第四章杆件的内力分析 第一杆件的内力及其求法 第二节梁的内力图及其绘制 第三节弯矩、剪力、荷载集度 间的关系 第四节叠加法作剪力图和弯矩图 第五节其它杆件的内力计算方法 小结 平平 返回
杆件的内力及其求法 梁的内力图及其绘制 弯矩、剪力、荷载集度 间的关系 叠加法作剪力图和弯矩图 其它杆件的内力计算方法 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 返回
第一节杆件的内力及其求法 、杆件的外力与变形特点 1弯曲—梁(横向力作用) 受力特点:垂直杆轴方向作用外力,纵向对称平面 或杆轴平面内作用外力偶; 变形特点:杆轴由直变弯。 平面弯曲一荷载与反力均作用 在梁的纵向对称平面内,梁轴线也 在该平面内弯成一条曲线。 单跨静定梁的基本形式 A简支梁乃外伸梁易 悬臂梁 返回 小结
第一节 杆件的内力及其求法 一、杆件的外力与变形特点 平面弯曲—荷载与反力均作用 在梁的纵向对称平面内，梁轴线也 在该平面内弯成一条曲线。 1.弯曲—梁（横向力作用） 受力特点：垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶； 变形特点：杆轴由直变弯。 单跨静定梁的基本形式： 返回 下一张 上一张 小结
2、轴向拉伸与压缩一杆(纵向力作用)P 受力特点:外力与杆轴线方向重合; 变形特点:杆轴沿外力方向伸长或缩短一 3、扭转一轴(外力偶作用) 受力特点:外力偶作用在垂直杆轴平面内: 变形特点:截面绕杆轴相对旋转 4、组合变形一两种或两种以上基本变形的组合 双向平面弯曲P 偏心压缩 弯扭组合P 返回 小结
2、轴向拉伸与压缩— 杆（纵向力作用） 受力特点：外力与杆轴线方向重合； 变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短。 3、扭转—轴（外力偶作用） 受力特点：外力偶作用在垂直杆轴平面内； 变形特点：截面绕杆轴相对旋转。 4、组合变形—两种或两种以上基本变形的组合。 返回 下一张 上一张 小结
、梁的内力及其求法 内力一外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。 杆件横截面上的内力有:轴力,剪力,弯矩,扭矩等。 剪力和弯矩的概念 N 图示简支梁在荷载及支座反 B N 力共同作用下处于平衡状态 求距支座A为x的横截面m-m 上的内力。用截面法求内力。 A 步骤:1)截开 2)代替 R Q 剪力Q—限制梁段上下移动的内力; 弯矩M限制梁段转动的内力偶 单位:剪力QKN,N;弯矩MKNm,Nm 3)平衡∑=0R1-9=0g=R ∑ M=0 M-Rx= M=Rx 若取右半段梁为研究对象可得:=9M=M 返回 小结
二、梁的内力及其求法 1、剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反 力共同作用下处于平衡状态。 求距支座A为x的横截面m-m. 上的内力。用截面法求内力。 步骤：1)截开 2)代替 内力—外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。 杆件横截面上的内力有：轴力，剪力，弯矩，扭矩等。 剪力Q——限制梁段上下移动的内力; 弯矩M——限制梁段转动的内力偶。 单位：剪力Q KN, N；弯矩M KN.m ， N.m 3)平衡 Y = 0 RA −Q = 0 Q = RA Mo = 0 M − R x = 0 o A M R x o = A 若取右半段梁为研究对象,可得： Q' = Q Mo = Mo ' 返回 下一张 上一张 小结
2、剪力和弯矩的符号规定 外力 1)剪力Q:截面上的剪力Q使外力 所取脱离体产生顺时针转动趋势6 时(或者左上右下)为正,反之 Q 为负。 外力 a 2)弯矩M:截面上的弯矩M使 所取脱离体产生下边凸出的变形外力矩 外力短 时(或者左顺右逆)为正,反之 为负。 M 为避免符号出错,要求: M 未知内力均按符号规定的正向 假设。 返回 小结
1）剪力Q：截面上的剪力Q使 所取脱离体产生顺时针转动趋势 时（或者左上右下）为正，反之 为负。 2）弯矩M：截面上的弯矩M使 所取脱离体产生下边凸出的变形 时（或者左顺右逆）为正，反之 为负。 为避免符号出错,要求： 未知内力均按符号规定的正向 假设。 返回 下一张 上一张 小结 2、剪力和弯矩的符号规定 返回 下一张 上一张 小结
