第十四章位移法 位移法的 第一节 基本概念 二节位移法的 基本未知量数目 位移法 第三节 计算举例 四位移法的 典型方程 小结 返回
第十四章 位移法 位移法的 基本概念 位移法的 基本未知量数目 位移法 计算举例 位移法的 典型方程 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 返回
第一节位移法的基本概念 力法求解超静定结构,以多余约束力为基本未知量,取与 原结构受力等效、位移协调的静定结构为基本结构,由位移协 调条件建立基本方程求解基本未知力。对于超静定次数较高 但结点位移个数较少的问题,也可与力法类似取结点位移为基 本未知量求解,这种方法称为位移法。 位移法是解超静定结构的基本方法之一,也是力矩分配法、 矩阵位移法的基础 、位移法的基本思路 由结构形式及荷载作用引起的变形情况:①确定结点位移 为基本未知量;将原超静定结构分解为单元杄件:②求各杅端 内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系式(枉端内力的转角位移 方程);由结点或杆件处各杆端内力的平衡条件③建立位移法的 基本方稈,求结点位移;将已求出的结点位移代入杆端内力表 达式,④求各杆端内力;⑤绘内力图 返回下一张一张小结
第一节 位移法的基本概念 一、位移法的基本思路 力法求解超静定结构，以多余约束力为基本未知量，取与 原结构受力等效、位移协调的静定结构为基本结构，由位移协 调条件建立基本方程求解基本未知力。对于超静定次数较高、 但结点位移个数较少的问题，也可与力法类似取结点位移为基 本未知量求解，这种方法称为位移法。 位移法是解超静定结构的基本方法之一，也是力矩分配法、 矩阵位移法的基础。 由结构形式及荷载作用引起的变形情况：①确定结点位移 为基本未知量；将原超静定结构分解为单元杆件；②求各杆端 内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系式(杆端内力的转角位移 方程)；由结点或杆件处各杆端内力的平衡条件③建立位移法的 基本方程，求结点位移；将已求出的结点位移代入杆端内力表 达式，④求各杆端内力；⑤绘内力图。 返回 下一张 上一张 小结
以图示刚架为例:忽略轴力引 起的变形,结点A仅有转角0A=Z1 义Z1 (基本未知量);将刚结点作为有 M 结点转角的固定端支座,则刚架可 分解为两个单跨超静定梁(基本结 E=潜数 构);查表5-1得: El M,=4Z El AB M=2-Z El 3-Z CA 由>M=0,M+M=O El Pl 即7Z 0;解得:z1 8 56El 9P/ 3Pl 56 56El a×P 56El 由此可绘出弯矩图。 返回下一张上一张小结
以图示刚架为例：忽略轴力引 起的变形，结点A仅有转角θA=Z1 （基本未知量）；将刚结点作为有 结点转角的固定端支座，则刚架可 分解为两个单跨超静定梁（基本结 构）；查表5-1得： 3 , 0; , 2 ; 8 4 1 1 1 = = = − = AC CA AB BA Z M l EI M Z l EI M Pl Z l EI M ; 56 0; : 8 7 0, 0; 2 1 1 EI Pl Z Pl Z l EI M M AB M AC − = = = + = 即 解得 由 ; 0; 56 3 ; 56 3 ; 56 9 = = − = = AC CA BA AB M EI Pl M EI Pl M EI Pl M 由此可绘出弯矩图。 返回 下一张 上一张 小结
若结点A还有线位移,还应考虑线位移杆件的力投影方程。如 图示刚架,应再列出杆端剪力QA的转角位移方程(可查表或由杆 件的平衡条件),建立AC杆力 .AB 的平衡方程。∑X=0,Q1=0, Z2 联解方程求得Z1、Z2,再 AC 求各杆端内力,绘内力图。 Z2 位移法的基本原理 Z, 1.叠加原理:由此利用变形 致的条件,将结构分解为单1 元杆 2平衡原里:由此利用受力等效4c形 的条件,将单元杆拼装成整体结构。 位移法取独立的结点位移为基本未知量,对结构超静定次数 无要求。因而位移法也可求解静定结构。但显然,用位移法解静 定结构要比静力法麻烦得多。 返回下一张一张小结
