无线通信原理2021春郑城平 Lecture5多用户容量和机会通信 2021-4-6 之前讨论了单用户无线衰落信道的误码和容量性能，本部分讨论多用户无线衰落信道容 量区域。 1、上行AWGN信道 首先考虑两用户上行AWGN信道，其输入输出信号模型为 y=+x+w (1) 其中，ExsP,k=1,2,w-CN(0,No)表示加性高斯噪声 其容量区域定义为用户1和2分别能实现可靠传输时对应速率对的集合，即 C={《R,R)B(R)→0，P2.(R)→0} (2) 其中P(R),k=L,2表示用户k以速率R传输时的错误概率。进一步定义对称容量为两 用户以相同速率实现可靠传输时的最大速率，即 Com=maxR (3) 定义和容量为实现可靠传输的最大和速率，即 ComR+R (4) 两用户上行AWGN信道的容量区域由满足下面约束的速率对构成 Rs+发}尼s) (5) 88到 其中前两个约束为单用户约束（即假定只服务当前用户时对应的信道容量约束），第三个约 束是当两用户能实现完全协作时的虚拟单用户信道容量约束。 公式(5)的容量区域的一个示例如图51所示。图中点A和B分别对应只服务用户1 和2的情况，点C对应在接收端先译用户2再干扰抵消然后译用户1的情况，点D与C译 码顺序相反。线段ACDB上的点均可以通过时分正交策略得到，CD线段上的点均达到最 大和速率（公式(5）第三个约束的上界)。具体的，点对应C的可达速率对为
无线通信原理 2021 春 郑贱平 Lecture 5 多用户容量和机会通信 2021-4-6 之前讨论了单用户无线衰落信道的误码和容量性能，本部分讨论多用户无线衰落信道容 量区域。 1、上行 AWGN 信道 首先考虑两用户上行 AWGN 信道，其输入输出信号模型为 1 2 y x x w （1） 其中， 2 , 1,2 E x P k k k ， w N 0, 0 表示加性高斯噪声。 其容量区域定义为用户 1 和 2 分别能实现可靠传输时对应速率对的集合，即 R R p R p R 1 2 1, 1 2, 2 , 0, 0 e e （2） 其中 , , 1,2 k e k p R k 表示用户 k 以速率 Rk 传输时的错误概率。进一步定义对称容量为两 用户以相同速率实现可靠传输时的最大速率，即 , max sym R R C R （3） 定义和容量为实现可靠传输的最大和速率，即 1 2 1 2 , max sym R R C R R （4） 两用户上行 AWGN 信道的容量区域由满足下面约束的速率对构成 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 log 1 , log 1 log 1 P P R R N N P P R R N （5） 其中前两个约束为单用户约束（即假定只服务当前用户时对应的信道容量约束），第三个约 束是当两用户能实现完全协作时的虚拟单用户信道容量约束。 公式（5）的容量区域的一个示例如图 5-1 所示。图中点 A 和 B 分别对应只服务用户 1 和 2 的情况，点 C 对应在接收端先译用户 2 再干扰抵消然后译用户 1 的情况，点 D 与 C 译 码顺序相反。线段 ACDB 上的点均可以通过时分正交策略得到， CD 线段上的点均达到最 大和速率（公式（5）第三个约束的上界）。具体的，点对应 C 的可达速率对为
无线通信原理2021春郑城平 -:是)=品) (6) B+N 在BS端首先译用户2的信号，此时直接将用户1的信号看作干扰，从公式(1)知，此 时的SNR为/(？+N)。然后将用户2的信号进行重构和消除，在假定x译码完全正 确的条件下即元=x,干扰消除后的信号为 y=y-元=x+x2-名+w=x+w (7) 此时译用户1信号对应的SNR为P/N。。 图51.两用户上行高斯信道容量区域， 图5-2.两用户上行高斯信道容量区域. 作业1：线段CD上的点出了可以采用时分策略得到，也可以通过速率分裂策略得到 两用户速率分裂的基本思想是将一个用户比如用户1分裂为两个虚拟用户1ā和1b,分配的 功率分别为6和P-6,然后按照1a、2和1b的顺序采用S1C译码。试证明该方案的可行 性即能达到式(5)第三个约束的和速率上限。 上面给出了两用户上行高斯信道的容量区域及其可达技术SIC译码策略。下面考虑常 用的CDMA策略和正交策略。在CDMA策略中，每用户进行单用户译码（将其他用户信号 看作干扰)，其可达速率为
