第九章梁的强度和刚度计算 第一节梁横截面上的正应力 第二节梁横截面上的剪应力 第三节梁的强度计算 第四节弯曲中心的概念 第五节梁的变形和刚度 第六节应力状态和强度理论 p小结 返回
第九章 梁的强度和刚度计算 梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算 弯曲中心的概念 梁的变形和刚度计算 应力状态和强度理论 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 返回 第六节
第七章梁的强度和刚度计算 梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力,称作剪 力(横力)弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力o 且剪应力τ只与剪力Q有关,正应力 G只与弯矩M有关。 横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。 如图简支梁,AC、DB段为横 ￠图 P 力弯曲;CD段为纯弯曲 M图可 本章研究梁的应力和变形计算, 解决梁的强度和刚度计算问题。 返回下一张上—张小结
第七章 梁的强度和刚度计算 本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。 梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力τ和正应力σ。 且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力 σ只与弯矩M有关。 横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。 如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。 返回 下一张 上一张 小结
第一梁横截面上的正应力 为推导梁横截面上的正应力,考虑纯弯曲情况 用三关系法:实验观察→平面假设; 几何关系→变形规律, 物理关系→应力规律, 静力学关系→应力公式 、实验观察与分析 ①横线仍为直线,但倾斜角度dθ (b) ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长,凹边缩短; ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短,纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设一变形前后横 截面保持平面不变; 千千 feye f ②单向受力假设一纵向纤维之间互不挤压仅伸长或绩短引 中性层一长度不变的纤维层; 中性轴—中性层与横截面的交线 返回下一张上—张小结
第一节 梁横截面上的正应力 一、实验观察与分析： 为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。 用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。 ①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变； 中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。 ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 返回 下一张 上一张 小结
二、正应力公式的推导; (一)变形几何关系 中性层 f 取梁微段dx考虑变形 几何关系,得应变规律: 中性轴 dx dx=oo2=pd 8 y dx 【b) △S=ab-ab=ab Cab F =(p+yM8-pde= yd e; △Syd0 dx pde p M时:y>0.e>0,为受拉区;y<0,80,为受压体。 (二)物理关系 M 由假设2及虎克定律,梁横=E=Ey 截面上的正应力变化规律为: 此式表明:梁横截面上任一点的正应力,与该点距中性 (z轴)的距离y成正比,而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,0=0:上平边 缘处有ymx,故有omax 返回下一张上一小结
二、正应力公式的推导： （一）变形几何关系： ; y d yd dx S = = = 取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律： 当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。 （二）物理关系： y 由假设2及虎克定律，梁横 = E = E 截面上的正应力变化规律为： 此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴 （z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,σ＝0；上下边 缘处有ymax，故有σmax。 返回 下一张 上一张 小结
(三)静力学关系: 纯弯曲梁上各点只有正应力,微面积dA上法 M 向合力dN=odA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量:N,M,M N=∫ouA=0→2∫y=0—中性轴Z必通过形心。 y M,=「zolA=0→-dlA=0,中性轴是截面的形心主 M.=yol=M→∫y2L4=M→ M—纯弯曲梁的 pE2变形计算公式 O I=纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式 式中:L2截面对其中性轴的惯性矩;M截面的 y所求正应力点到中性轴的距离 为避免符号错误,计算中各量以绝对值代入,符号依 拉区和受压区;M>0,上压下拉;M<0,上拉下压。) 所处区域直接判断。(根据弯矩方向,中性轴将截面分为 返回下一张上一小结
（三）静力学关系： = = 0 = 0 yd E N d = = 0 = 0; zydA E M y z dA = = = y dA M E Mz y dA M 2 z My = —中性轴Z必通过形心。 —中性轴是截面的形心主轴。 纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。 式中: Iz—截面对其中性轴的惯性矩； M—截面上的弯矩； y—所求正应力点到中性轴的距离。 —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式 为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号依点 所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受 拉区和受压区；M>0,上压下拉；M<0，上拉下压。） ; 1 E z M = —纯弯曲梁的 变形计算公式 返回 下一张 上一张 小结
正应力公式的使用范围:①纯弯曲梁;②弹性范围(o≤o ③平面弯曲(截面有对称轴,形状不限);④细长梁的横力曲 (一般Mh>5为细长梁,其计算误差满足工程精度要求δ5%) 例71图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉压应力。 解:(1)计算C截面的弯矩M P=l. 5kN M=-2P=-2×1.5=-3KN·m (2)确定中性轴位置,并计算惯性矩 bh312×18 5830cn 「y单位:em 12 12 18 (3)求a、b两点的正应力 3=6cm; yb=3cm My3×103×0.06 3.09MPa; 5830×10 M 3×103×0.03 5830×108 1.54MPa; (4)求C截面最大拉应力o加ma和最大压应力 O max y 9cm: 2° 3×103×9×10-2 co max max 5830×108 4.63MPa=-omax 在截面上下边缘。) 返回下一张上—张小结
