无线通信原理2021春郑城平 Lecture6MIMO信道模型 2021-4-16 本章主要讨论MMO信道的物理和统计模型。 1、SIMO/MIS0信道LOS模型 -A, 图6-1.SIMO和MIS0的LOS信道， 考虑如图6-1(a)的SIM0LOS模型。接收天线采用均匀线性阵列(ULA)排列，向量天 线间隔为△，入.·其中入为载波波长，△，为归一化天线间隔。进一步假设ULA天线阵列大 小远小于收发天线距离。 发送天线和第1根接收天线对应的信道响应为 h()=a(r-d/c).i=1...n (1) 其中，Q是路径衰减，d是发送天线到第1根接收天线的距离，c是光速。对应的基带信道 增益为 (2) 其中f是载烦
无线通信原理 2021 春 郑贱平 Lecture 6 MIMO 信道模型 2021-4-16 本章主要讨论 MIMO 信道的物理和统计模型。 1、SIMO/MISO 信道 LOS 模型 ... Rx antennas i d r c 1 cos r c i (a) (b) ... d Tx antennas i t c 1 cos t c i 图 6-1. SIMO 和 MISO 的 LOS 信道。 考虑如图 6-1(a)的 SIMO LOS 模型。接收天线采用均匀线性阵列（ULA）排列，向量天 线间隔为 r c 。其中 c 为载波波长， r 为归一化天线间隔。进一步假设 ULA 天线阵列大 小远小于收发天线距离。 发送天线和第 i 根接收天线对应的信道响应为 , 1,..., i i r h a d c i n （1） 其中，a 是路径衰减， i d 是发送天线到第 i 根接收天线的距离，c 是光速。对应的基带信道 增益为 2 2 exp exp c i i i c j f d j d h a a c （2） 其中 c f 是载频
无线通信原理2021春郑贱平 令发送天线到第1根接收天线之间的距离为d,在ULA天线阵列大小远小于收发天线 之间距离的假设下，d可以按照下式计算 d≈d+(i-1)A,入cos4,i=l,,n (3) 其中中是LOS传输路径到达接收天线阵的入射角。定义方向余弦Ω=c0s中，信道空间特征 (spatial signature) exp(-j2mA2) =aexp _j2πd exp(-j2π2△，2) h exp(-j2π(n,-l)A,2) (4) 同样的，MS0LOS信道空间特征可表示为 exp(U2πA,2) cxp(j2π2△，2) exp(j2π(n,-l)△，2) (4) -5am(-2a 此时，·是LOS传输路径离开发送天线阵的离开角，△，为归一化发送天线间隔。 2、MM0信道LOS模型 由上述SMO和MISO LOS模型得到仅存在LOS时MMO信道的空间特征。首先发送 天线k与接收天线1之间的距离可表示为 dk≈d-(i-1)A,入cos+(k-l)△，2cos (5) 其中真，和真分别表示到达角和离开角。定义方向余弦=C0s真，马=C0s虫，发送天线k 与接收天线í信道系数可表示为
无线通信原理 2021 春 郑贱平 令发送天线到第 1 根接收天线之间的距离为 d，在 ULA 天线阵列大小远小于收发天线 之间距离的假设下， i d 可以按照下式计算 d d i i n i r c r 1 cos , 1,..., （3） 其中 是 LOS 传输路径到达接收天线阵的入射角。定义方向余弦 cos ，信道空间特征 （spatial signature） 1 1 exp 2 2 exp exp 2 2 exp 2 1 2 exp r r r r r c n r r n r r c h j j d a j h j n j d a n e h e （4） 同样的，MISO LOS 信道空间特征可表示为 * 1 * 1 exp 2 2 exp exp 2 2 exp 2 1 2 exp t t t t t c n t t n t t c h j j d a j h j n j d a n e h e （4） 此时， 是 LOS 传输路径离开发送天线阵的离开角， r 为归一化发送天线间隔。 2、MIMO 信道 LOS 模型 由上述 SIMO 和 MISO LOS 模型得到仅存在 LOS 时 MIMO 信道的空间特征。首先发送 天线 k 与接收天线 i 之间的距离可表示为 d d i k ik r c r t c t 1 cos 1 cos （5） 其中 r 和 t 分别表示到达角和离开角。定义方向余弦 cos , cos r r t t ，发送天线 k 与接收天线 i 信道系数可表示为
