无线通信原理2021春郑城平 Lecture8多天线分集复用折中 2021-5-4 由之前章节可知在N,发N,收的多天线信道中，最大自由度为N-min(N。N,最大分 集度为N,N,。收发端结构设计可以以分集增益为目标提高可靠性，也可以以复用增益为目标 提高速率，还可以用来同时提供分集和复用增益。这就涉及分集复用增益折中(DMT)的 问题，即如何获得最佳的DMT 假定复用增益为八，即传输速率R满足 R=rlog SNR (1) 如果该收发机的中断概率可以表达为 -Pg网-f log SNR (2) 或近似为 P(R)≈SNR (3) 则称该结构可达DMT为(，d(r) Remark上上述DMT的定义基于慢衰落信道的中断概率，该定义可以推广到任意的空时编 码结构（一般假设为快衰落信道如VBLAST或块衰落信道如OSTBC),此时用错误概率代 替中断概率。 1、SIS0瑞利衰落信道 首先考虑MPAM调制的SISO瑞利信道 y=hx+w (4) 其中h,w~CW(O,)。假设PAM星座相邻点之间的最小距离为D,则有 SNR-E.-(M-1)D 12 (5) 注意到M=2R,根据上式有 - (6)
无线通信原理 2021 春 郑贱平 Lecture 8 多天线分集复用折中 2021-5-4 由之前章节可知在 Nt发 Nr收的多天线信道中，最大自由度为 Nmin=min(Nt , Nr)，最大分 集度为 NtNr。收发端结构设计可以以分集增益为目标提高可靠性，也可以以复用增益为目标 提高速率，还可以用来同时提供分集和复用增益。这就涉及分集-复用增益折中（DMT）的 问题，即如何获得最佳的 DMT。 假定复用增益为 r，即传输速率 R 满足 R r SNR log （1） 如果该收发机的中断概率可以表达为 * log log lim log out SNR P r SNR d r SNR （2） 或近似为 * d r P R SNR out （3） 则称该结构可达 DMT 为 * r d r , 。 Remark 1: 上述 DMT 的定义基于慢衰落信道的中断概率，该定义可以推广到任意的空时编 码结构（一般假设为快衰落信道如 VBLAST 或块衰落信道如 OSTBC），此时用错误概率代 替中断概率。 1、SISO 瑞利衰落信道 首先考虑 M-PAM 调制的 SISO 瑞利信道 y hx w （4） 其中 h w, 0,1 。假设 PAM 星座相邻点之间的最小距离为 Dmin，则有 2 2 min 1 12 s M D SNR E （5） 注意到 2 R M ，根据上式有 2 min 2 2 12 2 1 2 R R SNR SNR D （6）
无线通信原理2021春郑贱平 此外，根据联合界技术，MPAM的符号错误概率的一个近似上界为 g=2小2gu 22p6→4-小n)】 (7) -2 asksvz--号） D2/41 22R =-+2h“2x限swR 根据DMT定义，采用PAM调制的可达DMT为(y,d(r)=1-2r),0≤r≤1/2 同样的，可分析采用QAM时的可达DMT。注意到在QAM中 (8) 因此根据(7)的推导有d(r)=1-r,0≤r≤1。 SISO瑞利衰落信道的最佳DMT可根据定义推导 P (R)=Pr(log(1+SNR)<rlogSNR) =PAM、SR-I）】 (9) SWVRSNR-O-7) 因此最佳DMT为d(r)=1-,O≤r≤1，根据PAM和QAM分析结果，QAM是最佳DMT 可达的。直观的看，PAM由于只利用了一个实数维度传输信息，显然不是最佳的。 2、并行瑞利衰落信道 并行SIS0瑞利信道 y=h,x+w,1=1,L (10) 的中断概率为 P (R)=Prog(1+f SNR)<LrlogSNR (11) 在ii.d信道假设下，中断主要发生在当每个子信道均不能支撑速率R时，即
无线通信原理 2021 春 郑贱平 此外，根据联合界技术，M-PAM 的符号错误概率的一个近似上界为 1 1 min 1 min min 2 min 2 2 min 2 2 1 2 min min 1 1 1 2 2 2 2 2 4 4 1 2 1 1 1 4 M M e m m m m m m m M m m m m m e R r P P e A P A A M M P A A A A D M D D P x x D P BPSK SNR D D D SNR SNR （7） 根据 DMT 定义，采用 PAM 调制的可达 DMT 为 r d r r r , 1 2 ,0 1 2 。 同样的，可分析采用 QAM 时的可达 DMT。