无线通信原理 2021 春 郑贱平 1 2 1 2 0 1 0 log 1 , log 1 P P R R N P N （6） 在 BS 端首先译用户 2 的信号，此时直接将用户 1 的信号看作干扰，从公式（1）知，此 时的 SINR 为 P P N 2 1 0 。然后将用户 2 的信号进行重构和消除，在假定 2 x 译码完全正 确的条件下即 2 2 x x ˆ ，干扰消除后的信号为 2 1 2 2 1 y y x x x x w x w ˆ ˆ （7） 此时译用户 1 信号对应的 SNR 为 P N 1 0 。 R1 R2 A B C D O 图 5-1. 两用户上行高斯信道容量区域。 R1 R2 A B C D O E 图 5-2. 两用户上行高斯信道容量区域。 作业 1：线段 CD 上的点出了可以采用时分策略得到，也可以通过速率分裂策略得到。 两用户速率分裂的基本思想是将一个用户比如用户 1 分裂为两个虚拟用户 1a 和 1b，分配的 功率分别为 和 P1 ，然后按照 1a、2 和 1b 的顺序采用 SIC 译码。试证明该方案的可行 性即能达到式（5）第三个约束的和速率上限。 上面给出了两用户上行高斯信道的容量区域及其可达技术 SIC 译码策略。下面考虑常 用的 CDMA 策略和正交策略。在 CDMA 策略中，每用户进行单用户译码（将其他用户信号 看作干扰），其可达速率为
无线通信原理2021春郑戴平 k=12 (8) 当发送端未知CSI时，每用户等功率发送信号：当已知CST时，进行功率控制使得 Q=Q,k。图52给出了C和D点分别对应未采用功率控制和采用功率控制时CDMA 的可达速率对。 在正交策略中，其可达速率取推导如下。假设将用户1和2分别分配信道自由度的α和 1-a部分。则用户1和2的可达速率分别为 R-ae+】 (9) 尾-l-)o1-a) 其和速率为 R+%af品0-oefo B】 (10) 定义辅助变量 with probbailtya (11) with probbailty 则和速率可表示为 +8- (12) N。 上式利用了1og(1+x)当x>0时的上凸性和E[叫=？+B。从上式以看出采用正交策略仅当 a-a-i P (13) 时能达到最大和速率。图52中点E即表示当分配因子α满足上式时的可达速率对。 最后，将K=2的两用户推广到一般的多用户情况。此时K用户上行AWGN信道的容量 区域为
无线通信原理 2021 春 郑贱平 0 log 1 , 1,2 k k k k k Q R k Q N （8） 当发送端未知 CSI 时，每用户等功率发送信号；当已知 CSIT 时，进行功率控制使得 , Q Q k k 。图 5-2 给出了 C 和 D 点分别对应未采用功率控制和采用功率控制时 CDMA 的可达速率对。 在正交策略中，其可达速率取推导如下。假设将用户 1 和 2 分别分配信道自由度的 和 1 部分。则用户 1 和 2 的可达速率分别为 1 1 0 2 2 0 log 1 1 log 1 1 P R N P R N （9） 其和速率为 1 2 1 2 0 0 log 1 1 log 1 1 P P R R N N （10） 定义辅助变量 1 2 , with probbailty , with probbailty 1- 1 P u P （11） 则和速率可表示为 1 2 0 1 2 0 0 log 1 log 1 log 1 u sum u R R E N E u P P C N N （12） 上式利用了 log(1+x)当 x>0 时的上凸性和 E u P P 1 2 。从上式以看出采用正交策略仅当 1 2 1 1 2 1 P P P P P （13） 时能达到最大和速率。图 5-2 中点 E 即表示当分配因子 满足上式时的可达速率对。 最后，将 K=2 的两用户推广到一般的多用户情况。此时 K 用户上行 AWGN 信道的容量 区域为
无线通信原理2021春郑贱平 ∑P for all s(12...) (14) N。 上式总共有21个不等式约束。和容量为 1+ (15) N。 对应协作的虚拟单用户信道容量。当所有用户等功率发送信号即P=P,k时，对称速率 c+) (16) 上述对称速率可通过正交策略得到（每用户分配自由度为1K)。 Remark1:采用功率控制的CDMA系统和速率为 cue=K1oe1+(K-i0+N） (17) K(K)0+N log,elog,e=1.442 b/s/z 2、下行固定高斯信道 首先考虑两用户K=2情况。用户k的其输入输出信号模型为 y=hx+w,k=1,2 (18) 其中，E[门sP,~CW0,N)表示加性高斯噪声。假设只服务一个用户，则对应 的单用户界为 log1)12 (19) N。 在对称情况即h=h时，假设用户1能够以速率R实现可靠传输，则用户2也能实 现用户1数据的可靠译码（具有相同的SNR表达式），进一步用户2执行SC,完全消除 用户1的干扰，实现用户2速率R数据的可靠传输。显然，用户2同时实现了速率R+R 的可靠传输，因此有