例3-1:悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截 (a) 面上的剪力和弯矩 /2 解:1)求1-1截面上的内力 ∑Y P--ql-2=0 ∑M=0Px×+()×+M1=0 /2 8 求得的Q1、M1均为负值,说明内力实际方 )TII@ 向与假设方向相反。矩心O是1-1截面的形心 2)求2-2截面上的内力 ∑F P-gl-O,=0 ∑ Pxl+(q1)×+M2=0M2=-P-1q2 求得的Q2、M2均为负值说明内力实际方向与假设 方向相反。矩心O1是2-2截面的形心 返回 小结
例3-1：悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和弯矩。 解：1）求1-1截面上的内力 Y = 0 Q P ql 2 1 1 = − − M0 = 0 2 1 8 1 2 1 M = − Pl − ql 0 2 1 − P − ql −Q1 = 0 4 ) 2 1 ( 2 + + M1 = l ql l P 求得的 Q1 、M1 均为负值,说明内力实际方 向与假设方向相反。矩心O 是1-1截面的形心。 2）求2-2截面上的内力 Y = 0 Q = −P−ql 2 0 M0 = 2 2 2 1 M = −Pl − ql −P−ql −Q2 = 0 0 2 ( ) + + M2 = l P l ql 求得的 Q2 、M2 均为负值,说明内力实际方向与假设 方向相反。矩心O1是2-2截面的形心。 返回 下一张 上一张 小结
例3-2外伸梁如图,试求1-1,2-2截面上的剪力和弯矩。 解:1、求支座反力:由整体平衡 P=3kN B=-Z0kN ∑MB=0Px8+P×3-14×6=014=14N ∑M4=0,R×2-B2×3+Y×6=0=9N 221 m 校核:∑V=1+12-R-B1=149-3-20=0反力无误。 P=3kN 2、求1-1截面上的内力:取左半段研究 ∑Y=0,V4-B-Q=09=Y4-P=14-3=1N ∑M=0,P×3-V4×1+M=0矩心0-1-1截面形心 M1=Y4×1-B×3=5kN·m P=JkN B=Z0kN 3、求2-2截面上的内力:取右半段研究 Y=0,O,+Y=0Q2=-Y=-9kN ∑M=0.1×15-M12=0矩心0-2截面形心L仁 M2=1.5X=13.5kN·n 若取左半段梁研究,则 ∑Y=0V4-P-B2-Q2=092=Y-P-B2=4-3-20=-9kN ∑ M,=0,Y×4.5-B×6.5-P×1.5-M,=0 M=Y×4.5-×6.5-P×1.5=135kN·m 返回 小结
例3-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。 解：1、求支座反力：由整体平衡 MB = 0,P1 8+ P2 3−YA 6 = 0 YA =14kN MA = 0,P1 2− P2 3+YB 6 = 0 YB = 9kN 校核： Y =YA +YB − P1 − P2 =14+9−3−20 = 0 反力无误。 2、求1-1截面上的内力：取左半段研究 Y = 0,YA − P1 −Q1 = 0 Q1 =YA −P1 =14−3 =11kN Mo = 0,P1 3−YA 1+ M1 = 0 矩心o—1-1截面形心 3、求2-2截面上的内力：取右半段研究 Y = 0,Q2 +YB = 0 Q2 = −YB = −9kN Mo' = 0,YB 1.5− M2 = 0 M1 =YA 1− P1 3 = 5kNm M2 =1.5YB =13.5kNm 若取左半段梁研究，则 Y = 0,YA − P1 − P2 −Q2 ' = 0 Q2 ' =YA −P1 −P2 =14−3−20 = −9kN Mo' = 0,YA 4.5− P1 6.5− P2 1.5− M2 ' = 0 M2 ' =YA 4.5− P1 6.5− P2 1.5 =13.5kNm 矩心o’—2-2截面形心 返回 下一张 上一张 小结
3、直接法求梁的内力:(由外力直接求梁横截面上的内力) (1)梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧(左侧或 右侧)所有外力沿截面方向投影的代数和; 外力 Q=∑ Q 外力 符号规定:外力使截面产生顺时针转外力6 动趋势时(或左上右下)该截面剪力为正, Q 否则为负; 外力 (2)梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧(左侧或 右侧)所有外力对截面形心力矩的代数和;外力矩 的.外矩 M=∑M(PO 符号规定:外力使梁段产生上凹下凸 M 变形时(或左顺右逆)该截面弯矩为正, 否则为负; M 计算时可按二看一定的顺序进行:一看截面一侧有几个力 二看各力使梁段产生的变形,最后确定该截面内力的数值。 返回 小结
