无线通信原理2023春郑我平 Lecture2-1时间分集技术 2023-2-17 ~般的，无线衰落信道的性能远差于高斯信道，因此很长时间以来，无线通信技术都是 以抵抗衰落为出发点。分集技术就是一种经典的抵抗信道衰落方法。 1、衰落与高斯信道性能对比 考虑平坦瑞利哀落信道，输入输出信号模型为 y=√Dhr+w (1) 其中y是接收信号，x是取自有限字符集发送信号，h一CV(O,)是零均值单位方差的复 高斯信道，w~CV(O,)是零均值单位方差的复高斯噪声，p为信噪比(SNR)。简单起 见，这里假定BPSK调制，即x等概率取自有限字符集-L,+1。 假设信道h在接收端完全己知，此时接收端可以进行相干检测。根据ML检测原理，检 测错误概率为 P(h)=P(住=-l=1,h) =Pl小6h+w+6h<Nh+w-a)】 =P2ph+wf<hwf） =P(4p+4pRe(hw)<0) 网 (2) -1-Q-2p4个 =e2pm） 其中，第一个等式利用了BSK信号星座的几何均匀特性（信号星座的平均错误概率与任 星座符号的错误概率相等)，第二个等式利用了高斯噪声条件下ML检测与最小欧氏距离译 码的等价性，第七个等式利用了万Re-NO)(东准正查分有.并且式中高所
无线通信原理 2023 春 郑贱平 Lecture 2-1 时间分集技术 2023-2-17 一般的，无线衰落信道的性能远差于高斯信道，因此很长时间以来，无线通信技术都是 以抵抗衰落为出发点。分集技术就是一种经典的抵抗信道衰落方法。 1、 衰落与高斯信道性能对比 考虑平坦瑞利衰落信道，输入输出信号模型为 y hx w = + (1) 其中 y 是接收信号，x 是取自有限字符集发送信号， h (0,1) 是零均值单位方差的复 高斯信道， w (0,1) 是零均值单位方差的复高斯噪声， 为信噪比（SNR）。简单起 见，这里假定 BPSK 调制，即 x 等概率取自有限字符集{-1, +1}。 假设信道 h 在接收端完全已知，此时接收端可以进行相干检测。根据 ML 检测原理，检 测错误概率为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 * * * 2 ˆ 1 1, 2 4 4 Re 0 Re 2 Re 1 2 1 2 2 P h P x x h e P h w h h w h P h w w P h h w h w P h h h w P h h Q h Q h = = − = = + + + − = + = + = − = − − = − − = （2） 其中，第一个等式利用了 BPSK 信号星座的几何均匀特性（信号星座的平均错误概率与任一 星座符号的错误概率相等），第二个等式利用了高斯噪声条件下 ML 检测与最小欧氏距离译 码的等价性，第七个等式利用了 ( ) ( ) * 2 Re 0,1 h w h （标准正态分布），并且式中高斯
无线通信原理2023春郑我平 Q函数定义为 ea (3) m品0o 显然，高斯Q函数是单调递减函数，并且有Q(-)=1,0(+∞)=0，Q(0)=0.5, Q(-x)=1-Q(x)。 式(2)计算的是以信道方为条件的条件错误概率，在快衰落信道中，进一步可以计算 其信道平均错误概率 e=E,[Ra]=E,g(2p]】 (4) 注意到当h-CN(0,1)时，有uh~exp(),即p(u)=exp(-w),u>0.因此，式(4) 进一步计算为 卫=E[e(2pm] 店eg云e恤 应e(g山 -ae-enh 片店 -品 ,:=1p在x0的邻域进行泰勒展开有。 f(-)-f()+f)=+o(-)-1-2p+o(Vp) (6) 将(6)待入(5⑤)，有 B=b*op)0 (7)
无线通信原理 2023 春 郑贱平 Q 函数定义为 ( ) 2 2 2 2 2 0 1 2 1 exp 2sin t x Q x e dt x d + − = = − （3） 显然，高斯 Q 函数是单调递减函数，并且有 Q Q Q (− = + = = ) 1, 0, 0 0.5 ( ) ( ) ， Q x Q x (− = − ) 1 ( ) 。 式（2）计算的是以信道 h 为条件的条件错误概率，在快衰落信道中，进一步可以计算 其信道平均错误概率 ( ) ( ) 2 2 P E P h E Q h e h e h = = （4） 注意到当 h (0,1) 时，有 ( ) 2 u h exp 1 ，即 p u u u ( ) = − exp , 0 ( ) 。