无线通信原理 2021 春 郑贱平 0 log 1 , for all 1,2,..., k k k k P R K N （14） 上式总共有 2 K -1 个不等式约束。和容量为 1 0 log 1 K k k sum P C N （15） 对应协作的虚拟单用户信道容量。当所有用户等功率发送信号即 , P P k k 时，对称速率 为 0 1 log 1 sym KP C K N （16） 上述对称速率可通过正交策略得到（每用户分配自由度为 1/K）。 Remark 1：采用功率控制的 CDMA 系统和速率为 , 0 2 2 0 log 1 1 log log 1.442 b/s/Hz 1 CDMA PC sum K Q C K K Q N Q K e e K Q N （17） 2、下行固定高斯信道 首先考虑两用户 K=2 情况。用户 k 的其输入输出信号模型为 , 1,2 k k k y h x w k （18） 其中， 2 E x P ， w N k 0, 0 表示加性高斯噪声。假设只服务一个用户，则对应 的单用户界为 2 0 log 1 , 1,2 k k P h R k N （19） 在对称情况即 1 2 h h 时，假设用户 1 能够以速率 R1 实现可靠传输，则用户 2 也能实 现用户 1 数据的可靠译码（具有相同的 SINR 表达式）。进一步用户 2 执行 SIC，完全消除 用户 1 的干扰，实现用户 2 速率 R2数据的可靠传输。显然，用户 2 同时实现了速率 R1+R2 的可靠传输，因此有
无线通信原理2021春郑规平 R+R<log1+Ph） (20) N。 上式和(19)式共同确定了对称情况的容量区域。 显然，采用自由度的正交分配能够获得上述容量区域。此外，采用叠加编码+SIC策略 也能获得对称情况的容量区域。具体的，假定发送信号由用户1和用户2的信号按照如下方 式叠加构成 x=x+x (21) 其中x和：，分别为归一化的用户1和用户2数据，P和乃分别为分配用户1和用户2的功 率并且有P+B=P。 假设用户1译码时将用户2的数据直接看作干扰，则有用户1的可达速率为 R<log1+ Bll (22) (Bh+N。 用户执行SIC策略，首先译用户1数据，其可达SNR为 Bl P SINRa2 < (23) +No+No 因此当R满足约束(22)时，用户2也能准备译出用户1的数据。进一步干扰抵消后，用 户2可实现满足如下约束的速率R <1oε1+B） (24) N。 因此，系统和速率为 R+R <log R (25 接下来考虑非对称情况即h≠，不失一般性，假设h<。首先考虑式(21) 所示的叠加编码策略。此时，根据(22)·(24)的译码策略，其可达速率区域为
无线通信原理 2021 春 郑贱平 2 1 1 2 0 log 1 P h R R N （20） 上式和（19）式共同确定了对称情况的容量区域。 显然，采用自由度的正交分配能够获得上述容量区域。此外，采用叠加编码+SIC 策略 也能获得对称情况的容量区域。具体的，假定发送信号由用户 1 和用户 2 的信号按照如下方 式叠加构成 1 1 2 2 x P x P x （21） 其中 1 x 和 2 x 分别为归一化的用户 1 和用户 2 数据， P1 和 P2 分别为分配用户 1 和用户 2 的功 率并且有 P P P 1 2 。 假设用户 1 译码时将用户 2 的数据直接看作干扰，则有用户 1 的可达速率为 2 1 1 1 2 2 1 0 log 1 P h R P h N （22） 用户执行 SIC 策略，首先译用户 1 数据，其可达 SINR 为 2 2 1 2 1 1 1@2 2 2 2 2 0 2 1 0 P h P h SINR P h N P h N （23） 因此当 R1 满足约束（22）时，用户 2 也能准备译出用户 1 的数据。进一步干扰抵消后，用 户 2 可实现满足如下约束的速率 R2 2 2 2 2 0 log 1 P h R N （24） 因此，系统和速率为 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 log 1 log 1 log 1 P h P h P h R R P h N N N （25） 接下来考虑非对称情况即 1 2 h h ，不失一般性，假设 1 2 h h 。首先考虑式（21） 所示的叠加编码策略。此时，根据（22）-（24）的译码策略，其可达速率区域为
