油套管抗挤毁性能的初始后屈曲理论分析

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1997.03.015 第19卷第3期 北京科技大学学报 Vol.19 No.3 1997年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1997 油套管抗挤毁性能的初始后屈曲理论分析 臧勇 潘小川 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要抗挤毁性能是油套管的一项至关重要的性能指标，椭圆度和壁厚不均是存在于油套管中的 初始微小几何缺陷.运用Kotr初始后屈服理论分析承受均匀外压力的长薄壁油套管的后屈曲性 态及其缺陷敏感性，得出承受均匀外压力的长薄壁油套管具有后屈曲稳定性的结论， 关键词袖套管，挤毁，初始后屈曲 中图分类号TE256.9 油套管的抗挤毁性能（以油套管的挤毁压力衡量）是其各类性能参数或指标中极为重要的 一项.油套管产品具有椭圆度、偏心度（或称壁厚不均）等初始几何缺陷，且这些缺陷对油套管 的抗挤毁性能具有不可忽视的影响，亦即油套管的挤毁压力具有缺陷敏感性，，据此观点， 就长薄壁油套管(D120)而言，它在均匀外压力作用下的挤毁压力与其屈曲压力是一致 的，其极限挤毁压力即为此油套管的理论屈曲压力（或称临界压力），随着油套管自身初始几 何缺陷的增加，其相应的挤毁压力急剧下降，然而，在实验室条件下，即使油套管度试样的椭 圆度约为0.5%、壁厚不均度约10%时，所得实验挤毁压力却仍与油套管的理论临界压力十分 接近，这是上述观点无法解释的， 本文应用初始后屈曲理论分析承受均匀外压力的长薄壁油套管的后屈曲性态及其缺陷 敏感性，较好地解释了上述的问题 1基本方程 根据Koiter初始后屈曲理论)，一个系统从前屈曲的基本状态过渡到后屈曲状态的位能 增量泛函数可以写成： Pfu]=U-V (1) 式中，U为系统的应变位能：V为系统的载荷位能：为系统的位移场. 对于油套管，只考虑系统的径向位移函数w(),则u=W,上式可以写成： P[w]=U-V (2) 假设轴线不可伸长，油套管的应变位能与直杆具有相同的形式，经推导可得厚度为h的圆环 位能泛函数为： l d'w P(w] R de? 1- (3) 1996-05-21收稿第一作者男32岁教授硕上 *国家重点技术开发项目

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 的初始后 屈 曲理论分析 ’ 八目口 匕匕 油套管抗挤毁性 减 勇 潘小 北京 科技 大学 机 械工 程学 院 ， 北 京 摘要 抗挤毁性 能是 油 套 管 的 一 项 至 关 重要 的性能指标 椭 圆度和 壁 厚不 均是 存在 于 油套 管 中的 初 始微小 几何缺 陷 运 用 初 始后 屈 服 理论分析承受均匀外压力 的长薄壁 油套管的后 屈 曲性 态及 其缺 陷敏感性 ， 得 出承受均 匀外压力 的 长薄壁油套管具有后 屈 曲稳定性 的结论 关键词 油 套 管 ， 挤毁 ， 初 始后 屈 曲 中图分类号 油 套 管 的抗挤毁性 能 以 油套管 的挤毁 压 力衡量 是其各类性 能参数 或指 标 中极 为重要 的 一项 油套管产 品具 有椭 圆度 、 偏 心 度 或称壁 厚不 均 等初始几何 缺 陷 ， 且这 些 缺 陷对油套管 的抗 挤毁 性 能 具 有 不 可 忽 视 的影 响 ， 亦 即油 套 管 的挤毁 压 力具 有 缺 陷敏 感 性 〔’， 据此观 点 ， 就 长 薄壁 油 套 管 而 言 ， 它 在 均 匀 外 压 力 作 用 下 的挤 毁 压 力 与其 屈 曲压 力 是 一 致 的 其极 限挤 毁 压 力 即为 此 油 套 管 的理 论 屈 曲压 力 或称 临界 压 力 ， 随着 油套 管 自身初 始 几 何 缺 陷 的增 加 ， 其相 应 的挤 毁 压 力 急剧 下 降 然 而 ， 在 实 验 室 条 件 下 ， 即 使 油 套 管 度 试 样 的椭 圆度 约 为 、 壁 厚不 均度 约 时 ， 所得 实验挤毁 压力却仍 与油套管 的理论 临界 压力 十分 接近 ， 这是 上述 观 点无法解 释 的 本 文 应 用初 始 后 屈 曲理 论分 析承 受均 匀 外 压 力 的 长薄壁 油 套 管 的后 屈 曲性 态及 其缺 陷 敏感性 ， 较好地解 释 了上 述 的 问题 基本方程 根 据 初 始后 屈 曲理 论 ， 一个 系 统从前屈 曲的基 本状态 过 渡到后 屈 曲状态 的位 能 增 量 泛 函 数 可 以 写 成 八 一 式 中 ， 为 系 统 的应 变位 能 为系 统 的载荷 位 能瓜为系 统 的位移 场 对于 油 套管 ， 只 考虑 系统 的径 向位 移 函数 ， 则 云一 、 ， 上 式 可 以 写 成 八司 一 假 设轴线 不 可 伸长 ， 油 套管 的应 变 位 能 与直 杆 具 有 相 同的形 式 ， 经 推 导 可 得 厚 度 为 的 圆环 位 能泛 函 数为 ，一 类 严 廿 一 万 艺 林 ， 二 十 ，二百 代下 入 片 ‘ 一 终 钊勺八 ︺︵ ， 兀 钊勺八 一 一 ，饰一口 了、、 一 一开 曰 一一 河 一 一 一 收稿 第一作者 男 岁 教授 硕 上 国家重 点技术开 发项 目 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1997．03．015