3、直接法求梁的内力：（由外力直接求梁横截面上的内力） （1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或 右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和； Q =PiQ 符号规定：外力使截面产生顺时针转 动趋势时（或左上右下）该截面剪力为正， 否则为负； （2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧（左侧或 右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和； = ( ) M Mo PiQ 符号规定：外力使梁段产生上凹下凸 变形时（或左顺右逆）该截面弯矩为正， 否则为负； 计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧有几个力， 二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。 返回 下一张 上一张 小结
例3-3:简支梁如图所示。试计算1-1、2-2 3-3、4-4截面上的剪力和弯矩 解:1)求支座反力 2L ∑M4=0 pL_Px +Vn·L=0 7P } ∑ PL L +2x3+1:D=0弘=P/6 Va=7PI5 校核∑Y=V-P+V=-k-P+=0反力无误。 2)计算截面内力 1-1截面:=- i 8 bI 22截雨:2=VA26M2=x3+m≈+n29 L PL 4PL 3-3截面:93=-P LL P 2L PL 7PL 6 +-)+m= 4-4截面:Q4=-VB 6M4=×D7P、L_7PL 7P 36318 返回 小结
例3-3：简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和弯矩。 解：1）求支座反力 MA = 0 0 3 2 2 − − +V L = L P pL B MB = 0 0 6 7P P 6 P Y = −VA − P + VB = − − + = 6 1 P Q = −VA = − ( ) 6 0 2 3 = − + + = P V V L L P PL A A 2）计算截面内力 1-1截面： ( ) 6 7 = P VB 校核 反力无误。 3 18 1 L PL M = −VA = − 2-2截面： 6 2 P Q = −VA = − 9 4 3 6 3 2 2 p L PL PL m L M = −VA + = − + = 3-3截面： 6 3 P Q = −VA = − 18 7 3 2 2 6 ) 3 3 ( 3 P L PL PL m L L M = −VA + + = − + = 4-4截面: 6 7 4 P Q = −VB = − 18 7 6 3 7 3 4 L P L PL M =VB = = 返回 下一张 上一张 小结
第二节梁的内力图及其绘制 剪力图和弯矩图的概念 梁各截面的内力随截面位置而变化,其函数关系式 Or-=o(x), M-M(x 称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力 Q(x)=-P-qx(0≤x≤1) M(xi=-px 2 (0≤x≤1) 反映剪力(弯矩)随截面位置变化卜-x 规律的曲线,称作剪力(弯矩)图 kN 剪力图和弯矩图的作法: 取平行梁轴的轴线表示截面位置,规定 正值的剪力画轴上侧,正值的弯矩画轴下侧 可先列内力方程再作其函数曲线图 kw 如悬臂梁:当x=o,g(x=P,M(x)=0 x=l, (x)=-P-gl M()=-Pl-gl//2 其剪力图和弯矩图如图示。 返回 小结
第二节 梁的内力图及其绘制 梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式 Qx=Q(x), Mx=M(x) 称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力。 Q(x) = −P − qx 2 2 1 M (x) = −Px − qx 反映剪力（弯矩）随截面位置变化 规律的曲线，称作剪力（弯矩）图。 二、剪力图和弯矩图的作法： 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定 正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 (0 x l) (0 x l) 如悬臂梁：当x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2 /2. 其剪力图和弯矩图如图示。 2 2 1 − Pl − ql 返回 下一张 上一张 小结 一、剪力图和弯矩图的概念