因此，式（4） 进一步计算为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 e u u t u t t u t t t P E Q u e e dtdu e e du dt e e dt e dt − − − − − − − + = = = = − = − = − + (5) 对 ( ) 1 , 1 1 1 f z z z = = = + + 在 z=0 的邻域进行泰勒展开有， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 0 1 1 2 f z f f z o z o = + + = − + （6） 将（6）待入(5)，有 ( ) 1 1 2 1 4 4 P o e = + （7）
无线通信原理2023春郑我平 另一方面，在公式(2)中令仁1，高斯信道的误码率为 p-(p)sexp(-e) (8) 上式利用了公式(9)。对比(7)和(8)，高斯信道的误码率随着SNR指数下降，衰落信道 误码率下降速率仅为SNR'。因此，采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能。 Remark上：高斯Q函数的一个上界和近似表达式。 (9) 1 (10) Remark2:上述分析表明采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能，但是采 用非相干检测的衰落信道性能是否仍然远差于高斯信道呢？注意到BPSK调制不适合非相 干检测，考虑如下的采用二进制正交调制的信号模型 y=V2ph,+w,1=l,2 (1) 上式中y,1=1,2表示两个相邻时刻的接收信号，(x,x)∈{《0,1)，(L,0)},p表示平均每 符号时刻的SNR。接收瑞采用非ML相干检测，易得其误码率为 R+20*站 1 (12) 因此，非相干检测的性能仍远差于高斯信道，并且非相干检测相比相干检测有3B的性能 损失。 2、衰落信道性能差的原因分析 注意到当pl州<1，即以<合时、有 r心-e咖=-e产月 (13) 因此P以<】与衰落信道误玛率有相同的随SNR变化趋势。一般的，称<为深 我客事作、P代<分司甲为深装客事件发生的华。因此。认为案落信道性能差主要是由 信道处于深衰落引起的。因此，改善衰落信道的性能，可以从降低信道处于深衰落事件的概
无线通信原理 2023 春 郑贱平 另一方面，在公式（2）中令 h=1，高斯信道的误码率为 , ( ) ( ) 1 2 exp 2 P Q e awgn = − （8） 上式利用了公式（9）。对比（7）和（8），高斯信道的误码率随着 SNR 指数下降，衰落信道 误码率下降速率仅为 SNR-1。因此，采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能。 Remark 1: 高斯 Q 函数的一个上界和近似表达式。 ( ) 2 1 exp , 0 2 2 x Q x x − （9） ( ) 2 2 1 1 2 exp exp , 0 12 2 4 3 x x Q x x − + − （10） Remark 2： 上述分析表明采用相干检测的衰落信道性能远差于高斯信道性能，但是采 用非相干检测的衰落信道性能是否仍然远差于高斯信道呢？注意到 BPSK 调制不适合非相 干检测，考虑如下的采用二进制正交调制的信号模型 y hx w t t t t = + = 2 , 1,2 (11) 上式中 , 1,2 t y t = 表示两个相邻时刻的接收信号， ( x x 1 2 , 0,1 , 1,0 )( ) ( ) ， 表示平均每 符号时刻的 SNR。接收端采用非 ML 相干检测，易得其误码率为 1 1 1 2 2 P e = + （12） 因此，非相干检测的性能仍远差于高斯信道，并且非相干检测相比相干检测有 3dB 的性能 损失。 2、 衰落信道性能差的原因分析 注意到当 2 h 1 ，即 2 1 h 时，有 1 1 2 0 1 1 1 u P h e du e − − = = − （13） 因此 2 1 P h 与衰落信道误码率有相同的随 SNR 变化趋势。一般的，称 2 1 h 为深 衰落事件， 2 1 P h 即为深衰落事件发生的概率。因此，认为衰落信道性能差主要是由 信道处于深衰落引起的。因此，改善衰落信道的性能，可以从降低信道处于深衰落事件的概