·292· 北京科技大学学报 1997年第3期 式中：R为圆环半径，E为弹性模量，I为惯性矩，p为压力.展开(3)式，保留至四阶泛函 数，化简整理后，有： PIw]P,[w]P.[w]P [w] (4) 其中： P=0+-号引t+” (5) pi时是∫+“泗-c+” (6) Pl-+”-w+“出 (7) 2临界载荷 将二阶泛函(5)式中的被积函数记为F,即： F=是(m+w”y-号w+w”) (8) 根据二阶泛函数最小值条件，即二阶泛函一阶变分为零： ò(Pw])=0 (9) 可以得到欧拉(Euler)方程： 是+( 是-pw”+(层-pjm=0 (10) 考虑相应的边界条件，求解此常系数微分方程，可以得到满足条件的最小特征函数： W。=ACc0s20 (11) 式中，A为常数. 将(11)式代入(10)式，有： 4eos2+(20-pj小4eos29”+(层-p）Aos20=0. 得：是+p=0. 最后有： p=pre =-3E1 R (12) 式(12)即为薄壁圆环的在均匀外压作用下的临界屈曲压力？).对于长薄壁圆柱壳套管，令： n1-份D=2K=名 E=1- (13) 式中，4为泊松比. 将(13)式代入(12)式，即可得到承受均匀外压作用的长薄壁套管的临界屈曲压力： .=- 2EK (14) 所得结果与经典理论完全一致

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 式 中 为 圆 环 半 径 ， 为 弹性 模 量 ， 为 惯 性 矩 ， 为压 力 展 开 式 ， 保 留至 四 阶泛 函 数 ， 化 简整理 后 ， 有 河 凡 凡 凡 ‘ 其 中 。 〔 ，一 晶丁 冗 一 ’ 一 号丁 “ · 。 几 一卜 箫丁 忱 “ 一 轰丁 兀 · 。 。 。 卜 纂丁 “ · 一 鑫丁 ’ “ “ 临界 载荷 将二 阶泛 函 式 中的被积 函数记 为 ， 即 一 暴 “ ’ 一 号 “ 根 据二 阶泛 函数最小值条件 ， 即二 阶泛 函一 阶变分为零 凡 可 以 得 到 欧拉 方 程 ，、 ， 了 、 。 了 、 两 ’ 又下 一 火两 一 一 ” 考虑 相 应 的边 界 条件 ， 求解 此 常系数微分方 程 ， 可 以得 到 满足条件 的最小 特征 函 数 式 中 ， 。 为常数 将 式 代 人 式 ， 有 令 ，。一 。 · 等 一 ， 一 。 · 箫 一 ， 凡一 。 一 。 ， ‘ 尸 十 助 ， 最 后 有 二 一 一石犷 、 式 即 为薄壁 圆环 的在 均 匀外压作 用下 的临界 屈 曲压力勿刁 ， ， ， ， 七 二 二 ， ，二 ， 刀 乙找 ， 二二 一 群 ‘ 对于 长薄壁 圆柱 壳套管 ， 令 式 中 ， 群 为泊松 比 将 式 代入 式 ， 即可 得 到承 受 均 匀外 压作用 的长薄壁 套管 的临界屈 曲压力 ， 二 一 了二不 所得 结果 与 经典理 论完全 一致