若结点A还有线位移，还应考虑线位移杆件的力投影方程。如 图示刚架，应再列出杆端剪力QAB的转角位移方程（可查表或由杆 件的平衡条件），建立AC杆力 的平衡方程。 联解方程求得Z1、Z2，再 求各杆端内力，绘内力图。 = 0, = 0; X QAB 二、位移法的基本原理 1. 叠加原理：由此利用变形 一致的条件，将结构分解为单 元杆； 2. 平衡原理：由此利用受力等效 的条件，将单元杆拼装成整体结构。 位移法取独立的结点位移为基本未知量，对结构超静定次数 无要求。因而位移法也可求解静定结构。但显然，用位移法解静 定结构要比静力法麻烦得多。 返回 下一张 上一张 小结
三、等截面直杆的转角位移方程 1.转角位移方程:杆端内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系。 2.位移法中各量的符号规定: 杆端内力(M、Q)、杆端位移(θ、Δ)、外力偶等都是 顺时针为正;仅杆端弯矩对结点是逆时针为正 3.固端弯矩和固端剪力:各种杄间荷载作用下的杆端弯矩和 杆端剪力。记为:M、M、Q、②等。 4.等截面直杆的转角位移方程: ①两端固定单跨梁 Er B MAB=401+20-6 AB AB 6 MBA=2i04+4iBB-A4B + MaB 返回下一张一张小结
三、等截面直杆的转角位移方程 2. 位移法中各量的符号规定： 杆端内力（M、Q）、杆端位移（θ、Δ）、外力偶等都是 顺时针为正；仅杆端弯矩对结点是逆时针为正。 3. 固端弯矩和固端剪力：各种杆间荷载作用下的杆端弯矩和 杆端剪力。 G B A A B A B A B G A B A B A B A B M L i M i i M L i M i i = + − + = + − + 6 2 4 6 4 2 1. 转角位移方程：杆端内力与杆端位移及杆间荷载之间的关系。 4. 等截面直杆的转角位移方程： ①两端固定单跨梁： 记为：MAB G 、MBA G 、QAB G 、QBA G 等。返回 下一张 上一张 小结
②一端固定、一端铰支梁: B MAB=3i04-△A+MA M48 L BA 0 Bd 端固定、一端滑动梁 M=io,+mg A B El M=-io +mg Ad 位移法解题的关键是: 将结构分解成单个杆件,分 别列出各杆端内力的转角位 MBA 移方程;由结点或杆件的平 衡条件,建立位移法的基本 方程 返回下一张上一张小结
0 3 3 = = − + BA G AB A AB AB M M L i M i G BA A BA G AB A AB M i M M i M = − + = + ②一端固定、一端铰支梁： ③一端固定、一端滑动梁： 位移法解题的关键是： 将结构分解成单个杆件，分 别列出各杆端内力的转角位 移方程；由结点或杆件的平 衡条件，建立位移法的基本 方程。 返回 下一张 上一张 小结
第二节位移法的基本未知量数目 位移法的基本未知量一结点位移结点转角 独立结点线位移 、结点转角:独立的结点角位移—一个刚结点一个结点转角 分解位移法单元杆时,刚结点作为 固定端支座,其杆端转角与结点转角相 同(杆端是固定端支座的转角为零); 铰结点作为铰支座,其转角不独立(铰 支座转角也可由其它位移表示)。 二、独立的结点线位移:—不能由其它位移决定的线位移。 刚架变形后各杆长度变化,平面结。2P 构各结点一般都有两个线位移。但假定 弯曲变形微小,并忽略轴向变形和剪切 变形;则刚架各杆变形前后杆端连线长 度不变,有些梁和刚架无结点线位移 无侧向约束的刚架,一层一个独立 结点线位移 返回下一张一张小结