无线通信原理2023春郑贱平 率开展研究。 注意到信道本身一般是不发生变化的，幸运的是公式(1)中输入输出关系对应h实际 上是等效信道，它可以由实际信道经过预编码和/成接收端前端处理得到。一个朴素的降低 等效信道深衰落概率的思想是重复编码，即多次发送相同的符号。如果信道在多次发送时间 内会发生变化，那么只要有一次信道不处于深衰落，信息就能够以更高概率在接收端正确恢 复。 Remark3:获得分集的前提是：1)相同符号经过多个独立（等效）路径到达接收端：2) 这些经过不同路径的到达信号在接收端是可分的。在该前提下，辅以合适的信号检测算法就 能获得分集。 3、时间分集 3.1重复传输 考虑在时间维进行重复编码，其信号模型为 y=phx+w,t=1...L (14) 其中1表示时刻，这里假定h在不同时刻=，上是独立同分布的。 分析采用ML检测的误码率。将(14)写成矢量形式，有 y=√phr+w (s 其中y=[y,,J,h和w也类似得到。采用MF/MRC处理，有 Re(y)Re() h h (16) 英中-N》在检测理论中，一授称1为充分统计量。同公式②)准号，有 P(间=eV2pI (17) 定义U兰h?,显然有U服从自由度为2L的中心卡方分布，即 p0=）--e”w20 (18) 则平均错误概率可以计算为
无线通信原理 2023 春 郑贱平 率开展研究。 注意到信道本身一般是不发生变化的，幸运的是公式（1）中输入输出关系对应 h 实际 上是等效信道，它可以由实际信道经过预编码和/或接收端前端处理得到。一个朴素的降低 等效信道深衰落概率的思想是重复编码，即多次发送相同的符号。如果信道在多次发送时间 内会发生变化，那么只要有一次信道不处于深衰落，信息就能够以更高概率在接收端正确恢 复。 Remark 3：获得分集的前提是：1）相同符号经过多个独立（等效）路径到达接收端；2） 这些经过不同路径的到达信号在接收端是可分的。在该前提下，辅以合适的信号检测算法就 能获得分集。 3、 时间分集 3.1 重复传输 考虑在时间维进行重复编码，其信号模型为 , 1,..., t t t y h x w t L = + = (14) 其中 t 表示时刻，这里假定 t h 在不同时刻 t=1,…,L 是独立同分布的。 分析采用 ML 检测的误码率。将（14）写成矢量形式，有 y h w = + x (15) 其中 1 ,... T L y = y y ，h 和 w 也类似得到。采用 MF/MRC 处理，有 Re Re ( ) ( ) H H l x x w = + = + h y h w h h h h (16) 其中 1 0, 2 w 。在检测理论中，一般称 l 为充分统计量。同公式（2）推导，有 ( ) ( ) 2 2 P h Q e = h （17） 定义 2 U h ，显然有 U 服从自由度为 2L 的中心卡方分布，即 ( ) ( ) 1 1 , 0 1 ! L u p U u u e u L − − = = − (18) 则平均错误概率可以计算为
无线通信原理2023春郑骏平 P=E,[P(h]=E,[(2U] -到 (19) 在高SNR时，根据泰勒展开(6)，有 1 2 另外 - 21 将(20)(21)代入(19)，有 别 (22) 即误码率随SNR下降，当L趋于无穷大时，通近高斯信道的随SNR指数下降趋势， 根据式(I5),高SNR时深衰落事件为 cw 1 (23) -=2 1 上式中近似表达式利用了当u→0时“≈1。显然，与之前分析一致，深衰落事件与错误概 率具有相同的随SNR变化趋势。 3.2 Beyond重复传输 错误概率一般可以表达为 P.=ap-L (24) 在错误概率曲线图上（错误概率对数域，分集度L一般体现为曲线的斜率，α体现为曲线 相对纵轴的距离。考虑系统1和系统2，其错误概率分别为 P=ap P2=ap (25) 如果%<%2，则称系统1相比系统2具有的编码增益为
