西安电子科技大学：《无线通信理论》课程教学资源（教案讲义）Lecture 4 衰落信道容量

无线通信原理2021春郑贱平 Lecture4衰落信道容量 2021-3-26 之前讨论了无线衰落信道对误码性能的影响，本部分讨论其对信道容量的影响。 1、线性时不变(LT)固定高斯信道容量 首先讨论信道固定时LT信道的条件容量，分布针对SMO、MS0和单天线频选信道 分析其容量。 1)SMO信道 SIMO信道信号模型表示为 y.=hx+w:n=1..N. (1) 其中，EsP,N,表示接收天线数目，h,表示发送端到第n根接收天线的信道， w。~CN(O,N)表示加性高斯噪声。显然，接收信号采用MRC/MF处理后为 将=叫+守 (2) 其中 h ~CW(O,No)。因此接收端SNR为 SNR-P (3) 对应信道容量为 c-c网-e,9 (4) 2)MS0信道 假设发送端己知CSI(即CST),数据符号s首先根据CSI进行预编码得到发送信号 x=s∈C,经过固定衰落h∈C'和AWGN后，接收信号为 y=h'x+w=hus+w (5) 其中w-CW(0,N。)为加性高斯噪声，EssP,预编码向量满足约束u=1 接收端SNR为

无线通信原理 2021 春 郑贱平 Lecture 4 衰落信道容量 2021-3-26 之前讨论了无线衰落信道对误码性能的影响，本部分讨论其对信道容量的影响。 1、线性时不变（LTI）固定高斯信道容量 首先讨论信道固定时 LTI 信道的条件容量，分布针对 SIMO、MISO 和单天线频选信道 分析其容量。 1）SIMO 信道 SIMO 信道信号模型表示为 , 1,..., n n n r y h x w n N    （1） 其中， 2 E x P      ，Nr 表示接收天线数目， n h 表示发送端到第 n 根接收天线的信道， w N n 0, 0  表示加性高斯噪声。显然，接收信号采用 MRC/MF 处理后为 H H  x h y h w h h h （2） 其中 0, 0  H N h w h 。因此接收端 SNR 为 2 0 P SNR N  h （3） 对应信道容量为   2 2 0 log 1 P C C SNR N            h （4） 2）MISO 信道 假设发送端已知 CSI（即 CSIT），数据符号 s 首先根据 CSI 进行预编码得到发送信号 Nt x u  s ，经过固定衰落  Nt h 和 AWGN 后，接收信号为 T T y w s w     h x h u （5） 其中 w N 0, 0  为加性高斯噪声， 2 E s P      ，预编码向量满足约束 u 1。 接收端 SNR 为

无线通信原理2021春郑规平 SNRWup (6 N。 根据柯西公式有 n'of siflof -of (7) 即当 尚 (8) 时，接收端SNR达到最大值CP/N)。对应的信道容量为CP/N。) Remark1:根据上面分析，CSR情况下的SIMO信道和CST情况下的MISO信道容 量具有相同的信道容量，并且分别通过接收端的MRC和发送端的MRT实现。CSIR+MRC 与CST+MRT显然是一组对偶实现方式。实际上，点对点的收发端和多用户的上下行链路 都存在对偶关系。 3)频率选择性衰落信道 考虑采用OFDM调制的频率选择性衰落信道，其频域输入输出信号模型为 ya=h+wa,n=1...Ne (9) 其中N。表示ODM子载波数，x,和h,分别是第n个子载波上发送信号和频域信道且有 Ex,≤P,w。~CN(O,No)表示频域加性高斯噪声。显然，该结构的可达速率为 (10) N。 信道容量为 C=呀RP) s1.P+...+Py =N P (1) P.20,n=1,...N. 其中NP为所有子载波信道的和功率约束。 显然，优化问题(1)是一个凸优化问题，其对应的拉格朗日函数为 c-含到空g*6-月m

