计x的取值范围，然后划分成若干小区间求解。 根据[x]的定义，由原方程得 x≥[=x2-2: 1分 即 x2-X-2≤0。…(1) 1分 解不等式得 -1≤x≤2。…(2) 1分 ②由于原方程的解包含在(1)的解中，因此可将(2)划分为四个小区间来求解： (T)当-1≤x<0时，原方程为 x2-(-1)=2,解得x=1,x=-1: 2分 1E[-1,0),舍去；∴.x=-1。 1分 (II)当0≤x<1时，原方程为
已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。 ②第二类是：求曲线切线的斜率和方程。 ③第三类是：求函数的最大值与最小值。 ④第四类是：求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。 这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量——变量——问题。 评分标准： （1）①答对，得 1.5 分； （2）②答对，得 1.5 分； （3）③答对，得 1.5 分； （4）④答对，得 1.5 分； （4）完整答出①②③④，得 6 分。 5．答：①变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具；②变量 数学的产生，促进数学自身的发展与严密；③变量数学的产生，使辩证法进入数学 评分标准： （1）①答对，得 2 分； （2）②答对，得 2 分； （3）③答对，得 2 分； （4）完整答出①②③，得 6 分。 四、解答题③ 1．答： ①先从[ x ]的定义入手估计 x 的取值范围，然后划分成若干小区间求解。 根据[ x ]的定义，由原方程得 2 2 x x = x − ； 1 分 即 2 0 2 x − x − 。………………………（1） 1 分 解不等式得 −1 x 2 。………………（2） 1 分 ②由于原方程的解包含在（1）的解中，因此可将（2）划分为四个小区间来求解： (I)当 −1 x 0 时，原方程为 x 2 − (−1) = 2，解得x =1，x = −1； 2 分 ∵ １［−1，0)，舍去；x = −1。 1 分 (II)当 0 x 1 时，原方程为
x2-0=2,解得x=±V2: 1分 ,±√2[0,1)，舍去；∴.原方程无解。 2分 (III)当1≤x<2时，原方程为 x2-1=2,解得x=±V3 1分 -√3[1,2)，舍去：x=√3。 1分 (TV)当x=2时，显然满足原方程。 2分 ③所以原方程的解为x=-1,x2=V5,x3=2。 2分 评分标准： (1)①答对，得3分： (2)②答对，得10分： (3)③答对，得2分： (4)完整答出①②③，得15分。 2.答：数学模型在数学教学中的作用主要有三方面：①其一是构造数学模型解决实际问题。 求解某些应用问题时，常常需要我们根据实际情况创设条件构造数学模型，然后通过求解数 学模型的解获得实际问题的解。②其二是数学模型的应用。如果根据问题的条件可以判断所 求结果具有某种确定的数学结构，那么可直接应用该数学模型解题。③其三是数学模型之间 的相互转换。某些不同的数学模型之间具有同构关系，我们往往可以通过将一种模型转换成 另一种模型，使问题的求解更加容易。 评分标准： (1)①答对，得5分： (2)②答对，得5分： (3)③答对，得5分： (4)完整答出①②③，得15分
x 2 − 0 = 2，解得x = 2； 1 分 ∵ 2 [0，１)，舍去；原方程无解。 2 分 (III)当 １ x 2 时，原方程为 x 2 −1= 2，解得x = 3； 1 分 ∵ − 3 [1，2)，舍去；x = 3。 1 分 (IV)当 x = 2 时，显然满足原方程。 2 分 ③所以，原方程的解为 x1 = −1，x2 = 3，x3 = 2。 2 分 评分标准： （1）①答对，得 3 分； （2）②答对，得 10 分； （3）③答对，得 2 分； （4）完整答出①②③，得 15 分。 2．答： 数学模型在数学教学中的作用主要有三方面：①其一是构造数学模型解决实际问题。 求解某些应用问题时，常常需要我们根据实际情况创设条件构造数学模型，然后通过求解数 学模型的解获得实际问题的解。②其二是数学模型的应用。如果根据问题的条件可以判断所 求结果具有某种确定的数学结构，那么可直接应用该数学模型解题。③其三是数学模型之间 的相互转换。某些不同的数学模型之间具有同构关系，我们往往可以通过将一种模型转换成 另一种模型，使问题的求解更加容易。 评分标准： （1）①答对，得 5 分； （2）②答对，得 5 分； （3）③答对，得 5 分； （4）完整答出①②③，得 15 分