N State Key Laboratory of Integrated Services Networks 国家重点实验室 第二部分代数引论
State Key Laboratory of Integrated Services Networks 第二部分 代数引论
国家垂点实验室 要求掌握的内容 。群 。环的概念 。域的概念 ·会判断 。子群、陪集的概念 ·线性空间的概念
要求掌握的内容 群 环的概念 域的概念 会判断 子群、陪集的概念 线性空间的概念
国家重点实验室 欧几里德除法 。设b是正整数，则任意正整数a>b皆可唯一地表示 成 M=gb+r0≤r<b
欧几里德除法 设b是正整数，则任意正整数a > b皆可唯一地表示 成 a = qb + r 0≤ r < b
最大公约数、欧几里德算法、最小 国家重点实验室 公倍数 同时除尽4，b,.,l(不全为0)的正整数，称为☑，b,.,l 的公约数，其中最大者称为最大公约数，用 (a,b.…,)或者GCD(a,b,.0表示。若(，b,)=1,则 称4，b,.,互素。 ●名 给定两正整数a,b,且>b,若=bgq+r,则(4，b)=(b, )—根据该定理可以求2个数的最大公约数 欧几里德算法：给定任意正整数，b,必存在有整 数A,B使(a,b)=A+Bb 最小公倍数：设，b为任意两个正整数，若有一整 数M使aM,bM,则称M是a,b的公倍数，其中最 小的正公倍数称为最小公倍数，记为[☑，b]或 LCM(4,b)
最大公约数、欧几里德算法、最小 公倍数 同时除尽a,b,…,l(不全为0)的正整数，称为a,b,…,l 的公约数，其中最大者称为最大公约数，用 (a,b,…,l)或者GCD(a,b,…l)表示。若(a,b,…,l)=1,则 称a,b,…,l互素。 给定两正整数a, b, 且a>b，若a=bq+r，则(a, b)=(b, r)——根据该定理可以求2个数的最大公约数 欧几里德算法：给定任意正整数a,b，必存在有整 数A，B使 (a, b) = Aa+Bb 最小公倍数：设a,b为任意两个正整数，若有一整 数M使a|M, b|M，则称M是a,b的公倍数，其中最 小的正公倍数称为最小公倍数，记为[a, b]或 LCM(a, b)
国家重点实验室 同余和剩余类 同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则 称a、b关于模m同余，记为 a≡b(modm) 剩余类(Residue):给定正整数m,可将全体整数按余数相 同进行分类，可获得个剩余类，分别用 0,1,,m-1 a+b-a+b,a.b-a.b
同余和剩余类 同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则 称a、b关于模m同余，记为 a b(modm) 剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按余数相 同进行分类，可获得m个剩余类，分别用 0,1,,m −1 a + b = a + b, a b = a b
国家重点实验室 群(Group)的定义 设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 。”, 若满足： 1)封闭性。对任意a,b∈G,恒有aob∈G 2)结合律。对任意a,b,c∈G,恒有(aob)c=ao(boc) 3)G中存在一恒等元e,对任意a∈G,使aoe=eoa=a 4)对任意a∈G,存在a的逆元a1∈G,使 a0a1=a1。a=e 则测称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
群(Group)的定义 设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足： 1) 封闭性。对任意 a,bG ，恒有 a bG 2) 结合律。对任意 a,b,cG ，恒有 (a b) c = a (b c) 3) G中存在一恒等元e,对任意 a G ，使 a e = e a = a 4) 对任意 a G a a = a a = e − − 1 1 ，存在a的逆元 a G −1 ，使 则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
国家重点实验室 Examples 1、全体整数 对加法构成群 对乘法不构成群 2、全体偶数 对加法构成群 对加法构成群 3、全体实数 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 4、全体复数 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 5、全体有理数对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 6、模m的全体剩余类，0,1，，m-1对模m加法构成群 对模m乘法，除0外， 根据m值不同
Examples: 1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 6、模m的全体剩余类, 0,1,,m −1 4、全体复数 5、全体有理数 对加法构成群 对乘法不构成群 对加法构成群 对加法构成群 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 对模m加法构成群 对模m乘法，除0外， 根据m值不同
国家重点实验室 有关群的几个概念 群的阶(Order of a Group) o有限群(Finite Group)无限群(Infinite Group) 。加群、乘群 。阿贝尔群(Abel Group) 。半群、若群
有关群的几个概念 群的阶(Order of a Group) 有限群(Finite Group)、无限群(Infinite Group) 加群、乘群 阿贝尔群(Abel Group) 半群、若群
国家重点实验室 群 群G的单位元是唯一的 0 群中每个元素的逆元是唯一的 。若4，b∈G,则(a*b)1=b-1*1 。给定G中任意两个元素a和b,方程a*x=b和y*a=b 在G中有唯一解 。令G为二元运算*下的一个群，H为G的一个非空 子集，若)H在二元运算*下封闭，)H中任意 元素a,a的逆元仍在H中，则H是G的一个子群
群 群G的单位元是唯一的 群中每个元素的逆元是唯一的 若a,b∈G，则(a*b) -1=b -1*a -1 给定G中任意两个元素a和b，方程a*x=b和y*a=b 在G中有唯一解 令G为二元运算*下的一个群，H为G的一个非空 子集，若 i) H在二元运算*下封闭，ii）H中任意 元素a，a的逆元仍在H中，则H是G的一个子群
国家重点实验室 四、环(Ring)的定义 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘， 且满足： )集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2)乘法有封闭性 3)乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律
四、环(Ring)的定义 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘， 且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律