无线通信原理2021春郑贱平 R2的情况。在对称假设h=h,==hx下，其容量区域为 2s,货sc2-网 (28) 正交和叠加编码+SIC策略均是容量区域可达结构。在非对称假设h<h,<…<h,下，其 容量区域为 R≤log1+ Plh ,k=12,K (29) 三Pf+ 该容量区域可通过叠加编码+强用户SIC策略得到
无线通信原理 2021 春 郑贱平 2 1 1 1 2 2 1 0 2 2 2 2 0 log 1 log 1 P h R P h N P h R N （26） 接下来考虑正交策略。此时的可达速率区为 2 1 1 0 2 2 2 0 log 1 1 log 1 1 P h R N P h R N （27） 图 5-3 给出了两种方案的可达速率区，从图中可以看出，叠加编码+强用户 SIC 的可达速率 区包含且不限于正交策略的可达速率区。事实上，叠加编码+强用户 SIC 的可达速率区时下 行固定高斯信道的容量区域。 R1 R2 O 正交策 略界 叠加编 码+SIC 策略界 图 5-3. 两用户下行固定高斯信道容量区域和可达速率区。 推广到一般的 K>2 的情况。在对称假设 1 2 ... K h h h 下，其容量区域为 2 1 0 log 1 , for all 1,2,..., k k P h R K N （28） 正交和叠加编码+SIC 策略均是容量区域可达结构。在非对称假设 1 2 ... K h h h 下，其 容量区域为 2 2 0 1 log 1 , 1,2,..., k k k K j k j k P h R k K P h N （29） 该容量区域可通过叠加编码+强用户 SIC 策略得到
无线通信原理2021春郑戴平 3、上行衰落信道 上行衰落信道BS接收信号表达式一般模型为 火=2hw+w。 (30) 其中，x和h,分别表示用户k在第m时隙的发送信号和到BS的信道增益，同时发送信 号满足功率约束Ek门]飞P,k=L2K,m=L2M,火.和w。-CW(0,N)分别 表示第m时隙接收信号和加性高斯噪声。 3.1、慢衰落信道 在慢衰落信道上有hm=h,m,根据式(14)，定义上行信道中断概率为 p呢=Pr{log1+swR∑<R.for some Sef1,2K) (31) 其中SNR兰P/N。上式中S总共有21中可能，只要有一种(for some)情况下和速率 小于目标速率则整个系统发生中断， 考虑对称情况h=h,=…=hx=h,每用户占用自由度1/K的正交策略，假设每用 户中断概率为ε'，则整个上行链路的中断概率为 p需=1-(I-6）sK6 黑 (32) =K Pr log(1+KSNR)<KR=E →Prlog1+K h SNR<KR=sK 注意到 C.(SNR)-RPr OB(1 SNR)<R (33) 因此，正交上行链路的￡对称中断速率为 RT-Cl (KxSNR) K (34) 上式是否是最佳的？即正交策略在非对称上行链路是否是最佳的？考虑低SNR情况
无线通信原理 2021 春 郑贱平 3、上行衰落信道 上行衰落信道 BS 接收信号表达式一般模型为 , , 1 K m k m k m m k y h x w （30） 其中， k m, x 和 km, h 分别表示用户 k 在第 m 时隙的发送信号和到 BS 的信道增益，同时发送信 号满足功率约束 2 , , 1,2,..., , 1,2,..., E x P k K m M k m ， m y 和 w N m 0, 0 分别 表示第 m 时隙接收信号和加性高斯噪声。 3.1、慢衰落信道 在慢衰落信道上有 , , k m k h h m ，根据式（14），定义上行信道中断概率为 2 Pr log 1 , for some 1,2,...,K up out k k p SNR h R （31） 其中 0 SNR P N 。