正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（σ≤σp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。 （一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。） 例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解：（1）计算C截面的弯矩M （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩 （3）求a、b两点的正应力 Mc = −2P = −21.5 = −3KN m 4 3 3 5830 12 12 18 12 cm bh z = = = 3.09 ; 5830 10 3 10 0.06 8 3 MPa M y z c a a = = = − 3 6 ; 3 . 2 18 ya = − = cm yb = cm 1.54 ; 5830 10 3 10 0.03 8 3 MPa M y z c b b = − − = = − 9 ; 2 18 2 max cm h y = = = 4.63 ; 5830 10 3 10 9 10 8 max 3 2 max max − − − + = = − = = MPa M y z c (4)求C截面最大拉应力+ max和最大压应力- max （在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
例7-218号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、为两 点处的正应力 94 P=60kw=P 解:(1)求D截面的弯矩: M=30kN. m k 2)确定中性轴位置 b 和截面惯性矩: 查型钢表 IEEIUHHILI I=1660cm4 3DANY'm 截面尺寸单位:mm (3)求D截面a、b两点的正应力: 180 Va=yb 10.7=79.3mm 2 M 30×10×79.3×10 =-1433MPa, 1660×10 0=143.3MPa 返回下一张上—张小结
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m 143.3 ; 143.3 ; 1660 10 30 10 79.3 10 10.7 79.3 ; 2 180 8 3 3 MPa MPa M y y y mm b z D a a a b = = − − = = = = − = − − (3)求D截面a、b两点的正应力： (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4 返回 下一张 上一张 小结
第二节梁横截面上的剪应力 、矩形截面梁: mi t 2 矩形截面梁任意截面上剪力Q 4 2 都与对称轴重合。对狭长横截面上 niin 剪应力的分布规律可作两个假设:-x KA> M+d禹 (1)横截面上各点τ均与该面上Q 同向且平行; (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdm分析 M M+dM R,dA S:N c dT=rdx. d ∑x=0,N1-N2-dr=0 N dms dM dxlb dx Os d I b 返回下一张上一小结
第二节 梁横截面上的剪应力 一、矩形截面梁： 矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设： (1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行； (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdmn分析： ; I b QS z z = , , ; 0, 0; ' ' 1 2 = = = = − − = Q dx dM dxI b dMS x N N dT z z ' ; ; ; 1 * 1 2 dT bdx S I M dM S N I M N dA z z z z A = + = = = 返回 下一张 上一张 小结
矩形截面剪应力计算公式: OS 式中Q横截面上的剪力 Ⅰb 横截面对其中性轴的惯性矩; b所求剪应力作用点处的截面宽度; S,*一所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上)的截面积A对中性轴的面积矩 矩形截面:4268-上门的号一 沿截面高度按x=9b 60h y2) 抛物线规律变化 41) bh4 h 60h 3 O y=t,T=0;y=0,Tmax 46h' 2 bh 2 max 2A=2(-平均剪应力 由剪切虎克定律τ=Gy,知剪应变 we 沿截面高度也按抛物线规律变化,引起 截面翘曲。但变形很小,可忽略不计。返回下一张上一张小结
矩形截面剪应力计算公式： I b QS z z * = 式中:Q—横截面上的剪力； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度； Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 矩形截面： ); 4 ( 2 , 2 2 / 2 * 1 1 y b h dA bdy S y dA y bdy h A y = z = = = − ); 4 ( 6 ) 4 ( 2 2 2 3 2 2 y h bh Q y h I Q z = − = − , 12 3 bh I z = τ沿截面高度按 抛物线规律变化。 ; 2 3 4 6 , 0; 0, 2 3 2 max bh Q bh Qh y h y = = = = = ; 2 3 2 3 max = = A Q （ −平均剪应力） 由剪切虎克定律τ＝Gγ，知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化，引起 截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。 返回 下一张 上一张 小结
二、其它形状截面的剪应力: 工字形截面梁: 1)腹板上的剪应力:腹板为狭长矩形承担截面绝大部分剪应 故中性轴处有最大剪应力 上翼绿一 OS max 或 max max h 板 式中Q横截面上的剪力;h1腹板高度 截面对z轴惯性矩;d腹板厚度;下翼 zmax 中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩 a (b)FEmar (对于型钢,Sama:L2的值可查型钢表确定) 2)翼缘上的剪应力:翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量 小且分布复杂,一般不考虑;水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律 QS2s欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中在轴惯性矩 水平1δ6。—翼缘厚度。 返回下一张上一小结
二、其它形状截面的剪应力： 1. 工字形截面梁： 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。 式中:Q—横截面上的剪力； h1—腹板高度； Iz— 截面对z轴惯性矩；d—腹板厚度； Szmax—中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩； （对于型钢，Szmax：Iz 的值可查型钢表确定） z o z I QS 水平 = h d Q 1 或 max 故中性轴处有最大剪应力 2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布， 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律。 d QS z z = max max Sz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩； δo—翼缘厚度。 返回 下一张 上一张 小结