国家重点实验室 第四章多项式环与有限域
第四章 多项式环与有限域
N 国家重点实验室 一、子环与理想 。子环：若环中的子集S,关于R中的代数运算也 构成环，则称S是R的子环，R是S的扩环 。理想：S是交换环R的一个子环，若S中的元素 由某几个元素及其所有可能的倍元构成，则$ 是一个理想 主理想：若理想中的元素由一个元素的所有倍 数及其线性组合生成，则称这个理想为主理想。 剩余类环：设R是可换环，为R的一个理想， 则R模构成一个可换环，称它为环R以理想为 模的剩余类环M
一、子环与理想 子环：若环中的子集S，关于R中的代数运算也 构成环，则称S是R的子环，R是S的扩环 理想：S是交换环R的一个子环，若S中的元素 由某几个元素及其所有可能的倍元构成，则S 是一个理想 主理想：若理想中的元素由一个元素的所有倍 数及其线性组合生成，则称这个理想为主理想。 剩余类环：设R是可换环，I为R的一个理想， 则R模I构成一个可换环，称它为环R以理想I为 模的剩余类环M
国家重点实验室 二、多项式（一) 多项式x)=fx"+fm-x-1+..+fx+f术 其中f∈FpO,l,n,该多项式称为域F,n上的多项式 ● 多项式次数degfx):系数不为零的x的最高次数 称为多项式fx)的次数 。首一多项式：最高次数的系数为1的多项式 。既约多项式：设fx)是次数大于零的多项式，若除 常数和常数与本身的乘积以外，再不能被域F,上 的其他多项式整除，则称fx)为域F,上的既约多 项式 多项式的因式分解问题、根的问题 。最大公因式与最小公倍式
二、多项式（一） 多项式 f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0 多项式次数 degf(x)：系数不为零的x的最高次数 称为多项式f(x)的次数 首一多项式:最高次数的系数为1的多项式 既约多项式:设f(x)是次数大于零的多项式，若除 常数和常数与本身的乘积以外，再不能被域Fp上 的其他多项式整除，则称f(x)为域Fp上的既约多 项式 多项式的因式分解问题、根的问题 最大公因式与最小公倍式 其中 i Fp f i=0,1,…n，该多项式称为域Fp上的多项式
N 二、多项式（二） 国家重点实验室 Ax)fx"+x+xf fi∈Fp g(c)=8x"+8m-1xn-1+..+g1x+80 8,∈Fp 若对所有i,fg。则孔x)=g(x) 多项式加法 fx)+g(x)=(f+gn)x"+(fn-1+8n-1)xm-1+...+(f+g1)x+(fo+go) 多项式乘法 fx)g(x)hm1+..h f8 i=0,1,22,m,n≥m j=0 h j8 i=m+1,m+2,..,m+n gi- 结论：按上述定义的加法和乘法运算，Fx构成一个具有单位 元、无零因子的可换环
二、多项式（二） f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0 i Fp f g(x)=gnx n+ gn-1x n-1+…+ g1x+g0 gi Fp 若对所有i, f i=gi , 则f(x)=g(x) 多项式加法 f(x)+g(x)=(fn + gn )x n+ (fn-1+ gn-1 )xn-1+…+ (f1 + g1 )x+(f0+ g0 ) 多项式乘法 f(x)g(x)=hn+mx n+m+hn+m-1x n+m-1+…+h1x+h0 0 0,1,2,..., , 1, 2,..., i j i j j i n j i j j i m f g i m n m h f g i m m m n − = − = − = = = + + + 结论：按上述定义的加法和乘法运算，Fp [x]构成一个具有单位 元、无零因子的可换环
国家重点实验室 三、多项式剩余类环 。定义：以一个Fn上的多项式fx)=∫x+fm-x-1+.…+ x+f为模的剩余类全体构成一个多项式剩余类环 Fn上的所有次数小于n-l的多项式构成n次多项式的 剩余类全体 剩余类之间的加法和乘法运算规则 a(x)+b(x)=a(x)+b(x) ax)·bx)=ax)·b(x)
三、多项式剩余类环 定义：以一个Fp上的多项式f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0为模的剩余类全体构成一个多项式剩余类环 Fp上的所有次数小于n-1的多项式构成n次多项式的 剩余类全体 a(x) + b(x) = a(x) + b(x) a(x) • b(x) = a(x) • b(x) 剩余类之间的加法和乘法运算规则
国家重点实验室 o Examples 1、GF(2)上的多项式fx)=x2+1的剩余类全体为： 0,1,x,x+1 2、GF(2)上的多项式fx)=x2+x+1的剩余类全体为： 0,1,x,x+1 对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环，后者构成域 结论：若n次首一多项式fx)在域F,上既约，则fx)的剩余类环构成 一个有p"个元素的有限域
Examples 1、GF(2)上的多项式 f(x)=x 2+1的剩余类全体为： 0,1, x, x +1 2、GF(2)上的多项式 f(x)=x 2+x+1的剩余类全体为： 0,1, x, x +1 对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环，后者构成域 结论：若n次首一多项式f(x)在域Fp上既约，则f(x)的剩余类环构成 一个有p n个元素的有限域
国家重点实验室 两个结论 。多项式环Fx]的一切理想均是主理想 。多项式剩余类环F[x]/x)中的每一个理想都是主 理想
两个结论 多项式环Fp [x]的一切理想均是主理想 多项式剩余类环Fp [x]/f(x)中的每一个理想都是主 理想
国家重点实验室 四、循环群 。循环群的定义 。循环群的构造及性质 。循环群中元素级的性质
四、循环群 循环群的定义 循环群的构造及性质 循环群中元素级的性质
国家重点实验室 循环群的定义 定义：由一个单独元素的所有幂次所构成的群称 为循环群，该元素为循环群的生成元 注： 1、幂次的含义与在群上所定义的运算有关。若定 义加法运算，幂运算为连加运算；若定义乘法运 算，则幂运算为连乘。 2、循环群的生成元不止一个。 3、凡是循环群必是可换群
循环群的定义 定义：由一个单独元素的所有幂次所构成的群称 为循环群，该元素为循环群的生成元 注： 1、幂次的含义与在群上所定义的运算有关。若定 义加法运算，幂运算为连加运算；若定义乘法运 算，则幂运算为连乘。 2、循环群的生成元不止一个。 3、凡是循环群必是可换群
国家 *Examples: 模4剩余类全体关于加法运算构成循环群，生 成元为1和3。 模5全体非零剩余类关于乘法构成循环群，生 成元为2和3
Examples: 模4剩余类全体关于加法运算构成循环群，生 成元为1和3。 模5全体非零剩余类关于乘法构成循环群，生 成元为2和3