线性分组码
线性分组码
要求掌握的内容 ·线性分组码的定义及性质 ·码的一致校验矩阵和生成矩阵 ·码的伴随式、标准阵列及译码 ·汉明码及译码
要求掌握的内容 • 线性分组码的定义及性质 • 码的一致校验矩阵和生成矩阵 • 码的伴随式、标准阵列及译码 • 汉明码及译码
第一节线性分组码基本概念 ·线性空间 ·线性分组码定义 ·生成矩阵 ·校验矩阵 ·对偶码、系统码和缩短码
第一节 线性分组码基本概念 • 线性空间 • 线性分组码定义 • 生成矩阵 • 校验矩阵 • 对偶码、系统码和缩短码
一、线性空间
一、线性空间
定义1（线性空间）：如果域F上的n重元 素集合V满足下述条件： 1)V关于加法构成阿贝尔群 2)对于V中的任意元素和F中任意元素c, cv一定属于集合V(数乘运算) 3)分配律成立 4)结合律成立 称V是域F上的一个n维线性空间
• 定义1(线性空间)：如果域F上的n重元 素集合V满足下述条件： 1) V 关于加法构成阿贝尔群 2) 对于V中的任意元素v和F中任意元素c， cv一定属于集合V(数乘运算) 3) 分配律成立 4) 结合律成立 称V是域F上的一个n维线性空间
● 定义2（张成）：给定线性空间V和V中的一 个子集$，若V中的任意一个矢量均可用 S中的矢量线性组合生成，则称S张成了 矢量空间V。 ·定义3（基底和维数）：给定线性空间V, 能张成该空间的线性独立矢量的集合成 为V的基底，而线性独立矢量的数目称为 V的维数
• 定义2(张成)：给定线性空间V和V中的一 个子集S，若V中的任意一个矢量均可用 S中的矢量线性组合生成，则称S张成了 矢量空间V。 • 定义3(基底和维数)：给定线性空间V， 能张成该空间的线性独立矢量的集合成 为V的基底，而线性独立矢量的数目称为 V的维数
二、线性分组码基本概念 ·定义：[n,线性分组码是GF(g)上的n维线性空间 中的一个k维子空间。 2n 2k
• 定义：[n, k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间 中的一个k维子空间。 2 k 2 n 二、线性分组码基本概念
性质：[n,kd线性分组码的最小距离等于非 零码字的最小重量 d=min w(C:) C,∈[n,k]
min ( ) [ , ] i C n k d w C i = •性质：[n,k,d]线性分组码的最小距离等于非 零码字的最小重量
给定参数n、k和d 如何根据k个信息比特来确定对应的-k个校验比特？ 一利用校验矩阵 一利用生成矩阵
如何根据k个信息比特来确定对应的n-k个校验比特？ ——利用校验矩阵 ——利用生成矩阵 给定参数n、k和d
三、码的生成矩阵 一从线性空间的角度描述分组码
三、码的生成矩阵 ——从线性空间的角度描述分组码