无线通信原理 2021 春 郑贱平 2 0 T P SNR N  h u （6） 根据柯西公式有 T 2 2 2 2 h u h u h   （7） 即当 *  h u h （8） 时，接收端 SNR 达到最大值   2 C P N h 0 。对应的信道容量为   2 C P N h 0 Remark 1：根据上面分析，CSIR 情况下的 SIMO 信道和 CSIT 情况下的 MISO 信道容 量具有相同的信道容量，并且分别通过接收端的 MRC 和发送端的 MRT 实现。CSIR+MRC 与 CSIT+MRT 显然是一组对偶实现方式。实际上，点对点的收发端和多用户的上下行链路 都存在对偶关系。 3）频率选择性衰落信道 考虑采用 OFDM 调制的频率选择性衰落信道，其频域输入输出信号模型为 , 1,..., n n n n c y h x w n N    （9） 其中 Nc 表示 OFDM 子载波数， n x 和 n h 分别是第 n 个子载波上发送信号和频域信道且有 2 E x P n n      ， w N n 0, 0  表示频域加性高斯噪声。显然，该结构的可达速率为   2 1 1 0 ,..., ln 1 c c N n n N n h P R P P  N            （10） 信道容量为    1  1 max ,..., . . ... 0, 1,..., c n c N P N c n c C R P P s t P P N P P n N       （11） 其中 N Pc 为所有子载波信道的和功率约束。 显然，优化问题（11）是一个凸优化问题，其对应的拉格朗日函数为     2 1 1 1 0 , , ln 1 ... c c c N N n n n n N c n n h P u P u P P N P N                    λ P   （12）

无线通信原理2021春郑贱平 KKT条件为 ac h2/N。 配1+Phf7风2+w=0 (13 1,D=0,n≥0n=1,N. 求解KKT条件得到最佳的功率分配为 g6别 (14) 其中()=max(x,0,u满足约束之P=NP,解(14)也称为功率注水。将上述最佳 功率分配代入(11)的目标函数即得频选信道的信道容量 c-到 (15) 作业1：利用packing sphere技术（参考DavidTse书5.l2节）证明公式(10)。详细提 示见参考DavidTse书习题5.12。 2、慢块衰落信道 1)中断概率与中断容量 接下来讨论当信道处于慢衰落时的信道容量。慢衰落信道模型为 g=h,+w,1=l,,T (16) 在慢衰落信道中，在服务时间内信道不发生变化，因此当信道质量差时不能通过分集等方法 改善系统性能，因此不能按照QS要求传输数据，此时称为传输发生中断。 中断概率定义为当前的目标速率R大于当前固定高斯信道容量的概率，即 P.(R)=Pr(log2 (1+SNR,)<R) (17) 其中发送端SNR定义为SNR,=P/N。在瑞利衰落信道假设h~CW(O,)下，有 u≌|~exp(),此时 (18) 在高SNR时，有 p (19)

无线通信原理 2021 春 郑贱平 KKT 条件为 2 0 2 0 0 1 0, 0, 1,..., n n n n n n n n c h N u P P h N P n N                   （13） 求解 KKT 条件得到最佳的功率分配为 * 0 2 1 n n N P u h            （14） 其中  x x  max ,0     ，u 满足约束 * 1 Nc n c n P N P    。解（14）也称为功率注水。将上述最佳 功率分配代入（11）的目标函数即得频选信道的信道容量 2 * 1 0 ln 1 Nc n n n h P C  N            （15） 作业 1：利用 packing sphere 技术（参考 David Tse 书 5.1.2 节）证明公式（10）。详细提 示见参考 David Tse 书习题 5.12。 2、慢/块衰落信道 1）中断概率与中断容量 接下来讨论当信道处于慢衰落时的信道容量。慢衰落信道模型为 , 1,..., t t t y hx w t T    （16） 在慢衰落信道中，在服务时间内信道不发生变化，因此当信道质量差时不能通过分集等方法 改善系统性能，因此不能按照 QoS 要求传输数据，此时称为传输发生中断。 中断概率定义为当前的目标速率 R 大于当前固定高斯信道容量的概率，即       2 P R h SNR R out t    Pr log 1 2 （17） 其中发送端 SNR 定义为 t 0 SNR P N  。在瑞利衰落信道假设 h 0,1 下，有   2 u h exp 1 ，此时   2 1 0 2 1 2 1 Pr 1 exp R t R R SNR u out t t P R u e du SNR SNR                        （18） 在高 SNR 时，有   2 1 R out t P R SNR   （19）

