西安电子科技大学：《信号检测与估值》课程教学资源（课件讲稿，2019）第三章 统计信号估计（主讲：郑贱平）

信号检测与估值2019年秋季 西电通院郑贱平 第三章：统计信号估计 3.1问题描述 3.2随机参量的Bayes估计 3.3ML估计 3.4估计量的性质 3.5线性最小均方误差估计 3.6最小二乘估计

信号检测与估值 2019年秋季 西电通院郑贱平 第三章：统计信号估计 3 1. 问题描述 3.2 随机参量的Bayes估计 3.3 ML估计 3.4 估计量的性质 3.5 线性最小均方误差估计 3.6 最小 乘估计 二

3.1问题描述（信道估计为例) ·数字通信数据帧结构 收发端已知 D=NP接收端未知 PP+1 导频xp 数据xD hp,p=l,…,P ha,d=l,…,D Phase I:信道估计 Phase:信号检测 。信道估计：根据yp、Xp以及hp的统计信息，估计hp,即： (yp,xp,stat_info(hp)→hp(如yp=hpxp+w) ●可行性：一般信道都是slowly time varyingl的（相干时间>>时延要 求)，因此hh。 ·其他估计问题：载波频率、相位、时延等 信号检测与估值2019年秋季 2

3.1 问题描述（信道估计为例） 数字通信数据帧结构 D=N-P xP xD 1 P P+1 N hp, p=1, ,P hd, d=1, ,D 信道估计：根据yP、xP以及hP的统计 信息，估计hP，即： Phase I Phase II (yP, xP, stat_info(hP))hP （如yP=hPxP+w) 可行性：一般信道都是slowly time varying的（相干时间>>时延要 求），因此h ≈h 信号检测与估值 2019年秋季 2 求），因此hd≈hp 其他估计问题：载波频率、相位、时延等

建模 参量空间0 观测空间R p(xo 估计规则 0(x) >参量空间：需要接收端作出估计的参量集合 >观测空间：接收端收到的观测信号的集合 >概率映射：信源发送信号到接收端过程中，会有噪声的影响，观测信号中 包含被估计矢量的信息，所以观测信号是以被估计矢量为参 数的随机矢量，用pxO)来描述。 信号检测与估值2019年秋季

建模 参量空间 θ 观测空间R px θ 估计规则 θx ˆ 参量空间： 需要接收端作出估计的参量集合 观测空间： 接收端收到的观测信号的集合 概率映射： 信源发送信号到接收端过程中 信源发送信号到接收端过程中，会有噪声的影响 会有噪声的影响，观测信号中 包含被估计矢量的信息，所以观测信号是以被估计矢量为参 数的随机矢量 用 pxθ来描述 信号检测与估值 2019年秋季 3 数的随机矢量，用 pxθ来描述

建模 >估计规则：利用被估计矢量的先验知识和观测信号的统计特性，根据指标 要求，构造观测失量的函数来定义估计量。 x)=g(x)=g(x,x2,…,xw) 估计量性能的评估 估计量的均值E(x)] 估计量的均方误差 E026-b-0x] 0(x)=0-x) 本章的核心问题之一就是研究上述函数的构造方法，评估所构造估计量的优劣。 信号检测与估值2019年秋季

建模 估计规则： 利用被估计矢量的先验知识和观测信号的统计特性，根据指标 要求，构造观测矢量的函数来定义估计量。       N g g x , x , , x ˆθx  x   1 2   N g g x , x , , x θ x x 1 2 估计量性能的评估 估计量的均值   E ˆ    θ x 估计量的均方误差 θ x θ θx ˆ ~             2 2 ˆ ~ E θ x E θ θ x 本章的核心问题之一就是研究上述函数的构造方法，评估所构造估计量的优劣。 信号检测与估值 2019年秋季 4 本章的核心问题之 就是研究上述函数的构造方法，评估所构造估计量的优劣

3.2随机参量的贝叶斯估计 。常用代价函数 。贝叶斯估计的概念 。最小均方误差估计 。最大后验概率估计 。条件中值估计 。最佳估计的不变性 信号检测与估值2019年秋季

3.2 随机参量的贝叶斯估计 常用代价函数 贝叶斯估计的概念 最小均方误差估计 最大后验概率估计 条件中值估计 最佳估计的不变性 信号检测与估值 2019年秋季 5

