国家重点实验室 第2章随机过程 2.1随机过程的基本概念和统计特性 2.2平稳随机过程 2.3高斯随机过程 2.4随机过程通过线性系统 2.5窄带随机过程 2.6正弦波加窄带高斯噪声 返回主且录
2.1随机过程的基本概念和统计特性 2.2平稳随机过程 2.3高斯随机过程 2.4随机过程通过线性系统 2.5窄带随机过程 2.6正弦波加窄带高斯噪声 第 2 章随机过程 返回主目录
国家重点实验室 本章要求： ◆随机过程的基本概念和数字特征（均值、方差、相关 函数)； ◆平稳、高斯、窄带、正弦波加窄带高斯过程的统计特 性 ◆随机过程通过线性系统 ◆高斯白噪声和带限白噪声 西安皂子积科接大学
本章要求： 随机过程的基本概念和数字特征（均值、方差、相关 函数）； 平稳、高斯、窄带、正弦波加窄带高斯过程的统计特 性 随机过程通过线性系统 高斯白噪声和带限白噪声 西安电子科技大学
国家重点实验室 2.1随机过程的基本概念和统计特性 2.1.1随机过程 自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。一类是其 变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用 数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间的确定函 数来描述，这类过程称为确定性过程。例如，电容器通过电 阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性 函数。而另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次 对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间的确定函数来 描述，这类过程称为随机过程。下面我们给出一个例子：
2.1 随机过程的基本概念和统计特性 2.1.1随机过程 自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。一类是其 变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用 数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函 数来描述，这类过程称为确定性过程。例如，电容器通过电 阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性 函数。而另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次 对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来 描述，这类过程称为随机过程。下面我们给出一个例子：
设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境 和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解 为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测)。测试结 果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的条曲线中找不 到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随 时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。 由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：设S(k=1, 2,)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本 函数或实现)，记作x①，所有可能出现的结果的总体{x(①)， x2(),…,X(),…}就构成一随机过程，记作ξ)。简言之，无 穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图2-1所示
设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境 和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解 为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结 果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不 到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随 时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。 由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本 函数或实现），记作xi (t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之， 无 穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图 2 - 1 所示
S 国家重点实验室 样本空间 G 图21样本函数的总体
图 2- 1样本函数的总体
国家重点实验室 显然，上例中接收机的输出噪声波形也可用图2·1表示。 我们把对接收机输出噪声波形的观测可看作是进行一次随机 试验，每次试验之后，)取图2-1所示的样本空间中的某一 样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法 预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体 现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定的 某一观察时刻t,全体样本在t时刻的取值ξt)是一个不含变 化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间 参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间 函数的特点。下面将会看到，在研究随机过程时正是利用了 这两个特点
显然，上例中接收机的输出噪声波形也可用图 2 - 1 表示。 我们把对接收机输出噪声波形的观测可看作是进行一次随机 试验，每次试验之后，ξ(t)取图 2 - 1 所示的样本空间中的某一 样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法 预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体 现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定的 某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变 化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间 参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间 函数的特点。下面将会看到，在研究随机过程时正是利用了 这两个特点
国家重点实验室 2.1.2随机过程的统计特性 随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的 方法，来描述它的统计特性。 设ξ()表示一个随机过程，在任意给定的时刻，∈T,其 取值()是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量()小 于或等于某一数值x的概率P[t)SX1],简记为F1(&1,t1), 即F1(x,t=P[t)x1] (2.1-1) 式(2.1-1)称为随机过程()的一维分布函数
2.1.2随机过程的统计特性 随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的 方法， 来描述它的统计特性。 设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值ξ(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1)小 于或等于某一数值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，简记为F1(x1, t1)， 即F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ (2.1 - 1) 式(2.1 - 1)称为随机过程ξ(t)的一维分布函数
如果F(X,t)对x的偏导数存在，即有 国家重点实验室 aF(x1,4 8x1 2=f(x,4) 则称f(飞，t)为（①的一维概率密度函数。显然，随机过程的 维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个 孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之 间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。 任给两个时刻t,2∈T,则随机变量t)和(t2)构成一个二 元随机变量{(t),(t)},称 F2(K1x2;t1,t2)=P{t1)Xx1,t2)X2】 (2.1-3) 为随机过程ξ()的二维分布函数。如果存在
1 11 1 11 1 ( ,) ( ,) Fxt f xt x ∂ = ∂ 则称f1(x1, t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的 一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个 孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之 间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二 元随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，称 F2(x1,x2; t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2｝ (2.1 - 3) 为随机过程ξ(t)的二维分布函数。 如果存在 如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有
国家重点实验室 a2F(x1,x2,42) Ox1·ox2 =f5(xx4) 则称f(x,X2;t1,2)为t)的二维概率密度函数。 同理，任给t1,t2,,t∈T,则()的n维分布函数被定义为 Fn(&1,X2,,Xnt1,2,,tn)=P{5(t1)X1,5(t2)X2,…,ξtn)Xn} a2F(x3h）=f(x,x2,x,1） ax1·Ox2.0xm
2 2 1 2 1, 2 2 1 212 1 2 (, ; ) ( , ;, ) F x x tt f xxtt x x ∂ = ∂ ⋅∂ 则称f2(x1,x2; t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。 同理，任给t1, t2, …, tn ∈T, 则ξ(t)的n维分布函数被定义为 Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝ 2 1 2 1, 2 1 2 12 1 2 ( , ...; ..., ) ( , ..., ; , ..., ) ... ∂ = ∂ ⋅∂ ∂ n n n nn n F x x tt t f xx xtt t xx x
国家重点实验室 则称fn(X1,X2,,Xn,t1,t2,,n)为(t)的n维概率密度函数。显 然，越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题 的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函 数就己经足够了
则称fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。显 然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题 的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函 数就已经足够了