注意到在 QAM 中， 2 min 2 R SNR D （8） 因此根据（7）的推导有 d r r r 1 ,0 1。 SISO 瑞利衰落信道的最佳 DMT 可根据定义推导 2 2 1 Pr log 1 log 1 Pr out r r P R h SNR r SNR SNR h SNR SNR （9） 因此最佳 DMT 为 * d r r r 1 , 0 1。根据 PAM 和 QAM 分析结果，QAM 是最佳 DMT 可达的。直观的看，PAM 由于只利用了一个实数维度传输信息，显然不是最佳的。 2、并行瑞利衰落信道 并行 SISO 瑞利信道 , 1,..., l l l l y h x w l L （10） 的中断概率为 2 1 Pr log 1 log L out l l P R h SNR Lr SNR （11） 在 i.i.d.信道假设下，中断主要发生在当每个子信道均不能支撑速率 R 时，即
无线通信原理2021春郑城平 P(R)(Pr(og(1+SNR)<rIogSNR)) (12) SNR-41-) 即d(r)=L(1-r,0≤r≤1。 如果在并行信道上采用重复编码x=x,1=1,,L,则有 P (R)=Pr(log(1+h SNR<Lrlog SNR) -Prf<SWR-1)(SNR-1) SNRSNR (13) ≈SWR4- 即d(r)=L(1-Lr),0≤r≤L。显然，重复编码不是最佳DMT可达结构。 3、MS0瑞利衰落信道 考虑具有N,根发送天线的MSO信道 y=h'x+w (14) 其中断概率为 R(R)=Pr log1+IP SNR） N<FlogSNR (15) SNR SNR-XI-r) 即df(r)=N,(1-r）,0≤r≤1。 作业1：证明Alamouti结构+QAM在2发1收MISO信道上是最佳DMT可达结构。 4、MM0信道(N=N-=2) 在两发两收MMO信道中，首先考虑重复编码结构。其两时隙接收信号为 y=h'x+w,heC (16) 中断概率为 P (R)=Pr(log(1+h SNR)<2rlog SNR f时cw (17)
无线通信原理 2021 春 郑贱平 2 1 Pr log 1 log L out l L r P R h SNR r SNR SNR （12） 即 * d r L r r 1 , 0 1。 如果在并行信道上采用重复编码 , 1,..., l x x l L ，则有 2 2 1 Pr log 1 log 1 1 Pr out L Lr Lr L Lr P R SNR Lr SNR SNR SNR SNR SNR SNR h h （13） 即 * d r L Lr r L 1 , 0 1 。显然，重复编码不是最佳 DMT 可达结构。 3、MISO 瑞利衰落信道 考虑具有 Nt 根发送天线的 MISO 信道 T y w h x （14） 其中断概率为 2 2 1 Pr log 1 log 1 1 Pr t t out t N r r t t N r SNR P R r SNR N SNR SNR N N SNR SNR SNR h h （15） 即 * 1 , 0 1 t d r N r r 。 作业 1：证明 Alamouti 结构+QAM 在 2 发 1 收 MISO 信道上是最佳 DMT 可达结构。 4、MIMO 信道（Nt=Nr=2） 在两发两收 MIMO 信道中，首先考虑重复编码结构。其两时隙接收信号为 4 , T y h w h x （16） 中断概率为 2 2 2 4 1 2 Pr log 1 2 log 1 Pr out r r P R SNR r SNR SNR SNR SNR h h （17）
无线通信原理2021春郑贱平 即d(r）=41-2r),0≤rs1/2。 其次考虑Alamouti结构，其等效信道为 %含2或+=+，a=2 (18) 中新概率为 P(R)=Pr(og(1+SNR)<rlog SNR)=SNR--) (19) 即d(r）=41-r),0≤r≤1. 最后考虑VBLAST结构，当采用迫零检测（线性解相关）时，等效信道为 。=h,+w,h-x2(2),a=1,2 (20) 因此有 P网=Pfoe+hf网：2）smr (21) 即d(r)=1-r/2,0≤r≤2. 当采用最佳的ML检测时，有 16 P(R)oma (22) SNR2k。-x 定义Dm=mink。一x即不同码字之间的最小距离平方。当采用MQAM调制时，有 M=22 (23) 此外D对应x。和x。中仅一个QAM符号不同的情况，并且该QAM符号仅实部或虚部不 同（将QAM看作两个PAM符号的笛卡尔积，则仅一个PAM符号不同），因此有 (24) 将(24)代入(22)式，有 (R)sRSR) 16 (25) 即d(r)-2-r,0≤r≤2。 5、MMO信道最佳DMT的一般表达式