无线通信原理2021春郑城平 expep((-1)AQ)ep(-/2(-1)AQ) (6) 整个收发端信道矩阵可表示为 .)6() (7) 显然该矩阵是秩1矩阵，其唯一的奇异值为a√n,,。 子、天线分高配置情况 Tx antenna Tx antenna I 图62.两个发送天线之间距离和收发天线阵之间距离相当时MIMO LOS信道。 在上述讨论中，我们假定收发天线阵的大小远小于收发天线阵之间的距离，因子在仅有 LOS时MMO信道矩阵秩为1。当各个发送或接收天线分离放置时，MIMO LOS信道的秩 可以大于1。考虑两个发送天线之间距离和收发天线阵之间距离相当的情况，如图6-2所示 不同发送天线对应的信道为 =ac四2婴a (8) 其中d:是第k根发送天线到第1根接收天线的距离，方向余弦#=C0s中：。 按照e,(?)的定义（式(4）)，当 0=0:-020nd (9) 时，MM0LOS信道矩阵H=[h,h2]中两列线性独立，因此秩为2。另外，注意到方向 余弦在-11]之间取值，当△，≤1/2时，条件(9)松弛为2≠1 在满秩的情况下，提高MMO信道容量，信道矩阵H还应该具有尽量小的条件数（定
无线通信原理 2021 春 郑贱平 2 exp exp 2 1 exp 2 1 ki t t r r c j d h a j k j i （6） 整个收发端信道矩阵可表示为 2 * exp t r r r t t c j d a n n H e e （7） 显然该矩阵是秩 1 矩阵，其唯一的奇异值为 t r a n n 。 3、天线分离配置情况 ... Rx antennas array r1 Tx antenna 1 Tx antenna 2 r 2 图 6-2. 两个发送天线之间距离和收发天线阵之间距离相当时 MIMO LOS 信道。 在上述讨论中，我们假定收发天线阵的大小远小于收发天线阵之间的距离，因子在仅有 LOS 时 MIMO 信道矩阵秩为 1。当各个发送或接收天线分离放置时，MIMO LOS 信道的秩 可以大于 1。考虑两个发送天线之间距离和收发天线阵之间距离相当的情况，如图 6-2 所示， 不同发送天线对应的信道为 1 2 exp , 1,2 k k k r r rk c j d a n k h e （8） 其中 1k d 是第 k 根发送天线到第 1 根接收天线的距离，方向余弦 cos rk rk 。 按照 er rk 的定义（式（4）），当 2 1 1 0 mod r r r r （9） 时，MIMO LOS 信道矩阵 1 2 , H h h 中两列线性独立，因此秩为 2。另外，注意到方向 余弦在[-1 1]之间取值，当 1 2 r 时，条件（9）松弛为 r r 2 1。 在满秩的情况下，提高 MIMO 信道容量，信道矩阵 H 还应该具有尽量小的条件数（定
无线通信原理2021春郑城平 义为最大与最小奇异值的比值)。直观的看，h,和h,的方向越接近，条件数越大。因此， 定义h,和h,的夹角 lcos=e,()"e,(2) (10) 显然上式只与方向余弦的差值？=马2-？有关，因此进一步定义 f(g)=e,()"e,(2) (11) 且有 ()exp(2AS )ssp(-2A.) 号艺o2A1-12aA n.1-exp(-j24,2) 1exp(-jπn,△，2)exp(jπn,△，2)-exp(-jiπn,△，2) (12) n,exp(-jA)exp(jA,)-exp(-jzA,) -1exp(-jπn,A,2)sin(πn,A,2) n exp(-jrA sin(mA) -mtna-jna)aa 其中L,=△，,称为归一化的接收天线阵大小。将(12)代入(10)，有 sin(πL,2) lcos=sin(Ln) (13) 考虑4=42=a,信道矩阵H的两个奇异值为 2=a2n,(1+lcos）,3=a2n,(1-lcos0） (14) 对应的条件数为 1+coso 会-侣8 (15) 从上式可以看出，当cos≈1时，条件数非常大，H为病态矩阵。 进一步，千，(B)有如下特性：1)周期为n,/L,=V△，：2)峰值f(9=0)=1:3) ,(但=kL,)=0,k=1,n,-1。此外，（但）在△，的整数倍为中心的主瓣宽带为