第二节 位移法的基本未知量数目 一、结点转角：独立的结点角位移——一个刚结点一个结点转角。 独立结点线位移 位移法的基本未知量—结点位移 结点转角 分解位移法单元杆时，刚结点作为 固定端支座，其杆端转角与结点转角相 同（杆端是固定端支座的转角为零）； 铰结点作为铰支座，其转角不独立（铰 支座转角也可由其它位移表示）。 二、独立的结点线位移： —不能由其它位移决定的线位移。 刚架变形后各杆长度变化，平面结 构各结点一般都有两个线位移。但假定 弯曲变形微小，并忽略轴向变形和剪切 变形；则刚架各杆变形前后杆端连线长 度不变，有些梁和刚架无结点线位移。 无侧向约束的刚架，一层一个独立 结点线位移。 返回 下一张 上一张 小结
较复杂刚架可用铰化结点方法判断独立结点线位移。 将刚架所有的刚结点都化为 铰结点,固定端支座都化为铰支座; 分析铰化结构的几何组成,用添加 链杆的方法使其成为几何不变体系; 所加链杆数目即结构的独立结点线 位移数。 结构的位移法基本未知量总数 等于结点转角(刚结点)数加独立 结点线位移数。 返回压一强上一强小结
较复杂刚架可用铰化结点方法判断独立结点线位移。 —将刚架所有的刚结点都化为 铰结点，固定端支座都化为铰支座； 分析铰化结构的几何组成，用添加 链杆的方法使其成为几何不变体系； 所加链杆数目即结构的独立结点线 位移数。 结构的位移法基本未知量总数 等于结点转角（刚结点）数加独立 结点线位移数。 返回 下一张 上一张 小结
第三节位移法计算步骤和示例 用位移法计算超静定结构的步骤: 1.确定位移法基本未知量; 2.列各杆端内力的转角位移方程; 3.建立位移法基本方程;求基本未知量; 4.求各杆端弯矩; 5绘内力图; 6.校核。 位移法的基本方程是平衡方程。无侧移结构没有独立 结点线位移,只需考虑刚结点处力矩的平衡条件;有侧移 结构还要考虑随结点移动杆件力的平衡条件;由此建立位 移法基本方程。 返回下一张上一张小结
第三节 位移法计算步骤和示例 用位移法计算超静定结构的步骤： 1. 确定位移法基本未知量； 2. 列各杆端内力的转角位移方程； 3. 建立位移法基本方程；求基本未知量； 4. 求各杆端弯矩； 5. 绘内力图； 6. 校核。 位移法的基本方程是平衡方程。无侧移结构没有独立 结点线位移，只需考虑刚结点处力矩的平衡条件；有侧移 结构还要考虑随结点移动杆件力的平衡条件；由此建立位 移法基本方程。 返回 下一张 上一张 小结
例13-1用位移法绘制图示刚架的弯矩图。 rOkAf 解:1.确定基本未知量: ? ifft 2.写出各杆端转角位移方程 = 6=* C D M=2×3Z1-×40×62=6Z1-12 =2 M=4×3Z,+×40×62=12Z,+120 12 MBE=3×2z1=6Z1 EB 0 5m M=4×32Z1+2×3Z2-×40×62=12Z1+6Z,-120 M=2×3Z,+4×3Z,+ 21—2 40×6=621+12Z2+120 MC=3×2Z2=6Z2; M=0: FC CD ×40×2 80 2 返回下一张上一张小结
例13-1 用位移法绘制图示刚架的弯矩图。 40 6 12 120; 12 1 4 3 40 6 6 120; 12 1 2 3 1 2 1 1 2 1 = + = + = − = − M Z Z M Z Z BA AB 0; 3 2 6 ; 1 1 = = = EB BE M M Z Z 40 6 6 12 120; 12 1 2 3 4 3 40 6 12 6 120; 12 1 4 3 2 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 = + + = + + = + − = + − M Z Z Z Z M Z Z Z Z CB BC 40 2 80; 2 1 0; 3 2 6 ; 2 2 2 = − = − = = = CD FC CF M M M Z Z 解：1.确定基本未知量：Z1、Z2 2.写出各杆端转角位移方程： 返回 下一张 上一张 小结
