试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学思想与方法试题C卷 年月 题号 四 总分 分数 一、填空题（每题3分，共30分） 1.学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段( )0 2.强抽象就是指，通过( )而形成新概念的抽象过程。 3.菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：( ),加入到平行四边 形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。 4.分类必须遵循的原则是( )。 5.面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入 手：演绎证明此猜想为真：或者( ),并且进一步修正或否定此猜想。 6.《几何原本》所开创的( )方法不仅成为一种数学陈述模式， 而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。 7.变量数学产生的数学基础是( ),标志是( ) 8.( )是数学教学的两条主线。 9.深层类比又称实质性类比，它是通过( 而得到的类比。 10.一个概括过程包括( )。 二、判断题（每题2分，共10分） 1.《九章算术》不包括代数、几何内容。 () 2.既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。()
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学思想与方法试题 C 卷 年 月 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1．学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段（ ）。 2．强抽象就是指，通过（ ）而形成新概念的抽象过程。 3．菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：（ ），加入到平行四边 形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。 4．分类必须遵循的原则是（ ）。 5．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入 手：演绎证明此猜想为真；或者（ ），并且进一步修正或否定此猜想。 6．《几何原本》所开创的（ ）方法不仅成为一种数学陈述模式， 而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。 7．变量数学产生的数学基础是（ ），标志是（ ）。 8．（ ）是数学教学的两条主线。 9．深层类比又称实质性类比，它是通过（ ） 而得到的类比。 10．一个概括过程包括（ ）。 二、判断题（每题 2 分，共 10 分） 1．《九章算术》不包括代数、几何内容。 （ ） 2．既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。（ ）
3.对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。 () 4.特殊化是研究共性中的个性的一种方法。 () 5.数学模型方法应用面很窄。 () 三、简答题（每题6分，共30分） 1.简述培养数学猜想能力的途径。 2.简述特殊化方法在数学教学中的应用。 3.什么是归纳猜想？并举一个例子说明。 4.简述概括与抽象的关系。 5.在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题？ 四、解答题（每题15分，共30分） 1.圆周角定理证明思路如下：
3．对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。 （ ） 4．特殊化是研究共性中的个性的一种方法。 （ ） 5．数学模型方法应用面很窄。 （ ） 三、简答题（每题 6 分，共 30 分） 1．简述培养数学猜想能力的途径。 2．简述特殊化方法在数学教学中的应用。 3．什么是归纳猜想？并举一个例子说明。 4．简述概括与抽象的关系。 5．在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题？ 四、解答题（每题 15 分，共 30 分） 1．圆周角定理证明思路如下：
B +0 0 将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：①角的一边落在直径上：②角的两边在某 一直径的两侧：③角的两边在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况①进行证明，然后将 情况②、③转化为情况①分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。 试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。 2.论述《几何原本》思想方法的特点
将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：①角的一边落在直径上；②角的两边在某 一直径的两侧；③角的两边在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况①进行证明，然后将 情况②、③转化为情况①分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。 试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。 2．论述《几何原本》思想方法的特点
参考答案 一、填空题 1.对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类 2.数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想 方法教学目标 3.由类比法推得的结论必然正确。 4.①不重复，②无遗漏，③标准同一 5.寻找反例说明此猜想为假 6.公理化 7.解析几何，微积分 8.数学基础知识和数学思想方法 9.对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析 10.比较、区分、扩张、分析 二、判断题 1.否 2.是 3.是 4.否 5.否 三、简答题 1.答：猜想能力培养可以通过数学教学，如：①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解 题思路的探索等途径来实现。 评分标准： (1)①答对，得2分： (2)②答对，得2分： (3)③答对，得2分： (4)完整答出①②③，得6分。 2.答：①利用特殊值（图形）解选择题：②利用特殊化探求问题结论：③利用特例检验一般 结果：④利用特殊化探索解题思路。 评分标准： (1)①答对，得1.5分：
参考答案 一、填空题 1．对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类 2．数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想 方法教学目标 3．由类比法推得的结论必然正确。 4．①不重复，②无遗漏，③标准同一 5．寻找反例说明此猜想为假 6．公理化 7．解析几何，微积分 8．数学基础知识和数学思想方法 9．对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析 10．比较、区分、扩张、分析 二、判断题 1．否 2．是 3．是 4．否 5．否 三、简答题 1．答：猜想能力培养可以通过数学教学，如：①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解 题思路的探索等途径来实现。 评分标准： （1）①答对，得 2 分； （2）②答对，得 2 分； （3）③答对，得 2 分； （4）完整答出①②③，得 6 分。 2．答：①利用特殊值(图形)解选择题；②利用特殊化探求问题结论；③利用特例检验一般 结果；④利用特殊化探索解题思路。 评分标准： （1）①答对，得 1.5 分；