无线通信原理 2021 春 郑贱平 义为最大与最小奇异值的比值）。直观的看， h1 和 h2 的方向越接近，条件数越大。因此， 定义 h1 和 h2 的夹角 ： cos 1 2 H r r r r e e （10） 显然上式只与方向余弦的差值 r r r 2 1 有关，因此进一步定义 1 2 H r r r r r r f e e （11） 且有 1 1 2 0 1 0 1 exp 2 exp 2 1 1 1 exp 2 exp 2 1 exp 2 1 exp exp exp exp exp exp 1 exp sin exp r r n r r r r r r r i n rrr r r r r r r i r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r f j i j i n j n j i n n j j n j n j n n j j j j n n n j sin 1 sin exp 1 sin r r r r r r r r r r r r r L j n n L n （12） 其中 L n r r r 称为归一化的接收天线阵大小。将（12）代入（10），有 sin cos sin r r r r r L L n （13） 考虑 1 2 a a a ，信道矩阵 H 的两个奇异值为 2 2 2 2 1 2 1 cos , 1 cos r r a n a n （14） 对应的条件数为 1 2 1 cos 1 cos （15） 从上式可以看出，当 cos 1 时，条件数非常大，H 为病态矩阵。 进一步， f r r 有如下特性：1）周期为 1 r r r n L ；2）峰值 f r r 0 1 ；3） 0, 1,..., 1 r r r r f k L k n 。此外， f r r 在 1 r 的整数倍为中心的主瓣宽带为
无线通信原理2021春郑戴平 2/L.。根据cos=f()和(15)式，当 (16) ,Re左A,号 时，信道矩阵为病态矩阵。一般将L,称为角度域分辨率，当2《VL,时两根发送天线在 接收天线阵处的信号不能区分，因此信道自由度为1。 波束图样是角度域的分辨率的另一种表示方法，假设信号到达方向为兵，最佳接收机 将该信号投影到©，(cos4)方向。此时，来自其他方向p的信号在该接收机下的衰减为 e,(cos )"e,(cos)=f.(coso-cos) (17) 定义e,(cos4)方向相关的波束图样为 (%,f(cosp-cos4)月 (18) 该波束图样具有两个重要特性。首先，根据厂()的周期性，其主瓣中心点为%，及满足如下 条件的每 coscos mod 1 (19) A 显然，当△，≤0.5，上述条件简化为cos中=cos4,在[0，π]之间仅有一个主瓣。其次， 主瓣的方向余弦宽度即波束宽度为2L,。L,越大，波束宽带越小，角度分辨率越高。 Remark 1:角度域分辨率1/L,类似于时域分辨率1W(W为信道带宽)。当多径到达时 延差小于时域分辨率1W时，这些路径在时间上不可分：当不同信号的到达角之差小于角 度域分辨率L,这些路径在角度域上不可分。此外，正如过采样不能提高时间分辨率 样，在L,固定时增加天线数目并不能提高角度分辨率。 接收天线分离配置情况下的信道和上述发送天线分离配置情况类似。 4、LOS+一条反射路径时的信道模型 考虑除了LOS外，还存在一条反射路径的情况。两条路径的衰减、离开角及其方向余弦和