Vol.19'o.3 减勇等：油套管抗挤毁性能的初始后屈曲理论分析 ·293· 3后屈曲性态 为考察薄壁圆环在均匀外压力作用下的后屈曲性态（长薄壁套管与薄壁圆环具有相同的 后屈曲性态)，令p=- 是，并将其代人（⑤）.（向和(）式，得： p,,动=0[J+x"+m+m”] (15) P,w,]= {[mtr+m9+w+w (16) p[w,]= +a+∫+w” (17) 将(11)式所表示的屈曲模态分别代入上面的(16)和(17)式，则有： p-+w9+∫+ w]- {[,+防+，+ 因为1。=1，所以上面2式可以整理得： 9EIA2元 27EIAπ p,w=2RJ 2000pco20 9EIA 又因为： p,[w。J=0 p.[w l>oS (18) 满足分叉点稳定条件，并且假设与屈曲载荷相邻的载荷（载荷因子1）作用下，其屈曲模态辐 值a,则有： Fa,)=(-,F(a+F,(a (19) 由于所研究的系统为单一屈曲模态，故在上式中： F(a)=A,a2) F(a)=Aa (20) 其中，4=小-益p小=-9限，=p小=眼 9EIA6π 27EIA 把A2和A的值代入(20)式，再将(20)式代人(19)式，得： 动=-(-9g)+” 2 利用驻值定理，因为》 =0,所以有： [--+]- 则所求屈曲模态幅值为：

减 勇等 油 套管抗挤毁性 能 的初 始后 屈 曲理 论分 析 后屈 曲性态 为 考 察薄壁 圆环 在均 匀外 压 力作 用下 的后 屈 曲性 态 长薄壁 套管 与薄壁 圆环具 有 相 同的 一 、户尹， 口‘、 ，目盆 了、 后 屈 曲性 都 勺 一 碧 ， 并 将其代入 ， 和 式 ， 得 ， ， 、 ， 、 〕 一 黑「 “ 。 、 、 、 ， · ， 、 、 ’ 兀 ，， 十 、， · 胡 ‘ 八 「「 兀 。 、 ， ， 又 “ ， 。 、 ， 汉 诺 日 。 · “ ‘ 等 。 · “ 犷 ’ ‘ “ ， 日 尸 。 ’ 甲 、 ’ 甲 ” 少 一 ’ 。 ” 、 ’ ’ 卜 少“ “ 月 「 冗 ， ，， 、 ， 「 “ ， 。 、 ， ， 又 戈气誉 。 · 。 ， ，， ， “ 艺 又 。 ， “ 尸 。 ” 、 ” ’ 少 一 ’ ‘ “ 。 ” 、 ’ 一 产一 」 将 式所 表 示 的屈 曲模态分别代 人 上 面 的 和 式 ， 则有 ，， 〔 。卜 纂工 代 一。 。 。 警丁 孔 一 。 一 。 〕 ， 〔 。卜 纂 厂 一 。 胡 、 。 丁 “ 。 · 胡」 因 为 又。 ， 所 以 上 面 式 可 以 整理 得 夕 。 月 尸 飞 。 ’ “ 一 ‘’ 「” ’ 。， 鹦尸 汀 月言 兀 一 牙 又 因为 、」刀龟 一 ， 八曰 ‘ ，、月、 满足 分 叉 点稳定 条件 ， 并 且 假设 与屈 曲载荷 相 邻的 载荷 载 荷 因子几 作 用 下 ， 值 。 ， 则有 ， 又 一 份 一 又。 凡 凡 由于 所研 究 的系 统 为单 一屈 曲模态 ， 故在 上 式 中 其 屈 曲模 态 幅 〔， 只 二 成 护 、矛口 凡 一 ， ‘ 其 中 ， ， 一 ， 〔 。 〕 一 最 ， 卜， ， 。 】 去丫月孟 “ 尸 夕 ，，。 月 “ 牙 把 和 的值代人 式 ， 再将 式代人 式 ， 得 月兀 月是兀 ， 们 二 以 一 几 、 一 一 丫 十 一 “ “ 。 片 扮 ’ 利 用 驻 值定理 ， 因为旦黑竺 ， 所 以 有 一 ， 飞 “ ，‘ 、 、产 ， ， 、 了 而 协 一 几。，又 月孟” 尸 言 “ 牙 则所求屈 曲模 态 幅值 为