上式中 总共有 2 K -1 中可能，只要有一种（for some）情况下和速率 小于目标速率则整个系统发生中断。 考虑对称情况 1 2 ... K h h h h ，每用户占用自由度 1/K 的正交策略，假设每用 户中断概率为 ，则整个上行链路的中断概率为 2 0 2 2 1 1 1 Pr log 1 1 Pr log 1 Pr log 1 up K out p K P h K R K K N K K h SNR KR K h SNR KR K （32） 注意到 2 C SNR R h SNR R Pr log 1 （33） 因此，正交上行链路的 对称中断速率为 K ort K C K SNR R K （34） 上式是否是最佳的？即正交策略在非对称上行链路是否是最佳的？考虑低 SNR 情况
无线通信原理2021春郑贱平 式(30)可以近似表示为 g=m信：sn空小.owe2.内 -m筒空h.twweoe2 (35) 在么服从独立同分布CW(Q,)假设下，上式中S二h服从均值为1，方差为29的 中心卡方分布。当9较大时，中心卡方分布趋近高斯分布。因将可2近似为高新 分布CW1,2/S),进一步有 3, R SNRlog,e-1 v网 2/S (36) R -1 1 R 1- SNRlog2 e =0 SNRlogz e 2 v2闷 上式中SNRlog2e是高斯信道上低sNR时的信道容量，衰落信道上相应目标速率R一般小 WR1og,e>0.因此当S到越大时式(36)值越小.这 R 于满足高斯信道信道容量，即1一 使得式(35)中中断概率主婴由S=1的情况确定，即(35)可进一步表示为 p呢ePra<Rn2 ,for somek=1,2K≈KE (37) SNR 因此，低SNR下E对称中断容量为 Cr=Cr(R网ar(-景}Rg,e (38)
无线通信原理 2021 春 郑贱平 式（30）可以近似表示为 2 2 2 2 1 Pr log 1 , for some 1,2,...,K log Pr , for some 1,2,...,K 1 ln 2 Pr , for some 1,2,..., up out k k k k k k p SNR h R e SNR h R R h K SNR （35） 在 k h 服从独立同分布 0,1 假设下，上式中 1 2 k k h 服从均值为 1，方差为 2 的 中心卡方分布。当 较大时，中心卡方分布趋近高斯分布。因此将 1 2 k k h 近似为高斯 分布 1,2 ，进一步有 2 2 2 2 1 1 1 log Pr 2 2 1 1 log log 1 2 2 k k R h SNR e R R SNR e SNR e Q Q （36） 上式中 2 SNR e log 是高斯信道上低 SNR 时的信道容量，衰落信道上相应目标速率 R 一般小 于满足高斯信道信道容量， 即 2 1 0 log R SNR e 。因此当 越大时式（36）值越小。这 使得式（35）中中断概率主要由 1 的情况确定，即（35）可进一步表示为 2 ln 2 Pr , for some 1,2,..., up out k R p h k K K SNR （37） 因此，低 SNR 下 对称中断容量为 1 2 1 2 1 log log 1 K K K ort K C C SNR F SNR e K KSNR e C KSNR F K K K R （38）
无线通信原理2021春郑规平 可见，在对称情况下，正交策略在低SNR时是最佳的。 在高SNR时，上行链路对称容量CK与单用户中断容量C,的比值随着SNR的增加首 先增加，然后下降，最后到达1K左右。 作业2：证明在高SNR时，CH/C→VK。 3.2、快衰落信道 快衰落信道的和容量为 C-Ele+se空Ar∬ 1og1WREF] (39) =log(1+K×SNR)=CmC 上式中假设Eh,门=1。显然，当用户数K→0时，和容量遥近高斯信道的和容量。 考虑两种实际的收发结构：非正交多址+SIC和正交多址。在非正交多址+SIC结构中 假设BS译码顺序为1,2，…K,则译用户k数据时利用的干扰消除后的接收信号为 人=h+三ht (40) 对应的可达速率为 R=E P+N Elog 1+ P(K-k)+No (41) log,e×E P P(K-k)+N。 0g()NR 上式进一步验证了当用户数K→∞时衰落信道上行链路和容量通近高斯信道的和容量，同 时也验证了非正交多址+SIC的最佳性