无线通信原理2021春郑规平 根据中断概率可以定义中断容量。6中断容量定义为中断概率不大于6时的最大可传输 速率，即 C.=log(1+F-(1-)SNR) (19) 其中F(x)兰Pr(以>x。该中断容量表达式可由下式推导 网-r威-威 F0-列 (20) R=l0g(1+F-(1-E)SNR) 在高SNR时，有 C=log F-(1-E)+log(SNR) ≈logF-1(1-e）+Cwmh (21) 其中Cmmh≈Iog(SNR)为AWGN信道在高SNR的容量近似表达式。在低SNR时，有 C.≈F-(1-s)SNR,log,e (22) ≈F(1-E)Cam 其中C≈SNR,log2.e为AWGN信道在低SNR的容量近似表达式 进一步，在瑞利衰落信道假设下u兰~exp(),因此 F(x)Pr(>x=.e-"du=exp(-x)=1-x for<x1 (23) 即当中断概率较小时有F~(1-)≈E。代入公式(22)可知低SNR时慢衰落信道中断容 量仅为高斯信道是容量的6部分。代入(21)知logF-(1-6)≈log6<0,因此高SNR 时，慢衰落信道中断容量比高斯信道容量小一og5。 为了降低中断概率，可以在空间、时间和频率等资源维度上采用分集技术。 2)接收空间分集 根据式(4)，配置N,根接收天线的SM0信道的中断概幸可表示为 P (R)=Pr(log:(1+SVR <R) n时 (24)

无线通信原理 2021 春 郑贱平 根据中断概率可以定义中断容量。  中断容量定义为中断概率不大于  时的最大可传输 速率，即     1 log 1 1 C F SNR  t      （19） 其中     2 F x h x Pr  。该中断容量表达式可由下式推导         2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 Pr 1 Pr 1 2 1 1 log 1 1 R R R out t t t R t t P R h h F SNR SNR SNR F SNR R F SNR                                           （20） 在高 SNR 时，有       1 1 , log 1 log log 1 t awgn h C F SNR F C            （21） 其中 C SNR awgn h t ,  log  为 AWGN 信道在高 SNR 的容量近似表达式。在低 SNR 时，有     1 2 1 , 1 log 1 t awgn l C F SNR e F C          （22） 其中 , 2 log C SNR e awgn l t  为 AWGN 信道在低 SNR 的容量近似表达式。 进一步，在瑞利衰落信道假设下   2 u h exp 1 ，因此       2 Pr exp 1 for 0< 1 u x F x h x e du x x x          （23） 即当中断概率较小时有   1 F 1      。代入公式（22）可知低 SNR 时慢衰落信道中断容 量仅为高斯信道是容量的  部分。代入（21）知   1 log 1 log 0 F       ，因此高 SNR 时，慢衰落信道中断容量比高斯信道容量小log 。 为了降低中断概率，可以在空间、时间和频率等资源维度上采用分集技术。 2）接收空间分集 根据式（4），配置 Nr根接收天线的 SIMO 信道的中断概率可表示为       2 2 2 Pr log 1 2 1 Pr rx out t R t P R SNR R SNR             h h （24）

无线通信原理2021春郑贱平 在瑞利衰落假设下，u兰h~X2(O,2N),其概率密度函数PDF为 f-可ew2 (25 当u很小时e"≈l,因此上述PDF近似为 1 f四w-之 将(26)代入(24)，在高SNR时有 网-r (27 显然，相比(19)，SMO获得接收分集增益N 3)发送空间分集 在CST情况下，N,根发送天线的MSO固定高斯信道容量为ChP/N。),中断概 率为 P (R)=Pr(log(1+hSNR,<R (28) 上式与(24)相同，因此可获得分集度为N, 当仅在接收端已知CSL,即CSIR时，首先考察N=2 MISO Alamouti结构。根据Lectur心 2分析结果，Alamouti结构中断概率为 (=n+)R (28) 简单推导能够发现，Alamouti结构能获得分集度2，但相比CST情况(28)，有3dB的功 率损失。Alamouti结构在2发1收的MISO中是容量可达结构。更广义的NP2时的信道 容量与Alamouti结构可达速率有相似的表达式，其中断概率为 国=受 =P<-) (29) SNR, 进一步考虑重复结构，其中断概率可以表示为

