第8章数字信号的最佳接收 8.1匹配滤波器 8.2最小差错概率接收准则 8.3确知信号的最佳接收机 8.4随相信号的最佳接收机 8.5最佳接收机性能比较 8.6最佳基带传输系统 返回主日录
8.1 匹配滤波器 8.2 最小差错概率接收准则 8.3 确知信号的最佳接收机 8.4 随相信号的最佳接收机 8.5 最佳接收机性能比较 8.6 最佳基带传输系统 第 8 章 数字信号的最佳接收 返回主目录
第8章数字信号的最佳接收 8.1匹配滤波器 在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一，滤波 器特性的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中， 滤波器的作用有两个方面，第一是使滤波器输出有用信号成分 尽可能强；第二是抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分 尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。 通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种是使滤波 器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此 而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；另一种是使滤波器 输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性 滤波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广 泛的应用
第8章 数字信号的最佳接收 8.1匹 配 滤 波 器 在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一， 滤波 器特性的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中， 滤波器的作用有两个方面，第一是使滤波器输出有用信号成分 尽可能强；第二是抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分 尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。 通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种是使滤波 器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此 而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；另一种是使滤波器 输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性 滤波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广 泛的应用
由第7章分析的数字信号解调过程我们知道，解调器中抽 样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效，接收 过程等效原理图如图8-1所示。图中，s)为输入数字信号， 信道特性为加性高斯白噪声信道，①为加性高斯白噪声， H(o)为滤波器传输函数。 由数字信号的判决原理我们知道，抽样判决器输出数据 正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相 似程度无关，也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关， 而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比， 即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小；反之，信 噪比越小，错误判决概率就越大
由第7章分析的数字信号解调过程我们知道，解调器中抽 样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效，接收 过程等效原理图如图 8 - 1 所示。图中，s(t)为输入数字信号， 信道特性为加性高斯白噪声信道，n(t)为加性高斯白噪声， H(ω)为滤波器传输函数。 由数字信号的判决原理我们知道，抽样判决器输出数据 正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相 似程度无关，也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关， 而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比， 即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小；反之，信 噪比越小，错误判决概率就越大
r() Y() t=to s(t) H(@) 判决 输出 n(t) 市。 图8-1数字信号接收等效原理图
图 8 – 1 数字信号接收等效原理图 + H(ω) 判决 s(t) n(t) r(t) Y(t) t=t0 输出 S N ( )o
因此，为了使错误判决概率尽可能小，就要选择滤波器 传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器。当选择的 滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称 为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。下面就来分析当滤波 器具有什么样的特性时才能使输出信噪比达到最大。 分析模型如图8·1所示。设输出信噪比最大的最佳线性 滤波器的传输函数为H(@),滤波器输入信号与噪声的合成波为 r(t)=s(t)+n(t) (8.1-1) 式中，s(t)为输入数字信号，其频谱函数为$(o)。n(①为高斯 白噪声，其双边功率谱密度为。 2
因此，为了使错误判决概率尽可能小，就要选择滤波器 传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器。当选择的 滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称 为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。下面就来分析当滤波 器具有什么样的特性时才能使输出信噪比达到最大。 分析模型如图 8 - 1 所示。 设输出信噪比最大的最佳线性 滤波器的传输函数为H(ω), 滤波器输入信号与噪声的合成波为 r(t)=s(t)+n(t) (8.1 - 1) 式中， s(t)为输入数字信号， 其频谱函数为S(ω)。 n(t)为高斯 白噪声， 其双边功率谱密度为 。 2 0 n