无线通信原理 2023 春 郑贱平 ( ) ( ) 1 0 2 1 1 1 2 2 e h e U L l L l P E P h E Q U a a L l l − = = = − + − + = (19) 其中 1 a = + 。 在高 SNR 时，根据泰勒展开（6）,有 1 1 1 1, 2 2 4 a a + − （20） 另外 1 0 1 2 1 1 L l L l L l L − = − + − = − （21） 将（20）（21）代入（19），有 2 1 1 1 4 L e L P L − − （22） 即误码率随 SNR-L 下降，当 L 趋于无穷大时，逼近高斯信道的随 SNR 指数下降趋势。 根据式（15），高 SNR 时深衰落事件为 ( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1 ! 1 1 1 ! ! L u L L P u e du L u du L L − − − = − = − h （23） 上式中近似表达式利用了当 u→0 时 1 u e − 。显然，与之前分析一致，深衰落事件与错误概 率具有相同的随 SNR 变化趋势。 3.2 Beyond 重复传输 错误概率一般可以表达为 L P e − = （24） 在错误概率曲线图上（错误概率对数域），分集度 L 一般体现为曲线的斜率， 体现为曲线 相对纵轴的距离。考虑系统 1 和系统 2，其错误概率分别为 ,1 1 L P e − = ,2 2 L P e − = （25） 如果 1 2 ，则称系统 1 相比系统 2 具有的编码增益为
无线通信原理2023春郑贱平 、G.=1o1ogPa(B-=1o1ogs）2 A(P2=8) (26 一个很自然的问题是是否存在其他传输策略，在获得相同分集增益的条件下，相比重复 传输具有额外的编码增益。答案是肯定的。 w ·预即·☒→白八 图2.1预编码示意图 考虑如图2.1所示的预编码方案。信息符号序列s=[S,,5,]在经过线性预编码处理 后再送入信道，此时发送信号x=[:,,x了可以表示为 x=Ps (27) 其中P∈CW为预编码矩阵。假定独立同分布信息符号序列满足能量归一化约束 E[s门=E[r(s“)】=LE[ss“]=I,且预编码矩阵满足r(Pp)=T,则有发送信 号功率 Eflsp]=m(E[Pss"p"))=1 (28) 经过独立同分布瑞利衰落信道后，接收信号为 y=phx +w.I=1....L (29) y=pdiag {xh+w 其中信道和噪声均服从零均值单位方差的复高斯分布。 假定信总符号序列s取自大小为M的T维码本S。则根据联合界技术，有 P=2P小三EP收.→) (30) 这里xm=Ps.,s.等概取自码本S。计算成对错误概率(PEP)P(Km→x)首先需要计 算条件PEP
无线通信原理 2023 春 郑贱平 ( ) ( ) 1 1 2 ,1 1 ,2 2 1 2 1 10log 10log 10log 1 10log dB L L e c e P G P L − − = = = − = = （26） 一个很自然的问题是是否存在其他传输策略，在获得相同分集增益的条件下，相比重复 传输具有额外的编码增益。答案是肯定的。 预编码P 信道h + s x w y 图 2.1 预编码示意图 考虑如图 2.1 所示的预编码方案。信息符号序列 1 ,..., T T s = s s 在经过线性预编码处理 后再送入信道，此时发送信号 1 ,..., T L x = x x 可以表示为 x Ps = （27） 其中 L T P 为预编码矩阵。假定独立同分布信息符号序列满足能量归一化约束 ( ) 2 1 1, H H E E tr E T = = = s ss ss I ，且预编码矩阵满足 ( ) H tr T PP = ，则有发送信 号功率 ( ) 2 1 H H E tr E = = x Pss P （28） 经过独立同分布瑞利衰落信道后，接收信号为 , 1,..., l l l l y h x w l L diag = + = y x h w = + （29） 其中信道和噪声均服从零均值单位方差的复高斯分布。 假定信息符号序列 s 取自大小为 M 的 T 维码本 。则根据联合界技术，有 ( ) ( ) 1 1 1 1 M M e m m m i m m m P P e P M M = = = → x x x （30） 这里 x Ps m m = ， m s 等概取自码本 。计算成对错误概率（PEP） P(x x m m → ) 首先需要计 算条件 PEP
