《几何基础》期末练习3 一、选择与填空题 1.在中心射影下，如下哪种量不变()。 A.角度 B. 交比 C.面积D.长度 解选B.由定理4.8，两个点列经过中心投影交比不变 2.在中心射影下，( )· A.交比不变 B.平行线变成平行线. C.直角三角形变成直角三角形 D.平行四边形变成平行四边形. 解选A.由定理4.8，两个点列经过中心投影交比不变， 3.点坐标为(1,0,0)的方程是 解41=0 4.-=0代表点 的方程. 解(1,1,0)，(1，一1,0) 5.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线( A.有一个交点B.没有交点 C.有无数个交点D.无法判定 解选A.因为两条不平行的有穷远直线若交于有穷远点，两条平行直线交于无穷远点， 一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点】 6.在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来( A.三角形与圆B.圆与椭圆 C.四边形与正方形D.等腰三角形与直角三角形 解选A,因为在射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在， 7.方程41-42+243=0表示的点为(). A.(1,1,2)B.(2,1,1) C.(1,1,1)D.(1,-1,2) 解D
1 《几何基础》期末练习 3 一 、 选 择 与 填 空 题 1．在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。 A． 角度 B． 交比 C． 面积 D． 长度 解 选Ｂ．由定理４．８，两个点列经过中心投影交比不变． 2． 在 中 心 射 影 下 ，（ ） . A .交比不变 . B .平 行 线 变 成 平 行 线 . C .直 角 三 角 形 变 成 直 角 三 角 形 D .平 行 四 边 形 变 成 平 行 四 边 形 . 解 选Ａ．由定理４．８，两个点列经过中心投影交比不变． 3．点坐标为 (1, 0, 0) 的方程是_______． 解 u1 = 0 ． 4． 0 2 2 2 u1 − u = 代表点_______的方程． 解 (1，1，0)，(1，-1，0)． 5.仿 射 平 面 上 无 穷 远 直 线 与 有 穷 远 直 线 （ ） . A .有 一 个 交 点 B.没有交点 C .有 无 数 个 交 点 D.无 法 判 定 解 选Ａ．因为两条不平行的有穷远直线若交于有穷远点，两条平行直线交于无穷远点， 一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点． 6.在 射 影 平 面 上 ， 下 面 哪 些 图 形 可 以 区 别 开 来 （ ） . A .三 角 形 与 圆 B.圆与椭圆 C .四 边 形 与 正 方 形 D .等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形 解 选Ａ．因为在射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在． 7．方程 u1 − u2 + 2u3 = 0 表示的点为（）． A．（1，1，2）B． （2，1，1） C．（1，1，1）D． （1，－1，2） 解 Ｄ．
二、计算证明题 1.计算直线x1+2x,=0上无穷远点的齐次坐标. 解取X=1,代入直线方程x+2x,=0,得x,=2 1 令x?=0,于是直线x,+2x2=0上无穷远点的齐次坐标为 注意：直线x,+2x2=0上无穷远点的齐次坐标不是唯一的. 2. 计算下列各点的非齐次坐标： A(2,4,-1),B(0,4,3),C(0,1,1). 解欧氏平面π内点P的笛氏坐标为(K,),满足=x,=y的三元数组 (G,2,)(G,≠0)叫做点P的齐次坐标，记为Px,2,x).(化，)=（在，）叫做点 X3 X3 的非齐次坐标.于是三点的非齐次坐标依次为 24.03 和(0,1). 3.欧氏平面上直线的方程为+by+c=0,求出该直线在齐次坐标下 的方程， 解由齐次坐标P(x1,x2,x3)与非齐次坐标(x,y)的关系： (x,)=(点，)，代入直线方程m+y+c=0,即a+b点+c=0,整理得 X3X3 X3X3 x1+bx2+Cx3=0. 4.写出下列命题的对偶命题 设A,B,C三点在一直线上，A',B',C三点在另一直线上，则BC与B'C的交 点、CA与CA的交点、AB'与A'B的交点共线， 解设a,b,c三直线共点，a',b',c'三直线共点，则b和c'的交点与b'与c的交点的 连线，c和a'阿的交点与c'和a的交点的连线，a和b'的交点与a'和b的交点的连线，这 三条连线共点， 2