由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此 滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 y(t)=s()+n(t) (8.1-2) 式中输出信号的频谱函数为S(⊙)，其对应的时域信号为 s(0=2元swe=2元(F(webr (8.1-3) 滤波器输出噪声的平均功率为 -aRmw=anwf咖 2元∫2hwcw=∫4fom (8.1-4)
由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此 滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 y(t)=so(t)+no(t) (8.1 - 2) 式中输出信号的频谱函数为So(ω)，其对应的时域信号为 0 0 ( ) 1 1 s t = ( ) () () 2 2 jwt jwt s w e dw s w H w e dw π π ∞ ∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ 滤波器输出噪声的平均功率为 N P w dw p w H w dw i n n 2 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ∫ 0 ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ = = π π 2 2 0 0 1 ( ) ( ) 22 4 n n H w dw H w dw π π ∞ ∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ (8.1 - 3) (8.1 - 4)
在抽样时刻，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均 功率之比为 .22wweh (8.1-5) No 由式(8.1-5)可见，滤波器输出信噪比r。与输入信号的频谱函 数S(o)和滤波器的传输函数H(O)有关。在输入信号给定的情 况下，输出信噪比r,只与滤波器的传输函数H(o)有关。使输出 信噪比r,达到最大的传输函数H(o)就是我们所要求的最佳滤波 器的传输函数。式(8.1·5)是一个泛函求极值的问题，采用施 瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题
由式(8.1 - 5)可见， 滤波器输出信噪比ro与输入信号的频谱函 数S(ω)和滤波器的传输函数H(ω)有关。在输入信号给定的情 况下，输出信噪比ro只与滤波器的传输函数H(ω)有关。使输出 信噪比ro达到最大的传输函数H(ω)就是我们所要求的最佳滤波 器的传输函数。式(8.1 - 5)是一个泛函求极值的问题，采用施 瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。 0 2 2 0 0 0 2 0 0 1 ( )( ) ( ) 2 r = (8.1 5) ( ) 4 jwt H w s w e dw s t N n H w dw π π ∞ −∞ ∞ −∞ = ∫ ∫ — 在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均 功率之比为
施瓦兹不等式为： 品(nY(ydrs2 (w) 9(8.1-6) 式中，X(@)和Y(o)都是实变量o的复函数。当且仅当 X(O)=KY*(@) (8.1-7) 时式(8.1-6)中等式才能成立。式(8.1-7)中K为任意常数。 将施瓦兹不等式用于式(8.1-5)，并令 X(o)=H(0) (8.1-8) Y(o)-S(o)eWo (8.1-9)
X w Y w dw X w dw Y w dw 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ≤ π π π 式中， X(ω)和Y(ω)都是实变量ω的复函数。 当且仅当 X(ω)=KY*(ω) (8.1 - 7) 时式(8.1 - 6)中等式才能成立。式(8.1 - 7)中K为任意常数。 将施瓦兹不等式用于式(8.1 - 5)， 并令 0 jwt X( )=H( ) (8.1 - 8) Y( )=S( )e (8.1 - 9) ω ω ω ω 施瓦兹不等式为: (8.1 - 6)
可得： gew (w)dw 三好wfwf-左小suf z∫lHwf 2 (8.110) 根据帕塞瓦尔定理有 25wfm=oo0h=么 (8.1-11)
可得: 0 2 0 2 0 1 ()() 2 r = ( ) 4 jwt H w S w e dw n H w dw π π ∞ −∞ ∞ −∞ ∫ ∫ 0 2 2 2 2 2 0 0 1 1 () () ( ) 4 2 ( ) 4 2 jwt H w dw S w e dw S w dw n n H w dw π π π ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ∞ −∞ ≤ = ∫∫ ∫ ∫ 根据帕塞瓦尔定理有 2 1 2 ( ) () 2π ∞ ∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ S w dw s t dt E （8.1_10） (8.1 - 11)
式中E为输入信号的能量。代入式(8.1-10)有： (8.1-12) no 式(8.1-12)说明，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 2E 0nax三 (8.1-13) no 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X(o)=KY*(o),可得不 等式(8.1-10)中等号成立的条件为 H()=KS*()e-jto (8.1-14) 式中，K为常数，通常可选择为K=1。S*(o)是输入信号频谱 函数S(o)的复共轭。式(8.1·14)就是我们所要求的最佳线性 滤波器的传输函数。 2E 该滤波器在给定时刻t能获得最大输出信噪比： no
根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X(ω)=KY*(ω)， 可得不 等式(8.1 - 10)中等号成立的条件为 H(ω)=KS*(ω)e-jωt0 （8.1-14） 式中，K为常数，通常可选择为K=1。S*(ω)是输入信号频谱 函数S(ω)的复共轭。式(8.1 - 14)就是我们所要求的最佳线性 滤波器的传输函数。 0 0 2 r (8.1 - 12) E n ≤ 0max 0 2 r (8.1 - 13) E n = 0 2 n E 式中E为输入信号的能量。 代入式(8.1 - 10)有： 式(8.1 - 12)说明，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比 ：