无线通信原理2023春郑我平 P(kn→xmb)=Py-√odiag{kwh<y-√pdiag{xn}hk=x.,h =P(eldiag{+(diag(-x)h)"w)<o) (diag {xh"w) -ldof3 (31) =P diag {-xh -Q2ldiag(x.-x 对信道求平均得到PEP PK→)82s.-】 5d2列 sn(2fkf】 32) s,em-afk-f】 09f 1 其中C兰{：x≠x}。在高SNR时，近似为 k.)-川 (33 其中Lm=dn(m,x。)=C为xn与x的汉明距离，即xm-xm中非零元素的个数。 注意到 ∑P(kn→x)s(M-1)maxP(k.→x.） sw-(Πk-x (34) 因此有
无线通信原理 2023 春 郑贱平 ( ) ( ) ( (( ) ) ) (( ) ) 2 2 2 2 2 , 2 0 2 2 2 m m m m m H m m m m H m m m m m m m m P P diag diag P diag diag diag P diag diag Q diag → = − − = = − + − − = − − − = − x x h y x h y x h x x h x x h x x h w x x h w x x h x x h x x h （31） 对信道求平均得到 PEP ( ) 2 2 2 , , 1 2 2 , , 1 2 2 , , 1 2 1 , , , , 2 2 exp 4 exp 4 1 1 1 1 4 4 l m m m m L l m l m l l L l m l m l l L h l m l m l l L l m l m l m l m P E Q diag E Q h x x E h x x E h x x x x x x = = = = → = − = − − − = − − = = + − + − h h h x x x x h , , 2 : m l m l l x x l （32） 其中 l x x : m l m l , , 。在高 SNR 时，近似为 ( ) , 1 2 , , 4 Lm m m m m l m l l P x x − − → − x x （33） 其中 L d m m H m m , = = (x x, ) 为 m x 与 x m 的汉明距离，即 x x m m − 中非零元素的个数。 注意到 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 , , 1 max 1 min 4 m m m m m m m m m L m l m l m l P M P M x x − → − → − − x x x x (34) 因此有
无线通信原理2023春郑贱平 8-2).9(9wf 35 sw-(8-f 当L=L,m≠m,上式进一步表示为 esw-"(婴k-月 (36) =(w-卿 其中6兰口小k-x称为x与x。的平方乘积距。 结论（预编码设计准则）：在给定参数T和L的情况下，预编码矩阵P的设计准则首先 保证获得满分集增益，即Lm=L,m≠m':其次保证最小平方乘积距（对应编码增益） 最大化。 Bame上考虑两时堂重复传雀结构，1，以以S方十 P一方.则有e任而)，±后小，楼题上送推导，有2 94若图Rs=30mp。 Bamc2考虑基于旋转的预编码结均，T2,2M4S=方L圳小。 其中0≤日≤π/4为旋转角度。发送信号对应为 方0-08方P心a s=aPo66a2k方ro8 因此有62=3=64=心：=sin228,气4=6，=4cos228。显然为了保证获得满分集
无线通信原理 2023 春 郑贱平 ( ) ( ) ( ) , , 1 2 , , 1 1 1 2 , , , 1 1 min 4 1 min 4 m m m m M M L e m m l m l m i m l L m l m l m m l M P P e x x M M M x x − = = − − = − − − x （35） 当 , , L L m m m m = ，上式进一步表示为 ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , 1 1 , , 1 min 4 1 min 4 L L e m l m l m m l L m m m m P M x x M − − = − − − − = − （36） 其中 2 , , , 1 L m m m l m l l x x = − 称为 m x 与 x m 的平方乘积距。 结论（预编码设计准则）：在给定参数 T 和 L 的情况下，预编码矩阵 P 的设计准则首先 保证获得满分集增益，即 , , L L m m m m = ；其次保证最小平方乘积距（对应编码增益） 最大化。 