无线通信原理 2021 春 郑贱平 可见，在对称情况下，正交策略在低 SNR 时是最佳的。 在高 SNR 时，上行链路对称容量 C K 与单用户中断容量 C 的比值随着 SNR 的增加首 先增加，然后下降，最后到达 1/K 左右。 作业 2：证明在高 SNR 时， 1 C C K K 。 3.2、快衰落信道 快衰落信道的和容量为 2 1 2 1 log 1 log 1 log 1 K sum k k K k k AWGN sum C E SNR h SNR E h K SNR C （39） 上式中假设 2 1 E hk 。显然，当用户数 K 时，和容量逼近高斯信道的和容量。 考虑两种实际的收发结构：非正交多址+SIC 和正交多址。在非正交多址+SIC 结构中， 假设 BS 译码顺序为 1,2,…,K，则译用户 k 数据时利用的干扰消除后的接收信号为 , , , , 1 K m k m k m j m j m m j k y h x h x w （40） 对应的可达速率为 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 0 log 1 log 1 log log k k k k h K j j k K k h k AWGN k P h R E P h N P h E P K k N P h e E P K k N P e R P K k N （41） 上式进一步验证了当用户数 K 时衰落信道上行链路和容量逼近高斯信道的和容量，同 时也验证了非正交多址+SIC 的最佳性
无线通信原理2021春郑贱平 正交多址结构的和速率为 (42) 注意到 =E(h 1og1+Ph) (43 N。 因此正交多址并不是最佳的。 上述讨论中假定用户等功率发送信号，假设用户己知CSI(CST)时，可以通过在不同 时隙分配功率提高系统和速率。考虑K个用户在L个时隙的信号传输，在用户间信道独立 衰落假设下，这可以等效为L个并行子信道，每个子信道包含K个快变时隙。此时对应的 和容量为 N (44) s1.I>P-P,k=lK 上式中的约束是每用户功率约束。 在每用户信道，，hx服从独立同分布的对称情况下，式(44)中的每用户功率约束 可以等价为总功率约束 (45) 此时(44)可以通过在k和1两个维度进行功率注水求解：首先对每个并行信道，只服务 当前信道质量最好的用户即把功率都分配给信道质量最好的用户，然后当前最好用户分配的 功率通过在不同子信道1间进行功率注水得到。具体的，首先定义
无线通信原理 2021 春 郑贱平 正交多址结构的和速率为 2 1 0 1 log 1 k K Ort k sum h k KP h R E K N （42） 注意到 2 2 1 1 , 1,..., , 1,..., 0 0 2 2 , 1,..., , 1,..., 1 0 0 1 log 1 log 1 1 1 log 1 log 1 k k k k K K k k k k sum h k K h k K K k k h k K h k K k P h KP h K C E E N N KP h KP h E E K N K N 1 2 1 0 1 log 1 k K k K k Ort h sum k KP h E R K N （43） 因此正交多址并不是最佳的。 上述讨论中假定用户等功率发送信号，假设用户已知 CSI（CSIT）时，可以通过在不同 时隙分配功率提高系统和速率。考虑 K 个用户在 L 个时隙的信号传输，在用户间信道独立 衰落假设下，这可以等效为 L 个并行子信道，每个子信道包含 K 个快变时隙。此时对应的 和容量为 , 2 , , 1 1 0 , 1 1 max log 1 1 . . = , 1,..., k l K L k l k l k P l L k l l P h L N s t P P k K L （44） 上式中的约束是每用户功率约束。 在每用户信道 1, , ,..., l K l h h 服从独立同分布的对称情况下，式（44）中的每用户功率约束 可以等价为总功率约束 , 1 1 1 = K L k l k l P P KL （45） 此时（44）可以通过在 k 和 l 两个维度进行功率注水求解：首先对每个并行信道 l，只服务 当前信道质量最好的用户即把功率都分配给信道质量最好的用户，然后当前最好用户分配的 功率通过在不同子信道 l 间进行功率注水得到。具体的，首先定义