无线通信原理 2021 春 郑贱平 在瑞利衰落假设下，   2 2 0,2 r u N h  ，其概率密度函数 PDF 为     1 1 , 0 1 ! L u r f u u e u N      （25） 当 u 很小时 1 u e   ，因此上述 PDF 近似为     1 1 , 0 1 ! L r f u u u N     （26） 将（26）代入（24），在高 SNR 时有   2 2 1 2 1 Pr ! r r N R R rx out N t r t P R SNR N SNR            h （27） 显然，相比（19），SIMO 获得接收分集增益 Nr。 3）发送空间分集 在 CSIT 情况下，Nt 根发送天线的 MISO 固定高斯信道容量为   2 C P N h 0 ，中断概 率为       2 , Pr log 1 tx csit P R SNR R out t    h （28） 上式与（24）相同，因此可获得分集度为 Nt。 当仅在接收端已知 CSI，即 CSIR 时，首先考察 Nt=2 MISO Alamouti 结构。根据 Lecture 2 分析结果，Alamouti 结构中断概率为   2 Pr log 1 2 ala t out SNR P R R                h （28） 简单推导能够发现，Alamouti 结构能获得分集度 2，但相比 CSIT 情况（28），有 3dB 的功 率损失。Alamouti 结构在 2 发 1 收的 MISO 中是容量可达结构。更广义的 Nt>2 时的信道 容量与 Alamouti 结构可达速率有相似的表达式，其中断概率为     2 2 Pr log 1 2 1 Pr opt t out t R t t SNR P R R N N SNR                           h h （29） 进一步考虑重复结构，其中断概率可以表示为

无线通信原理2021春郑城平 (R)Po(1+w SNR)SVR”, 即在相同的中断概率情况下重复结构需要更多的发送能量， 作业2：证明公式(29)。 4)时间和频率分集 上述考虑慢衰落信道，数据服务时间仅经历一个固定的信道衰落。这里考虑块衰落信 道，即信息在L个相干间隔进行传输(L为有限值)，每个相干间隔包括T个信道时隙。此 时，输入输出信号模型为 y()=h,x()+w(),1=1,L,1=1,T (33) 其中x,()表示第1个相干间隔的第1个时隙的发送信号，乃()和，()定义类似，，表 示第1个相干间隔上的信道。 上述信道模型可等价为T个并行信道，每个并行信道均为慢衰落。每个并行信道的 最大可达速率为 log:(1+SVR (34) 其中SNR,=P/N。,P为第1个子信道的发送功率，且满足总功率约束R++≤LP 在CST情况下，类似OFDM在频域进行功率注水，可以在时间上进行功率注水最大

无线通信原理 2021 春 郑贱平     2 2 1 Pr log 1 2 1 Pr t rep out t t N R t P R SNR R N SNR                   h h (30) 比较（29）和（30），为了达到相同的中断概率，要求 2 1 2 1 t R N R t opt rep t t N SNR SNR    (31) 这里，为了区分将正交和重复结构的发送端 SNR 分别记为 opt t SNR 和 rep t SNR 。在低码率 R 0 时注意到   ln 2 ln 2 2 1 ln 2 R R R     e e R ，有 2 1 ln2 N Rt   N Rt 和 2 1 ln 2 R   R 由（31）得   2 1 ln 2 1 2 1 ln 2 N Rt rep t t opt R t t t SNR N R SNR N R N      (32) 因此在低码率区正交结构和重复结构具有相似的性能。在高码率区显然有 rep opt t t SNR SNR  ， 即在相同的中断概率情况下重复结构需要更多的发送能量。 作业 2：证明公式（29）。 4）时间和频率分集 上述考虑慢衰落信道，数据服务时间仅经历一个固定的信道衰落。这里考虑块衰落信 道，即信息在 L 个相干间隔进行传输（L 为有限值），每个相干间隔包括 T 个信道时隙。此 时，输入输出信号模型为      , 1,..., , 1,..., l l l l y t h x t w t l L t T     （33） 其中 x t l   表示第 l 个相干间隔的第 t 个时隙的发送信号， y t l   和 w t l   定义类似， l h 表 示第 l 个相干间隔上的信道。 上述信道模型可等价为 T 个 L-并行信道，每个并行信道均为慢衰落。每个并行信道的 最大可达速率为   2 2 , 1 log 1 L l t l l h SNR    （34） 其中 t l l , 0 SNR P N  ，Pl 为第 l 个子信道的发送功率，且满足总功率约束 1 ... P P LP   L 。 在 CSIT 情况下，类似 OFDM 在频域进行功率注水，可以在时间上进行功率注水最大