代价函数和贝叶斯估计 贝叶斯估计：使平均代价最小的一种估计准则。 误差平方代价函数 clO)=(o-6) 误差绝对值代价函数 cG)-lo-0 均匀代价函数 c间=a-列=≥w2 d<△/2 代价函数的基本特性：非负性和日=0时的最小性。 信号检测与估值2019年秋季

代价函数和贝叶斯估计 贝叶斯估计：使平均代价最小的一种估计准则。     2 ˆ ~ 误差平方代价函数 c      误差绝对值代价函数   ˆ ~ c      均匀代价函数     1, / 2 ˆ c c                    0, / 2        代价函数的基本特性：非负性和 0 时的最小性 。 ~   信号检测与估值 2019年秋季 6 代价函数的基本特性：非负性和   0 时的最小性

平均代价 设被估计的单随机变量的先验概率密度函数为pΘ) 易知代价函数 c⊙是随机参量和观测矢量x的函数 平均代价C为 C-dO)p(x.Oried0 在p(O)给定，选定代价函数的条件下，使平均代价最小的估计称为贝叶斯 估计。 信号检测与估值2019年秋季

平均代价 设被估计的单随机变量的先验概率密度函数为 p  是随机参量和观测矢量x的函数 ~ 易知代价函数 c 平均代价C为 C c p  x  dxd      , ~    在 给定，选定代价函数的条件下，使平均代价最小的估计称为贝叶斯 估计。 p  信号检测与估值 2019年秋季 7

平均代价 由px,0)=pOxpx) C-dO)p(x.orixdo =c⑥)p.)p(xrde0 -p()cO)p(olHo c⊙pax)a0是非负值， 因此使平均代价最小，就等价于使 c@x)=co)plOx}io 条件平均代价 最小。 信号检测与估值2019年秋季

平均代价 由 p  x,  p xpx C c p  x  dxd      , ~      d d     ~ c p xpxdxd      px c p xd dx           ~ px c p xd dx              是非负值，  c  p  x d ~ 因此使平均代价最小，就等价于使        C    d ~ ˆ      条件平均代价  C  x  c  p  x d 最小。 条件平均代价 信号检测与估值 2019年秋季 8

Relation with cost in M-ary Detection M-1 M- C=m2Σc,PH,P(,） =m∑m∑cP(H,H,)P(H,） =lim∑m∑c,JP(1H,)P(H,) =lm∑jc(U,x)P(xH,)dP(H,） -JoSc(0.x)P(xI0)dxp(0)do -Jc(0.x)P(x.0)dxd 估计：参数连续取值；检测： 参数取自有限个离散点集合。 信号检测与估值2019年秋季

Relation with cost in M Relation with cost in M-ary Detection ary Detection    1 1 lim | M M ij i j j M C cP H H P H          0 0 lim lim | M j i ij i j j M M j i cP H H P H         lim lim |    i j i ij j j M M R j i c P x H dxP H       lim , |      j i j j M R j c j x P x H dxP H            , | j R c x P x dxp d              , , R c x P x dxd       估计 参数连续取值 检测 参数取自有限个离散点集合 信号检测与估值 2019年秋季 9 估计：参数连续取值；检测：参数取自有限个离散点集合

检测与估计的联系 e检测：参量的状态是有限的（M-ary检测) ·估计：参量的状态是连续的（比如实数域，复数 域) 。当M→∞时，检测就变成了估计 ●用检测做估计：复杂度太高，不合适 ●用估计做检测：可以，实际上经常这样用 >比如，在衰落信道y=hx+w的信号检测中，经常对信号 先进行估计得到x的估计值x1(复数域上的任意值)， 然后将其量化到信号星座上的某个点，即检测值x2。 。无线通信中，有时候并不严格区分检测与估计 信号检测与估值2019年秋季 10

检测与估计的联系 检测：参量的状态是有限的（M-ary检测） 估计：参量的状态是连续的（比如实数域，复数 域） 当 M  ∞时，检测就变成了估计 用检测做估计 ：复杂度太高 ，不合适 用估计做检测：可以，实际上经常这样用 比如 ，在衰落信道y=hx+w的信号检测中 ，经常对信号 先进行估计得到 x的估计值x1（复数域上的任意值）， 然后将其量化到信号星座上的某个点 ，即检测值x2 。 无线通信中，有时候并不严格区分检测与估计 信号检测与估值 2019年秋季 10