·294· 北京科技大学学报 1997年第3期 =+V3R -1) 3A,V (22) 显然，当结构必生屈曲以后，1将随着最大位移幅值α的增加而增加，亦即当作用在结构 上的载荷超过其临界屈曲压力之后，结构仍具有承载能力.换而言之，由于A,=0且A,>0, 所研究的薄壁圆环在均匀外压力作用下的后屈曲性态是稳定的.这是与经典的线性理论截然 不同的结论.在经典线性理论中，结构临界屈曲压力值是其所能承受的载荷的上限.这可以较 好地解释所研究的油套管实际挤毁压力与其理论临界值之间的关系.· 利用后屈曲性态的稳定性不难证明，在均匀外压作用下的长薄壁油套管结构在具有初始 微小几何缺陷时，并不因此而降低其临界屈曲压力，即结构对初始微小几何缺陷无敏感性， 就工程实际而言，过分追求产品的几何精度（或公差）以提高油套管抗挤毁性能的观点或行为 值得商榷.至于有关公差的具体定量关系，尚待进一步的研究， 4结论 (1)承受均匀外压力的长薄壁油套管具有后屈曲稳定性，即当外载荷达到或超过结构的 临界屈曲压力时，结构尚具一定的承载能力 (2)承受均匀外压力的长薄壁油套管对其自身存在的微小初始几何缺陷（椭圆度和壁厚 不均)无敏感性， (3)相对于传统理论而言，初始后屈曲理论可以较好地解释所研究的油套管实际挤毁压 力与其理论临界值之间的关系， 参考文献 1郝俊芳，龚伟安.套管强度计算与设计.北京：石油工业出版社，1987 2 Issa J A,Crawford D S.An Improved Design Equation for Tubular Collapse.163245 SPEUT 3 Koiter W T.The Nonlinear Buckling Problem of A Complete Spherical Shell under Uniform Extemal Pressure.In:Proc Kon Nederl Acad.Wet Amsterdam,1969.B72 4范钦珊.初始后屈曲理论及其应用.见：结构和材料的不稳定性研讨会文献汇编.北京：科学出版社，1994 5潘小川.油套管的抗挤毁性能及其缺陷敏感性研究：【学位论文].北京：北京科技大学，1996.3 Theoretical Study on the Collapse Property of.Casing Zang Yong Pan Xiaochuan Mechanical Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Koiter's Initial Postbuckling Theory is applied to analyse the long thin-walled casing under uniform external pressure,from which it is concluded that the long thin-walled casing under uniform external pressure owns postbuckling stablity. KEY WORDS casing,collapse,initial postbuckling

减 勇等 油 套管抗挤毁性 能 的初 始后 屈 曲理 论分 析 后屈 曲性态 为 考 察薄壁 圆环 在均 匀外 压 力作 用下 的后 屈 曲性 态 长薄壁 套管 与薄壁 圆环具 有 相 同的 一 、户尹， 口‘、 ，目盆 了、 后 屈 曲性 都 勺 一 碧 ， 并 将其代入 ， 和 式 ， 得 ， ， 、 ， 、 〕 一 黑「 “ 。 、 、 、 ， · ， 、 、 ’ 兀 ，， 十 、， · 胡 ‘ 八 「「 兀 。 、 ， ， 又 “ ， 。 、 ， 汉 诺 日 。 · “ ‘ 等 。 · “ 犷 ’ ‘ “ ， 日 尸 。 ’ 甲 、 ’ 甲 ” 少 一 ’ 。 ” 、 ’ ’ 卜 少“ “ 月 「 冗 ， ，， 、 ， 「 “ ， 。 、 ， ， 又 戈气誉 。 · 。 ， ，， ， “ 艺 又 。 ， “ 尸 。 ” 、 ” ’ 少 一 ’ ‘ “ 。 ” 、 ’ 一 产一 」 将 式所 表 示 的屈 曲模态分别代 人 上 面 的 和 式 ， 则有 ，， 〔 。卜 纂工 代 一。 。 。 警丁 孔 一 。 一 。 〕 ， 〔 。卜 纂 厂 一 。 胡 、 。 丁 “ 。 · 胡」 因 为 又。 ， 所 以 上 面 式 可 以 整理 得 夕 。 月 尸 飞 。 ’ “ 一 ‘’ 「” ’ 。， 鹦尸 汀 月言 兀 一 牙 又 因为 、」刀龟 一 ， 八曰 ‘ ，、月、 满足 分 叉 点稳定 条件 ， 并 且 假设 与屈 曲载荷 相 邻的 载荷 载 荷 因子几 作 用 下 ， 值 。 ， 则有 ， 又 一 份 一 又。 凡 凡 由于 所研 究 的系 统 为单 一屈 曲模态 ， 故在 上 式 中 其 屈 曲模 态 幅 〔， 只 二 成 护 、矛口 凡 一 ， ‘ 其 中 ， ， 一 ， 〔 。 〕 一 最 ， 卜， ， 。 】 去丫月孟 “ 尸 夕 ，，。 月 “ 牙 把 和 的值代人 式 ， 再将 式代人 式 ， 得 月兀 月是兀 ， 们 二 以 一 几 、 一 一 丫 十 一 “ “ 。 片 扮 ’ 利 用 驻 值定理 ， 因为旦黑竺 ， 所 以 有 一 ， 飞 “ ，‘ 、 、产 ， ， 、 了 而 协 一 几。，又 月孟” 尸 言 “ 牙 则所求屈 曲模 态 幅值 为