无线通信原理 2021 春 郑贱平 即 d r r r 4 1 2 , 0 1 2 。 其次考虑 Alamouti 结构，其等效信道为 1 2 1 1 2 , 0 0 , 1,2 a i j a a a a i j y h x w x w a h （18） 中断概率为 2 4 1 Pr log 1 log r P R SNR r SNR SNR out h （19） 即 d r r r 4 1 , 0 1 。 最后考虑 VBLAST 结构，当采用迫零检测（线性解相关）时，等效信道为 2 2 , 2 , 1,2 a a a a a y h x w h a （20） 因此有 2 1 2 log Pr log 1 2 r out a r SNR P R h SNR SNR （21） 即 d r r r 1 2, 0 2。 当采用最佳的 ML 检测时，有 4 2 16 max e a b P R SNR x x （22） 定义 min min a b a b D x x 即不同码字之间的最小距离平方。当采用 M-QAM 调制时，有 2 2 R M （23） 此外 Dmin 对应 a x 和 b x 中仅一个 QAM 符号不同的情况，并且该 QAM 符号仅实部或虚部不 同（将 QAM 看作两个 PAM 符号的笛卡尔积，则仅一个 PAM 符号不同），因此有 min 1 2 4 1 1 2 D R M （24） 将（24）代入（22）式，有 2 2 16 2 r e R P R SNR SNR （25） 即 d r r r 2 , 0 2 。 5、MIMO 信道最佳 DMT 的一般表达式
无线通信原理2021春郑戴平 MMO信道最佳DMT的一般表达式为 d(r)=(W,-r）W,-r,r=0,N (26 考虑2发2收的特殊情况，其最佳DMT为 4-3r,0sr<1 d(r)=2-r.Isrs2 (27) 显然第4节中给出的几种结构均不是DMT最佳的。 上式一般表达式的一个解释。根据MMO信道容量，中断概率可以表示为 (R)=Pr o1SNR<rlog SVR N, Pr(H is closed to a rank-r matrix) (28) =Pr(HEY) 为了保证服用增益为，要求矩阵H考虑秩为。假设其前r行相互独立，则前r行共有N 个自由变量，后N行中每一行均是由前r行线性组合而成哟，共有Nrr个自由变量。因 此，为了确保矩阵H的秩为r,需要用掉N+(N,-r个自由变量。H矩阵的最大自由变量个 数为NN。因此，可用来提供分集增益的最大自由变量个数为 d）=N,N,-w,-r(,-r）=(N,-r）(N,-r) (29) Remark2:如果一个该空时码结构仅在信道本身发生中断时发送中断，则将该结构称为渐 近通用的。因此，通用码是DMT最佳的结构。比如前文介绍的QAM就是SISO瑞利衰落 信道上的一个通用码，Alamouti+QAM是2发1收MS0信道上的一个通用码
无线通信原理 2021 春 郑贱平 MIMO 信道最佳 DMT 的一般表达式为 * min , 0,..., t r d r N r N r r N （26） 考虑 2 发 2 收的特殊情况，其最佳 DMT 为 * 4 3 , 0 1 2 , 1 2 r r d r r r （27） 显然第 4 节中给出的几种结构均不是 DMT 最佳的。 上式一般表达式的一个解释。根据 MIMO 信道容量，中断概率可以表示为 min 2 1 Pr log 1 log Pr is closed to a rank- matrix Pr N i out i t r SNR P R r SNR N r H H （28） 为了保证服用增益为 r，要求矩阵 H 考虑秩为。假设其前 r 行相互独立，则前 r 行共有 rNt 个自由变量，后 Nr-r 行中每一行均是由前 r 行线性组合而成哟，共有(Nr-r)r 个自由变量。因 此，为了确保矩阵 H 的秩为 r，需要用掉 rNt+(Nr-r)r 个自由变量。H 矩阵的最大自由变量个 数为 NtNr。因此，可用来提供分集增益的最大自由变量个数为 d r N N rN r N r N r N r t r t r t r （29） Remark 2：如果一个该空时码结构仅在信道本身发生中断时发送中断，则将该结构称为渐 近通用的。因此，通用码是 DMT 最佳的结构。比如前文介绍的 QAM 就是 SISO 瑞利衰落 信道上的一个通用码，Alamouti+QAM 是 2 发 1 收 MISO 信道上的一个通用码