Example 1: 考虑两时隙重复传输结构，T=1, L=2, M=4, 1 3 , 5 5 = ， 1 1,1 2 T P = 。则有 ( ) ( ) 1 3 1,1 , 1,1 10 10 x 。按照上述推导，有 L=2， , , 4 min 25 m m m m = 。因此 2 1 4 2 3 300 4 25 P e − − − = 。 Example 2: 考虑基于旋转的预编码结构，T=2, L=2, M=4, ( ) 1 1, 1 2 = ， ( ) cos sin sin cos − = P 其中 0 4 为旋转角度。发送信号对应为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 1 1 1 1 cos sin 1 cos sin , , 2 2 2 2 1 cos sin 1 cos sin 1 1 1 1 1 cos sin 1 cos sin , 2 2 2 2 1 cos sin 1 cos sin − + = = = = + − − + − − − − − + = = = = − − − − x P x P x P x P 。 因此有 2 2 1,2 1,3 2,4 3,4 1,4 2,3 = = = = = = sin 2 , 4cos 2 。显然为了保证获得满分集
无线通信原理2023春郑我平 度L=2,日≠0，π/4。进一步，为了保证最大化编码增益，需要解如下问题 min sin20.4cos20 -mmin么，4-4 该问题具有封闭解1=08日=am'2,a=4=sim220=08,mm8=08. 代入式(36)，有 P≤3808r=60p 按照公式(26，该能转结构相比例1重复传输结构具有×101g5=35dB的编码增益 Rεmark4:在上述时间分集结构中，均假定信道是快变的。当信道慢变时，由于没有可 以用的独立衰落路径，上述结构均不能获得分集增益。当信道是块衰落时，首先需要执行信 道交织，然后采用上述结构以获得分集增益。一般，交织深度要大于信道块长度（在一个信 道块上信道保持不变)。 作业1：证明式(9)和(12)。 作业2（选做）：证明式(19)。 作业3：详细推导例1例2的结果。 作业4：考虑信息序列经过二进制(N,K)线性码编码，BPSK调制发送到快时变瑞利衰落 信道。二进制(N,K)线性码一般可以用生成矩阵G刻画，码字序列c与信总序列b满足 关系式c=Gb。 1)计算采用ML译码时该系统的可达分集增益： 2)根据1)的结果给出当生成矩阵为G= 01)时，系统的可达分集增益，并与12 101 码率的重复码进行比较： 3)当采用逐符号硬判决检测+纠错方式进行译码时，可达分集度是多少？
无线通信原理 2023 春 郑贱平 度 L=2， 0, 4 。进一步，为了保证最大化编码增益，需要解如下问题 2 2 0 4 0 1 max min sin 2 ,4cos 2 max min ,4 4 t t t = − 该问题具有封闭解 * * 1 2 * 1,2 1,4 1 0.8, tan 2, sin 2 0.8 2 t − = = = = = ， , , min 0.8 m m m m = 。 代入式（36），有 ( ) 2 1 2 3 0.8 60 4 P e − − − = 按照公式（26），该旋转结构相比例 1 重复传输结构具有 1 10log 5 3.5 dB 2 = 的编码增益。 Remark 4：在上述时间分集结构中，均假定信道是快变的。当信道慢变时，由于没有可 以用的独立衰落路径，上述结构均不能获得分集增益。当信道是块衰落时，首先需要执行信 道交织，然后采用上述结构以获得分集增益。一般，交织深度要大于信道块长度（在一个信 道块上信道保持不变）。 作业 1：证明式（9）和（12）。 作业 2（选做）：证明式（19）。 作业 3：详细推导例 1 例 2 的结果。 作业 4：考虑信息序列经过二进制（N，K）线性码编码，BPSK 调制发送到快时变瑞利衰落 信道。二进制（N，K）线性码一般可以用生成矩阵 G 刻画，码字序列 c 与信息序列 b 满足 关系式 c=Gb。 1）计算采用 ML 译码时该系统的可达分集增益； 2）根据 1）的结果给出当生成矩阵为 1 0 1 0 1 1 T G = 时，系统的可达分集增益，并与 1/2 码率的重复码进行比较； 3）当采用逐符号硬判决检测+纠错方式进行译码时，可达分集度是多少？