(2)②答对，得1.5分： (3)③答对，得1.5分： (4)④答对，得1.5分： (5)完整答出①②③④，得6分。 3.答：①人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜 想，这种思想方法称为归纳猜想。②例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它 们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14的猜想。后来数学家从理论上证 明了圆周率的数值为π，果然和3.14很接近。 评分标准： (1)①答对，得3分： (2)②答对，得3分： (3)完整答出①②，得6分。 4.答：①概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物 的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的 对象的概念之间不一定有种属关系。②概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到 认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概 念是表述概括对象概念的一个属概念。③概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分 的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是 抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人就把 “收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。 评分标准： (1)①答对，得2分： (2)②答对，得2分： (3)③答对，得2分： (4)完整答出①②③，得6分。 5.答：为了切实加强数学思想方法教学，还应注意以下几点事项： ①要把数学思想方法的学习纳入教学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教 学过程：②重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标：③做好数 学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作：④不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求： ⑤注意不同数学思想方法的综合运用。 评分标准： (1)①②③每答对一个，得1分：
（2）②答对，得 1.5 分； （3）③答对，得 1.5 分； （4）④答对，得 1.5 分； （5）完整答出①②③④，得 6 分。 3．答：①人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜 想，这种思想方法称为归纳猜想。②例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它 们的比值总是近似地等于 3.14，于是提出了圆周率是 3.14 的猜想。后来数学家从理论上证 明了圆周率的数值为 ，果然和 3.14 很接近。 评分标准： （1）①答对，得 3 分； （2）②答对，得 3 分； （3）完整答出①②，得 6 分。 4．答：①概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物 的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的 对象的概念之间不一定有种属关系。②概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到 认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概 念是表述概括对象概念的一个属概念。③概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分 的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是 抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人就把 “收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。 评分标准： （1）①答对，得 2 分； （2）②答对，得 2 分； （3）③答对，得 2 分； （4）完整答出①②③，得 6 分。 5．答：为了切实加强数学思想方法教学，还应注意以下几点事项： ①要把数学思想方法的学习纳入教学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教 学过程；②重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标；③做好数 学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；④不同类型的数学思想方法应有不同的教学要求； ⑤注意不同数学思想方法的综合运用。 评分标准： （1）①②③每答对一个，得 1 分；
(2)④⑤每答对一个，得1.5分： (3)完整答出①②③④⑤，得6分。 四、解答题 1.答：该证明中用到下面几种数学思想方法： ①将圆周角分成三种情况，用到分类方法： ②先证明角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法： ③将其他两种情况转化为角恰有角恰有一边在直径上的情况，用到化归方法： ④通过对所有三种情况的证明，然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法： ⑤在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。 评分标准： (1)①答对一个，得3分： (2)②答对一个，得3分： (3)③答对一个，得3分： (4)④答对一个，得3分： (5)⑤答对一个，得3分： (6)完整答出①②③④⑤，得15分。 2.答： ①封闭的演绎体系 因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论 据均是公设、公理或前面己经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符 合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的 演绎体系。 另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对 于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。 所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 ②抽象化的内容 《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间 的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之 产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。 ③公理化的方法 《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提， 接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证 明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公 设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法
（2）④⑤每答对一个，得 1.5 分； （3）完整答出①②③④⑤，得 6 分。 四、解答题 1．答：该证明中用到下面几种数学思想方法： ①将圆周角分成三种情况，用到分类方法； ②先证明角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法； ③将其他两种情况转化为角恰有角恰有一边在直径上的情况，用到化归方法； ④通过对所有三种情况的证明，然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法； ⑤在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。 评分标准： （1）①答对一个，得 3 分； （2）②答对一个，得 3 分； （3）③答对一个，得 3 分； （4）④答对一个，得 3 分； （5）⑤答对一个，得 3 分； （6）完整答出①②③④⑤，得 15 分。 2．答： ①封闭的演绎体系 因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论 据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符 合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的 演绎体系。 另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对 于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。 所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 ②抽象化的内容 《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间 的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之 产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。 ③公理化的方法 《几何原本》的第一篇中开头 5 个公设和 5 个公理，是全书其它命题证明的基本前提， 接着给出 23 个定义，然后再逐步引入 和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证 明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公 设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法
评分标准： (1)①②③每答对一个，得5分： (2)完整答出①②③，得15分
评分标准： （1）①②③每答对一个，得 5 分； （2）完整答出①②③，得 15 分