无线通信原理 2021 春 郑贱平 2 L r 。根据 cos f r r 和（15）式，当 1 , for some 1 1 . ., , if 2 r r r r r r m m L i e L （16） 时，信道矩阵为病态矩阵。一般将 1 L r 称为角度域分辨率，当 1 r r L 时两根发送天线在 接收天线阵处的信号不能区分，因此信道自由度为 1。 波束图样是角度域的分辨率的另一种表示方法，假设信号到达方向为 0 ，最佳接收机 将该信号投影到 er cos0 方向。此时，来自其他方向 的信号在该接收机下的衰减为 cos cos cos cos 0 0 H r r r e e f （17） 定义 er cos0 方向相关的波束图样为 0 0 , cos cos f r （18） 该波束图样具有两个重要特性。首先，根据 f r 的周期性，其主瓣中心点为 0 及满足如下 条件的 0 1 cos cos mod r （19） 显然，当 0.5 r ，上述条件简化为 0 cos cos ，在 0, 之间仅有一个主瓣。其次， 主瓣的方向余弦宽度即波束宽度为 2 L r 。 L r 越大，波束宽带越小，角度分辨率越高。 Remark 1：角度域分辨率 1 L r 类似于时域分辨率 1/W（W 为信道带宽）。当多径到达时 延差小于时域分辨率 1/W 时，这些路径在时间上不可分；当不同信号的到达角之差小于角 度域分辨率 1 L r ，这些路径在角度域上不可分。此外，正如过采样不能提高时间分辨率一 样，在 L r 固定时增加天线数目并不能提高角度分辨率。 接收天线分离配置情况下的信道和上述发送天线分离配置情况类似。 4、LOS+一条反射路径时的信道模型 考虑除了 LOS 外，还存在一条反射路径的情况。两条路径的衰减、离开角及其方向余弦和
无线通信隙理2021春郑贱平 到达角及其余弦分别记为4,4,2=cos4,4,2n=cos.。·则信道H可以表示为 H=ae.(Q)e;()+de.(.)e;(.) -4ea,a】 (20) e(2) 其中 d=a,√n,n,exp (21) 上式中d9表示路径1上第1根发送天线和第1根接收天线之间的距离。 类似的，只要满足条件 m时大m (22) 矩阵H的秩为2。进一步为了获得良好的条件数，要求两条路径在收发天线阵的方向余弦差 值9=2-9l=2-至少分别和L,以及VL相当 5、MIMO多径信道模型 由2条径推广到多径，MM多径信道H一般可以表示为 H=∑ac,()e(a) (23) 注意到，从(11)(12)有 ()(()( sin(πL,2) (24) 进一步， }0=28- (25) 因此，集合 8=o(》 (26) 构成了接收信号空间的一组正交基。同样的，集合 so}(2} (26)
无线通信原理 2021 春 郑贱平 到达角及其余弦分别记为 , , cos , , cos i ti ti ti ri ri ri a 。则信道 H 可以表示为 * * 1 1 1 2 2 2 * 1 1 1 2 2 * 2 , b b r r t t r r t t b b t t r r r r t t a a a a H e e e e e e e e （20） 其中 2 exp , 1,2 i b i i t r c j d a a n n i （21） 上式中 i d 表示路径 i 上第 1 根发送天线和第 1 根接收天线之间的距离。 类似的，只要满足条件 2 1 2 1 1 1 mod , mod r r t t r t （22） 矩阵 H 的秩为 2。进一步为了获得良好的条件数，要求两条路径在收发天线阵的方向余弦差 值 2 1 2 1 , r r r t t t 至少分别和 1 L r 以及 1 Lt 相当。 5、MIMO 多径信道模型 由 2 条径推广到多径，MIM 多径信道 H 一般可以表示为 b * i r ri t ti i H e e a （23） 注意到，从（11）（12）有 1 sin 0 exp 1 sin H r r r r r r r r r L f j n n L n e e （24） 进一步， 0, 1,2,..., 1 r r r k f k n L （25） 因此，集合 1 1 0 , ,..., r r r r r r r n L L e e e （26） 构成了接收信号空间的一组正交基。同样的，集合 1 1 0 , ,..., t t t t t r r n L L e e e （26）