无线通信原理2021春郑贱平 化可达速率(34)。此时SNR,=E/N。,其中P表示由功率注水确定的第1个子信道的 发送功率.在仅有CISR的情况下，一般采用等功率分配即P=P,l.此时SVR,=P/N。。 两种情况下，系统的中断概奉均可表示为 P (R)=Prog:(1+SNR)<LR (35) 在CST情况下，第1个子信道分配速率R=log21+h,P/N),采用编码技术能 够保证按照R事先可靠传输。因此，并行信道能够实现∑R=LR的可靠传输。即仅当 并行信道速率大于LR时才发送中断，获得了公式(35)的中断性能。 在CSR情况下，由于未知信道信息，每个子信道的信息速率为 R=log21+hP/N。,当h较小不能支持速率R时即发送中断，对应的中断概率为 Pr(log:(1+SNR <R) (36) 整个系统的中断概率（只要有一个子信道中断系统即中断）为 Pr(log:+hfsR)小<R (37) 显然上式给出的中断概率大于(35)，仅整个系统不能实现速率LR的可靠传输。为了获得 式(35)的中断性能即实现速率LR的可靠传输，需要将L个子信道看作一个整体间进行 联合编码以获得整个系统速率(34)。直观上，各个子信道间通过编码实现协作（充分利用 L个独立衰落子信道的分集度)，信道好的帮助信道差的子信道，最终实现整体速率LR的 可靠传输。 将L看作OFDM子载波数，T看作OFDM符号数。此时，信道在T个OFDM符号时 间保持不变，但子载波信道之间独立衰落。上述时间分集即为频率分集。 3、快衰落信道 快衰落信道输入输出信号模型为 y=x,+w,1=1,,T (38) 对该信道容量的分析分为CSR和CST两种情况分别进行讨论。 1)CSIR情况 在CSIR情况下，每符号时刻分配相同的发送功率P,发送端SNR为SVR=P/N

无线通信原理 2021 春 郑贱平 化可达速率（34）。此时 * t l l , 0 SNR P N  ，其中 * Pl 表示由功率注水确定的第 l 个子信道的 发送功率。在仅有 CISR 的情况下，一般采用等功率分配即 , P P l l   。此时 t l, 0 SNR P N  。 两种情况下，系统的中断概率均可表示为     2 2 , 1 Pr log 1 L out l t l l P R h SNR LR            （35） 在 CSIT 情况下，第 l 个子信道分配速率   2 * 2 0 log 1 R h P N l l l   ，采用编码技术能 够保证按照 Rl 事先可靠传输。因此，并行信道能够实现 1 L l l R LR    的可靠传输。即仅当 并行信道速率大于 LR 时才发送中断，获得了公式（35）的中断性能。 在 CSIR 情况下，由于未知信道信息，每个子信道的信息速率为   2 2 0 log 1 R h P N   l ，当 2 l h 较小不能支持速率 R 时即发送中断，对应的中断概率为     2 Pr log 1 2 , l t l   h SNR R （36） 整个系统的中断概率（只要有一个子信道中断系统即中断）为     2 2 , 1,..., Pr min log 1 l t l l L h SNR R    （37） 显然上式给出的中断概率大于（35），仅整个系统不能实现速率 LR 的可靠传输。为了获得 式（35）的中断性能即实现速率 LR 的可靠传输，需要将 L 个子信道看作一个整体间进行 联合编码以获得整个系统速率（34）。直观上，各个子信道间通过编码实现协作（充分利用 L 个独立衰落子信道的分集度），信道好的帮助信道差的子信道，最终实现整体速率 LR 的 可靠传输。 将 L 看作 OFDM 子载波数，T 看作 OFDM 符号数。此时，信道在 T 个 OFDM 符号时 间保持不变，但子载波信道之间独立衰落。上述时间分集即为频率分集。 3、快衰落信道 快衰落信道输入输出信号模型为 , 1,..., t t t t y h x w t T    （38） 对该信道容量的分析分为 CSIR 和 CSIT 两种情况分别进行讨论。 1）CSIR 情况 在 CSIR 情况下，每符号时刻分配相同的发送功率 P，发送端 SNR 为 t 0 SNR P N 