2 二 、 计 算 证 明 题 1． 计算直线 x1 + 2x2 = 0 上无穷远点的齐次坐标． 解 取 x1 =1 ，代入直线方程 x1 + 2x2 = 0 ，得 2 1 x2 = − ． 令 x3 = 0 ，于是直线 x1 + 2x2 = 0 上无穷远点的齐次坐标为 ,0) 2 1 (1,− ． 注意：直线 x1 + 2x2 = 0 上无穷远点的齐次坐标不是唯一的． 2． 计算下列各点的非齐次坐标： A（2，4，－1），B（0，4，3），C（0，1，1）． 解 欧氏平面 内点 P 的笛氏坐标为 (x, y) ，满足 x x x = 3 1 ， y x x = 3 2 的三元数组 ( , , ) 1 2 3 x x x ( 0) x3 叫做点 P 的齐次坐标，记为 ( , , ) 1 2 3 P x x x ．( , ) ( , ) 3 2 3 1 x x x x x y = 叫做点 的非齐次坐标．于是三点的非齐次坐标依次为 (−2,−4) ， ) 3 4 (0, 和 (0,1) ． 3． 欧 氏 平 面 上 直 线 的 方 程 为 ax + by + c = 0 ， 求 出 该 直 线 在 齐 次 坐 标 下 的方程 . 解 由 齐 次 坐 标 ( , , ) 1 2 3 P x x x 与 非 齐 次 坐 标 (x, y) 的 关 系 ： ( , ) ( , ) 3 2 3 1 x x x x x y = ，代入直线方程 ax + by + c = 0 ， 即 0 3 2 3 1 + + c = x x b x x a ，整理得 ax1 + bx2 + cx3 = 0． 4．写出下列命题的对偶命题 设 A ， B ，C 三点在一直线上, A ， B ，C 三点在另一直线上，则 BC 与 BC 的交 点、 CA 与 CA 的交点、 AB 与 AB 的交点共线． 解 设 a, b, c 三直线共点, a , b , c 三直线共点, 则 b 和 c 的交点与 b 与 c 的交点的 连线, c 和 a 阿的交点与 c 和 a 的交点的连线, a 和 b 的交点与 a 和 b 的交点的连线, 这 三条连线共点
5.证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点. 证明若三点形ABC与A'B'C'的对应边BC与B'C'的交点X,AC与A'C的交点 Y,AB与AB'的交点Z共线，考虑三点形XBB',YAA',由于XY与AB,AB交于Z, 由笛沙格定理知，三组对应边的交点C,C',O共线，于是AA',BB,CC'共线， 6.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PSXQR,B=PRXQS,C=PQ×RS,证明A=BC XQR,B=CAXRP,C=ABXPQ三点共线 A R 第6题图 证明在△ABC及△PQR中， AP、BQ、CR共点S 对应边的交点 C=ABXPQ,B=CAXRP,A=BCXRQ 三点共线， 7.在欧氏平面上，△ABC的高线为AD,BE,CF,另外，BC与EF交于X,CA与 FD交于Y,AB与DE交于Z,求证：三点X,Y,Z共线. 证明如图，△ABC中，三高线AD,BE,CF共点O,以O为透视心，由△ABC 和△DEF,根据笛沙格定理，必有透视轴，即对应边BC和EF交于X,CA和FD交于 Y,AB和DE交于Z,X、Y、Z共线 B D 第7题图 8.设△ABC的顶点A,B,C分别在共点的三直线I,m,n上移动，且直线AB和 BC分别通过定点P和Q,求证CA也通过PQ上一个定点. 证明如图，设△AB'C'是满足条件的另一个三角形，在△ABC和△A'B'C'中，由
3 5．证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点. 证明 若三点形 ABC 与 ABC 的对应边 BC 与 BC 的交点 X ， AC 与 AC 的交点 Y ，AB 与 AB 的交点 Z 共线，考虑三点形 XBB ，YAA ，由于 XY 与 AB ，AB 交于 Z ， 由笛沙格定理知，三组对应边的交点 C ，C，O 共线，于是 AA ， BB ，CC 共线． 6． 设 P、Q、R、S 是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明 A1=BC ×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ 三点共线． 证明 在△ABC 及△PQR 中， ∵AP、BQ、CR 共点 S ∴对应边的交点 C1=AB×PQ， B1=CA×RP, A1=BC×RQ 三点共线． 7．在欧氏平面上,△ ABC 的高线为 AD , BE ,CF ,另外, BC 与 EF 交于 X ,CA 与 FD 交于 Y , AB 与 DE 交于 Z .求证: 三点 X ,Y , Z 共线． 证明 如图, △ ABC 中, 三高线 AD ， BE ，CF 共点 O, 以 O 为透视心，由△ ABC 和△ DEF , 根据笛沙格定理, 必有透视轴, 即对应边 BC 和 EF 交于 X ,CA 和 FD 交于 Y , AB 和 DE 交于 Z , X 、Y 、 Z 共线. 8．设△ ABC 的顶点 A , B ,C 分别在共点的三直线 l , m , n 上移动, 且直线 AB 和 BC 分别通过定点 P 和 Q ,求证 CA 也通过 PQ 上一个定点． 证明 如图, 设△ ABC 是满足条件的另一个三角形, 在△ ABC 和△ ABC 中, 由 第6题图B C1 P S A1 R C B1 A Q 第7 题图A C D E F X Y Z B O
于对应点连线I,m,n共点O,由笛沙格定理可知对应边交点P、Q、R共线，即 AC与A'C'的交点R必在PQ直线上，则R为定点. 0 R C m 第8题图
4 于对应点连线 l , m, n 共点 O, 由笛沙格定理可知对应边交点 P 、Q 、 R 共线, 即 AC 与 AC 的交点 R 必在 PQ 直线上, 则 R 为定点． 第8题图 C C Q O B B A P R A l n m