无线通信原理2021春郑戴平 构成了发送信号空间的一组正交基。 定义U,∈C”和U,∈C“分别由S和S,中所有正交向量构成的矩阵，即 ()e n. (27) 显然U,和U,为归一化的离散傅里叶变换DT矩阵。定义x和x分别为发送信号及其角 度域表示，则有 x=U,x°，x°=U4x (28 此时其角度域的接收信号可以表示为 y"=U"y=U#(Hx+w) =UHU,x+Ugw=Hx“+w (29) 注意到H的元素 mw传(}-(a水car (30) 并祖c(会)和c它)的主超变带分别为2，和2以，即角皮分裤率分别为和y· 定义 R-{2-kL,<L,} (31) 工，={2-L<L} 因此在集合尺，门工，中路径既不能在发送天线阵的角度域区分开也不能在接收天线阵的角 度域区分开。 当不存在属于凡，∩工，的路径时有（但）=0。事实上当仅在发送端附近或接收端附 近存在反射/散射路径时，角度域信道矩阵H通常是稀疏的。在该情况下，将非稀疏的H 转化为稀疏的角度域H,能极大方便信号处理
无线通信原理 2021 春 郑贱平 构成了发送信号空间的一组正交基。 定义 t t n n t U 和 r r n n r U 分别由 t 和 r 中所有正交向量构成的矩阵，即 , , 1 1 exp 2 exp 2 1 1 exp 2 exp 2 t t k l t t t t r r k l r r r r k kl j l j n n L n k kl j l j n n L n U U （27） 显然 Ut 和 Ur 为归一化的离散傅里叶变换 DFT 矩阵。定义 x 和 a x 分别为发送信号及其角 度域表示，则有 , a a H t t x U x x U x （28） 此时其角度域的接收信号可以表示为 a a a H H r r H a H a a a r t r H w y U y U Hx w U HU x U w H x w （29） 注意到 a H 的元素 , H H a b H r r i r r ri t ti t k l r t r t i k l k l a L L L L H e He e e e e （30） 并且 r r k L e 和 r r k L e 的主瓣宽带分别为 2 L r 和 2 Lt ，即角度分辨率分别为 1 L r 和 1 Lt 。 定义 1 1 k ri r r l ti t t i k L L i l L L （31） 因此在集合 k l 中路径既不能在发送天线阵的角度域区分开也不能在接收天线阵的角 度域区分开。 当不存在属于 k l 的路径时有 , 0 a k l H 。事实上当仅在发送端附近或接收端附 近存在反射/散射路径时，角度域信道矩阵 a H 通常是稀疏的。在该情况下，将非稀疏的 H 转化为稀疏的角度域 a H ，能极大方便信号处理
无线通信原理2021春郑城平 另外，如果每一个集合尺∩工中都存在很多条路径，即丰富散射环境，此时根据中 心极限定理，可将H中所有元素建模为独立高斯分布，即建模为瑞利衰落信道。在后续 章节中，除非特别说明，均假定H和H为瑞利分布。 Remark2:收发端角度域分辨率分别为/L,和1/L,收发端不同方向余弦的最大差值 为2，因此收发端的最大可分辨的角度数目分别为2L,和2L,。因此MM0信道的最大自 由度为min(2L,2L,).当△，=△，=时（临界天线间距离），最大自由度为min(n,n,). 同时最大分集度为n,n,·
无线通信原理 2021 春 郑贱平 另外，如果每一个集合 k l 中都存在很多条路径，即丰富散射环境，此时根据中 心极限定理，可将 a H 中所有元素建模为独立高斯分布，即建模为瑞利衰落信道。在后续 章节中，除非特别说明，均假定 H 和 a H 为瑞利分布。 Remark 2：收发端角度域分辨率分别为 1 Lt 和 1 L r ，收发端不同方向余弦的最大差值 为 2，因此收发端的最大可分辨的角度数目分别为 2Lt 和 2L r 。因此 MIMO 信道的最大自 由度为 min 2 ,2 L L t r 。当 0.5 t r 时（临界天线间距离），最大自由度为 min , n n t r 。 同时最大分集度为 t r nn