无线通信原理2021春郑戴平 在快衰落信道假设下，不同符号时刻对应的信道相互独立并且业务持续时间充分长，因此 可对信道求平均，定义遍历信道容量为 C=E log2 (1+SNR (39) 利用对数函数的上凸性(concave),根据Jensen不等式 C=E log2 (1+SNR) ≤iog,+E,[hf]SwR） (40) =log2(1+SNR)=C 其中假设E,M=1。因此在CSR情况下，快衰落信道容量小于高斯信道容量。 Remark2:事实上快衰落信道等价于L→o的块衰落信道。此时在块衰落信道的中断 概率表达式中 P(R=P2og.+hfNR)<R】 (41) L台 利用大数定律有 =2e-小E[s+hR] (42) 因此式(41)中第一项变为确定值C.对于确定值C,如果目标速率R大于C有Pr(C<R)=1, 反之有P(C<R)=0。因此在快衰落信道中仅讨论遍历信道容量。 2)CSIT情况 在CST情况下，发送端能够根据信道质量确定每符号时刻的发送功率，即在时间上 进行功率注水。此时遍历信道容量为 N。 (43) 其中 p=1&》 u (44) 考虑高SNR情况，此时N。→0，从(44)有P≈1/u,即此时的功率注水策略简化 为每个符号等功率分配。进一步，此时的信道容量即为CSR情况下的信道容量

无线通信原理 2021 春 郑贱平 在快衰落信道假设下，不同符号时刻对应的信道相互独立并且业务持续时间充分长，因此 可对信道求平均，定义遍历信道容量为   2 2 log 1 C E h SNR h l t       （39） 利用对数函数的上凸性（concave），根据 Jensen 不等式       2 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1 h l t h l t t awgn C E h SNR E h SNR SNR C                （40） 其中假设 2 1 E h h l      。因此在 CSIR 情况下，快衰落信道容量小于高斯信道容量。 Remark 2：事实上快衰落信道等价于 L  的块衰落信道。此时在块衰落信道的中断 概率表达式中     2 2 , 1 1 Pr log 1 L out l t l l P R h SNR R L            （41） 利用大数定律有     2 2 2 , 2 1 1 lim log 1 log 1 L l t l h l t L l h SNR E h SNR  L          （42） 因此式（41）中第一项变为确定值 C。对于确定值 C，如果目标速率 R 大于 C 有 Pr 1 C R   ， 反之有 Pr 0 C R   。因此在快衰落信道中仅讨论遍历信道容量。 2）CSIT 情况 在 CSIT 情况下，发送端能够根据信道质量确定每符号时刻的发送功率，即在时间上 进行功率注水。此时遍历信道容量为 2 2 * * 2 2 1 0 0 1 lim log 1 log 1 L l l h L l P h P h C E  L N N                               （43） 其中 * 0 2 1 N P u h            （44） 考虑高 SNR 情况，此时 0 N  0 ，从（44）有 * P u 1 ，即此时的功率注水策略简化 为每个符号等功率分配。进一步，此时的信道容量即为 CSIR 情况下的信道容量

无线通信原理2021春郑贱平 考虑极低SNR情况，此时N。→0。假设N个信道，，分配功率，且满足 h,>…>h,。考虑前两个信道分配功* (45) 其功率差为 (46) 因此NI。即在极低SNR时，功率注水等价于将所有功率分配给信道质量最好的符号时隙。 此时的传输速率可表达为 Cm(i-G)o,1 -P(f-c_)og.1p-G.) P (47) 、Plw-6.-mlw=0jN,c P =GSNR,log:e=GC 上式中G=对应最好的信道质量，并且利用了总发送功率P与平均功率P的关系式 P=PPrM=Gn),Cmn=SNR,log,e为低SNR时AWGN信道容量。注意到一般 有G>1,因此在CST和极低SNR情况下，衰落信道相比高斯信道具有更大的容量

无线通信原理 2021 春 郑贱平 考虑极低 SNR 情况，此时 N0 。假设 N 个信道 1 ,..., N l l 分配功率，且满足 1 ... N l l h h   。考虑前两个信道分配功率 1 2 1 2 * * 0 0 2 2 1 1 , l l l l N N P P u u h h     （45） 其功率差为 1 2 2 1 * * 0 0 2 2 1 1 , since l l l l P P N N h h                （46） 因此N=1。即在极低SNR时，功率注水等价于将所有功率分配给信道质量最好的符号时隙。 此时的传输速率可表达为           2 max 2 max 0 2 max 2 max 2 max 0 2 max max 2 2 max 0 max 2 max Pr log 1 Pr log 1 Pr Pr log Pr log tot t awgn P C h G G N P h G G h G N P h G G e h G N G SNR e G C                           （47） 上式中 Gmax 对应最好的信道质量，并且利用了总发送功率 Ptot 与平均功率 P 的关系式   2 P P h G   tot Pr max ， 2 log C SNR e awgn t  为低 SNR 时 AWGN 信道容量。注意到一般 有 max G 1，因此在 CSIT 和极低 SNR 情况下，衰落信道相比高斯信道具有更大的容量